2026年上海市崇明区高三二模数学试卷及答案解析

这是一份2026年上海市崇明区高三二模数学试卷及答案解析，共5页。
1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
2．本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1∼6题每题4分，7∼12题每题5分）
1. 集合，，则________.
2. 不等式的解为________．
3. 若复数满足（为虚数单位），则_____.
4. 已知向量，，若，则实数____________.
5. 若，，且，则的最小值为________．
6. 已知，则的值为__________.
7. 从一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取一张牌，事件A表示“取得的牌面是A”，事件B表示“取得的牌的花色是黑桃”，则为______.
8. 在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c．若，，，则________．
9. 已知 则 _______.
10. 如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆Γ，其中Γ的长轴为该圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长．将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像．若该段曲线是函数的图像的一部分，则椭圆的离心率为_____．
11. 设，．若对任意，存在使得函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________．
12. 已知首项为1的等比数列满足对任意的正整数m，n都有，则等比数列的公比q的取值范围是________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5分）
13. 在空间内，异面直线所成角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
14. 下列函数中，在上为严格增函数的是（ ）
A. B. C. D.
15. 已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（ ）
A. B.
C. D.
16. 已知函数，．定义集合对任意的，都有.对于所有使得的函数，有以下两个命题：①存在函数在处取极小值；②存在函数图像是连续曲线．下列判断正确的是（ ）
A. ①②都真B. ①真②假C. ①假②真 D. ①②都假
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
18. 2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”．某学校为了解政策落实情况及其对学生视力的影响，随机抽取了100名学生进行每周累计体育活动时长的调查，得到如下频率分布表：
同时，对这100名学生的视力进行了检查，将视力达到5．0及以上定为“视力良好”，低于5．0定为“视力一般”，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）：
（1）从活动时长在和的学生中，按比例分层随机抽样抽取5人进行座谈.若从这5人中随机抽取2人，设为抽取的2人中活动时长在的人数，求的分布列和数学期望；
（2）依据的独立性检验，判断是否有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关.
参考公式及数据：
①，其中．
②，，，．
19. 设函数．
（1）若，求的图象在处的切线方程；
（2）若在上恒成立，求a的取值范围；
20. 已知椭圆．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）已知椭圆右顶点为A，设点M为y轴正半轴上一点，点P为椭圆C上的一点.若，求点M的坐标；
（3）已知，过点的直线交椭圆C于D，E两点，直线DG交直线于点H，证明:轴．
21. 函数，是减函数，即对于任意的，，当时，均有．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）是否存在函数是偶函数，且满足对所有成立？若存在，请举出一个满足条件的函数，若不存在，请说明理由；
（3）设，已知函数是周期函数，求证：为常值函数．
参考答案及解析：
1、【答案】
【解析】
【分析】根据交集的概念运算.
【详解】由题意得，.
故答案为：
2. 不等式的解为________．
【答案】
【解析】
【详解】解：，
，解得，
故不等式的解为．
3. 若复数满足（为虚数单位），则_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的乘法运算化简求值．
【详解】因为，所以，
所以；
故答案为：
4. 已知向量，，若，则实数____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示，由可得即可得解.
【详解】由得，
，.
故答案为：
5. 若，，且，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【详解】由基本不等式可得，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
6. 已知，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用二倍角的余弦公式，即可求得结果．
【详解】由，则
故答案为：
7. 从一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取一张牌，事件A表示“取得的牌面是A”，事件B表示“取得的牌的花色是黑桃”，则为______.
【答案】##0.25
【解析】
【分析】计算出，利用条件概率公式进行求解.
【详解】，，故.
故答案为：
8. 在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c．若，，，则________．
【答案】2
【解析】
【详解】由正弦定理得，解得.
9. 已知 则 _______.
【答案】5
【解析】
【分析】由题意，为的系数，和的展开式中都包含项，利用二项式展开的通项公式，即可得解.
【详解】由题意，为的系数，和的展开式中都包含项，
故，
故
故答案为：
10. 如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆Γ，其中Γ的长轴为该圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长．将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像．若该段曲线是函数的图像的一部分，则椭圆的离心率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由正弦函数的最值和周期求得圆柱的高和底面半径，进而求得椭圆的长轴和短轴，即可得离心率.
【详解】函数的值域为，最小正周期，
依题意，圆柱的高，设圆柱的底面半径为，则，解得，
椭圆短轴长，即，长轴长，即，
所以椭圆的离心率.
11. 设，．若对任意，存在使得函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】先找出两个函数的单调区间的分界点，再进行排序，找到相邻两分界点的最小间距即可
【详解】，由正弦函数的性质得到单调区间的分界点，
相邻分界点间隔为，因此每个单调区间的长度为；
，令，则，
故单调区间的分界点，
相邻分界点间隔为，因此每个单调区间的长度为.
两类分界点合并排序，可发现它们交替排列，相邻两个不同类型的分界点的间隔交替为和，
所以两类分界点之间的最小距离为，所以，又，所以a的取值范围是.
12. 已知首项为1的等比数列满足对任意的正整数m，n都有，则等比数列的公比q的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】取特殊情况结合指数函数与一次函数性质可得，再证明时，对任意的正整数m，n都有恒成立即可得.
【详解】由题意可得，取，
当时，有，
当时，有，故；
若，则当时，指数函数增速会大于一次函数，
故不可能恒成立，故；
综上可得；
下证充分性：
当时，不妨设，则，
故需满足，即，
令，则只需满足数列为非递减数列即可，
，
由，则，，
则，
故数列为非递减数列，
即时符合题意.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5分）
13. 在空间内，异面直线所成角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由异面直线所成角的定义可得出答案.
【详解】由异面直线所成角的定义可知,过空间一点分别作相应直线的平行线,两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成角,所以两条异面直线所成角的取值范围是,
故选B.
【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成的角,需要学生熟知异面直线的定义以及性质,考查了转化思想,属于基础题.
14. 下列函数中，在上为严格增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】对于A，是定义在上的偶函数，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A不符合题意；
对于B，是定义在上的偶函数，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，故B不符合题意；
对于C，是定义在上的周期函数，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，故C不符合题意；
对于D， 在上为严格增函数，故D符合题意.
15. 已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的定义可判断A的真假；求点的轨迹方程，判断BCD的真假.
【详解】对于A，因为，所以点轨迹为线段，故A错误；
对于B，设，则由，所以点轨迹为圆，故B错误；
对于C，由，
因为，方程可化为，所以点轨迹为椭圆，故C正确；
对于D，由，
①当且，即时，
去绝对值可得，即，
此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段；
②当且，即且，
去绝对值可得，即，
此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段；
③当且，即且，
去绝对值可得，即，
此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段；
④当且，即且，
去绝对值可得，即，
此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段；
综上可知点轨迹为四条线段，故D错误.
16. 已知函数，．定义集合对任意的，都有.对于所有使得的函数，有以下两个命题：①存在函数在处取极小值；②存在函数图像是连续曲线．下列判断正确的是（ ）
A. ①②都真B. ①真②假C. ①假②真D. ①②都假
【答案】A
【解析】
【详解】根据题意可知集合为函数的非严格单调递增区间，
不妨令函数，易知,
因此当时，，当或时，，
可知在上单调递增，在和上单调递减，
此时函数满足在上单调递减，满足题意，
即存在函数在处取极小值，且是连续曲线，因此①②都真.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得四边形是平行四边形，则可得，再利用线面平行判定定理即可得证；
（2）由为的中点，可得，再利用等体积法计算即可得解.
【小问1详解】
由直三棱柱性质可得，，
由D，E分别是，的中点，则，，
则四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，故平面；
【小问2详解】
由，，则，
故为等腰直角三角形，则点到的距离为，
则点到的距离为，
由为的中点，则点与点到平面的距离相等，
故.
18. 2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”．某学校为了解政策落实情况及其对学生视力的影响，随机抽取了100名学生进行每周累计体育活动时长的调查，得到如下频率分布表：
同时，对这100名学生的视力进行了检查，将视力达到5．0及以上定为“视力良好”，低于5．0定为“视力一般”，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）：
（1）从活动时长在和的学生中，按比例分层随机抽样抽取5人进行座谈.若从这5人中随机抽取2人，设为抽取的2人中活动时长在的人数，求的分布列和数学期望；
（2）依据的独立性检验，判断是否有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关.
参考公式及数据：
①，其中．
②，，，．
【答案】（1）

（2）有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关.
【解析】
【分析】（1）通过按比例分层随机抽样确定5人各有几人来自和，再确定的可能取值，求得相应概率即可求解；
（2）先补全列联表，求得相应，再对比数据即可求解.
【小问1详解】
由于和频率分别为，，
则按比例分层随机抽样，抽取5人进行座谈，有3人来自，2人来自，
由题意的可能取值为0，1，2，
,
,
,
所以的分布列是：
.
【小问2详解】
由题意活动时间达标人数为，
活动时间未达标人数为，
故列联表如下：
零假设：“视力情况”与“体育活动时长是否达标”无关．
根据列联表数据，计算，
根据小概率值的独立性检验，判断不成立，
所以有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关.
19. 设函数．
（1）若，求的图象在处的切线方程；
（2）若在上恒成立，求a的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导，求出切线斜率和切点坐标，进而求得切线方程.
（2）对函数求导，判断单调性求出最小值，分两种情况讨论求解不等式恒成立时的范围.
【小问1详解】
时，，对函数求导得.
所以.
所以的图象在处的切线方程为，即.
【小问2详解】
由得.
因为在上单调递增，所以.
若，则在上恒成立，所以在上单调递增，
又，所以在上恒成立，
若，令得或，且.
当时，，单调递减，
所以，与在上恒成立矛盾，
综上所述，的取值范围是.
20. 已知椭圆．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）已知椭圆右顶点为A，设点M为y轴正半轴上一点，点P为椭圆C上的一点.若，求点M的坐标；
（3）已知，过点的直线交椭圆C于D，E两点，直线DG交直线于点H，证明:轴．
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见详解.
【解析】
【分析】（1）根据离心率定义直接计算可得；
（2）设利用向量关系表示出点坐标，代入椭圆方程即可得解；
（3）利用韦达定理表示出点的纵坐标，利用向量共线表示出点的纵坐标，证明和的纵坐标相等即可得证.
【小问1详解】
记椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
则，所以离心率.
【小问2详解】
由题知，，设，，
因为，，
所以，得，
代入椭圆方程得，解得（负根舍去）
【小问3详解】
易知，当直线斜率为0时，为长轴端点，与右焦点重合，满足题意；
设直线的方程为，，
联立得：，
由得或，
则，
所以，则，
设，因为三点共线，则，，
所以，则，
所以，所以轴.
21. 函数，是减函数，即对于任意的，，当时，均有．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）是否存在函数是偶函数，且满足对所有成立？若存在，请举出一个满足条件的函数，若不存在，请说明理由；
（3）设，已知函数是周期函数，求证：为常值函数．
【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数恒小于或等于即可得到取值范围；
（2）结合单调性和奇偶性判断出为常值函数，进一步判断不恒成立；
（3）根据周期函数性质构建出等式，根据的单调性得到应满足的性质，再结合正弦函数本身的性质进行推导，最后得到为常数
【小问1详解】
为减函数，则即恒成立，所以.
【小问2详解】
因为为减函数，取任意实数，设，则有，
又为偶函数即有，可得，
同时根据单调性由可得，所以
即对任意实数成立，所以为常值函数，设，
则，
当时，不成立，所以不存在满足条件的函数.
【小问3详解】
设函数的正周期为即对任意都有，
因为，根据为减函数可知，所以，
那么有，因为，
所以即，于是可得，从而，
而为减函数，所以在上为常值函数，其中为任意实数，
所以在上为常值函数.
每周活动总时长（单位：时）



频率
0.15
0.25
0.35
0.15
0.1
视力良好
视力一般
合计
活动时间达标（不少于14小时）
40
活动时间未达标（低于14小时）
30
合计
100
每周活动总时长（单位：时）



频率
0.15
0.25
0.35
0.15
0.1
视力良好
视力一般
合计
活动时间达标（不少于14小时）
40
活动时间未达标（低于14小时）
30
合计
100
0
1
2
0
1
2
视力良好
视力一般
合计
活动时间达标（不少于14小时）
40
20
60
活动时间未达标（低于14小时）
10
30
40
合计
50
50
100