2021届上海市奉贤区高三数学二模试卷及答案

 高三数学二模试卷

一、填空题

1.经过点 的抛物线 焦点坐标是________.   

2.把一个外表积为 平方厘米实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥(假设没有任何损耗)，那么圆锥的高是________厘米.   

3. ( 是虚数单位)是方程 的一个根，那么 ________.   

4.正项等差数列 的前 项和为 ， ，那么 ________．   

5.某社区的家庭年收入的频率分布如下表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为________万元. 

6.某参考辅导书上有这样的一个题：△ 中， 与 方程 的两个根，那么 的值为〔    〕 

A．     B．     C．     D．

你对这个题目的评价是________.(用简短语句答复)

7.用0，1两个数字编码，码长为4〔即为二进制四位数，首位可以是0〕，从所有码中任选一码，那么码中至少有两个1的概率是________.   

8.设 为正数列 的前 项和， ， ，对任意的 ， 均有 ，那么 的取值为________.   

9.函数 在 内单调递增，那么实数 的取值范围是________.   

10.假设 的二项展开式中 项的系数是 ，那么 二项展开式中系数最小的项是________.   

11.函数 ( )的值域有6个实数组成，那么非零整数 的值是________.   

12.如图， 是半径为2圆心角为 的一段圆弧 上的一点，假设 ，那么 的值域是________. 

二、单项选择题

13.如图， 面 ， 为矩形，连接 ､ ､ ､ ､ ，下面各组向量中，数量积不一定为零的是〔    〕 

A. 与                        B. 与                        C. 与                        D. 与

14.以下选项中， 可表示为 的函数是〔    〕           

A.                       B.                       C.                       D. 

15. ､ ､ ､ 都是非零实数， 成立的充要条件是〔    〕           

A.            B.            C.            D. 

16.设点 的坐标为 ， 是坐标原点，向量 绕着 点顺时针旋转 后得到 ，那么 的坐标为〔    〕           

A.                        B. 
C.                        D. 

三、解答题

17. ､ 是正四棱柱 的棱 ､ 的中点，异面直线 与 所成角的大小为

〔1〕求证： ､ ､ ､ 在同一平面上；   

〔2〕求二面角 的大小.   

18.设函数 ，

〔1〕讨论函数 的奇偶性，并说明理由；   

〔2〕设 ，解关于 的不等式 .   

19.假设在一个以米为单位的空间直角坐标系 中，平面 内有一跟踪和控制飞行机器人 的控制台 ， 的位置为 .上午10时07分测得飞行机器人 在 处，并对飞行机器人 发出指令：以速度 米/秒沿单位向量 作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，10秒后到达 点，再发出指令让机器人在 点原地盘旋2秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到 米/秒，然后保持 米/秒，再沿单位向量 作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，当飞行机器人 最终落在平面 内发出指令让它停止运动.机器人 近似看成一个点. 

〔1〕求从 点开始出发20秒后飞行机器人 的位置；   

〔2〕求在整个飞行过程中飞行机器人 与控制台 的最近距离(精确到米).   

20.曲线 与曲线 在第一象限的交点为 .曲线 是 ( )和 ( )组成的封闭图形.曲线 与 轴的左交点为 ､右交点为 . 

〔1〕设曲线 与曲线 具有相同的一个焦点 ，求线段 的方程；   

〔2〕在〔1〕的条件下，曲线 上存在多少个点 ，使得 ，请说明理由.   

〔3〕设过原点 的直线 与以 为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为 .直线 与曲线 在第一象限的两个交点为 . .当 对任意直线 恒成立，求 的值.   

21.设数列 满足， ， ，设 ， .   

〔1〕设 ， ，假设数列的前四项 ､ ､ ､ 满足 ，求 ；   

〔2〕 ， ， ，当 ， ， 时，判断数列 是否能成等差数列，请说明理由；   

〔3〕设 ， ， ，求证：对一切的 ， ，均有 .   

答案解析局部

一、填空题

1.【解析】【解答】 抛物线 经过点 ，

,

抛物线标准方程为 ,

抛物线焦点坐标为 。

故答案为： 。

 
【分析】将抛物线的方程转化为标准方程，再利用代入法求出a的值，从而求出抛物线的标准方程，再利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，进而求出焦点的坐标。

2.【解析】【解答】假设实心铁球的半径为 ，那么 ，可得 ，

∴其体积为 ，将其铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥，

∴假设设圆锥的高是 ，且底面积 ，由前后体积不变知： ，

∴ 。

故答案为：8。

 
【分析】利用条件结合球的外表积公式，进而求出球的半径，再利用球的体积公式，进而求出实心铁球的体积，将其铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥，所以假设设圆锥的高是 ，再利用圆的面积公式求出圆锥的底面积，由前后体积不变，进而求出圆锥的高。

3.【解析】【解答】 ，

，解得 ，

。

故答案为：1。

 
【分析】利用复数的乘除法运算法那么求出复数z，再利用复数是方程的根结合代入法，进而结合复数相等，从而求出a的值，再利用复数与共轭复数的关系求出复数的共轭复数，再利用复数的加减法运算法那么结合复数求模公式，进而求出所求复数的模。

4.【解析】【解答】正项等差数列 的前 项和为 ，

由 得 ，所以 或 〔舍〕，

。

故答案为：22。

 
【分析】利用条件结合等差中项公式，进而解一元二次方程求出等差数列第六项的值，再利用等差中项公式结合等差数列前n项和公式，进而求出等差数列前11项的和。

5.【解析】【解答】由表格数据知：家庭的平均年收入 万元。

故答案为：6.51。

 
【分析】利用频率分布表中的数据求平均数的公式，进而估计该社区内家庭的平均年收入。

6.【解析】【解答】由题设知： ， ，而 ，

∴ ，又 ，

由上知： 、 必有一个角大于90°，同时 也大于90°，显然不符合三角形的内角和为180°，

∴无正确选项，条件与结论有矛盾。

故答案为：无正确选项，条件与结论有矛盾，是错题，无解。

 
【分析】利用条件结合反证法的方法，再利用三角形内角和为180度的性质结合诱导公式，再结合两角和的正切公式，从而得出对这个题目的评价。

7.【解析】【解答】设从四位编码中任选一码，那么码中至少有两个1为事件A；

那么它与从四位编码中任选一码，那么码中至多有一个1互为对立事件；

由于用0，1两个数字编码，码长为4时不同的编码共有 种；

其中码中至多有一个1包括两种情况：

一是不含1，共有1种情况，另一种是只含一个1，共有4种情况，

故它与从四位编码中任选一码，那么码中至多有一个1的概率 ，

那么从四位编码中任选一码，

那么码中至少有两个1的概率 。

故答案为 。

 
【分析】利用条件结合独立事件求概率公式，从而求出从所有码中任选一码，那么码中至少有两个1的概率 。

8.【解析】【解答】由题设知：当 时， ，即 ，

当 时， ，

综上可知：数列 是公比为 的正项等比数列，即 ，而 ，

∴由题设知，对任意的 ， 有 成立，又因为 ，

∴ ，整理得 恒成立，而 时 ，

∴ 。

故答案为：2。

 
【分析】利用与的关系式结合分类讨论的方法，从而结合等比数列的定义，推出数列 是公比为 的正项等比数列，再利用等比数列的通项公式求出数列 的通项公式，再利用等比数列前n项和公式求出数列 的前n项的和，由题设知：对任意的 ， 有 成立，又因为 ，整理得 恒成立，再利用数列求极限的方法，进而求出公比的值。

9.【解析】【解答】当 时，在 上， 单调递增， 单调递增，即 单调递增，符合题意；

当 时， 在 内单调递增，符合题意；

当 时， ，

∴假设 ， 时，等号不成立，此时 在 内单调递增，符合题意；

假设 ， 时，假设当且仅当 时等号成立，此时 在 内单调递增，不符合题意，

综上所述，当 时，函数 在 内单调递增。

故答案为：(-∞,4]。

 
【分析】利用分类讨论的方法结合增函数的定义，再结合均值不等式求最值的方法，再利用函数 在 内单调递增，进而求出实数a的取值范围。

10.【解析】【解答】由二项式定理知： ，而项 的系数是 ，

∴ 时，有 且 为奇数 ，又由 ，

∴可得 ，

∴ ，要使系数最小， 为奇数，由对称性知： ，

∴ 。

故答案为： 。

 
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出项 的系数，再结合 的二项展开式中项 的系数是 ，再利用组合数公式，进而求出r，n的值，从而求出展开式中的通项公式， 要使系数最小， 为奇数，由对称性知： ，从而结合展开式中的通项公式，进而求出 二项展开式中系数最小的项 。

11.【解析】【解答】由题设知： 的最小正周期为 ，又因为 ，

∴ 为非零整数，在 上 的值域有6个实数组成，即 的图象在以上区间内为6个离散点，且各点横坐标为整数，

∴当 为偶数，有 ，即 ；

当 为奇数，有 ，即 。

故答案为：±10，±11。

 【分析】利用余弦型函数的最小正周期公式求出函数的最小正周期，又因为 ，所以 为非零整数，在 上 的值域有6个实数组成，即 的图象在以上区间内为6个离散点，且各点横坐标为整数，再利用分类讨论的方法，进而求出非零整数 的值。

12.【解析】【解答】以圆心为原点，平行 的直线为 轴， 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系，

那么 ， ，设 ， ，

那么 ， ，

，且 ， ，

，

在 ， 上递增，在 ， 上递减，

当 时， 的最小值为 ，

当 时， 的最大值为 ，

那么 ， ，

故答案为： ， 。

 
【分析】以圆心为原点，平行 的直线为 轴， 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系，从而求出点的坐标，设 ， ，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积的坐标表示结合辅助角公式，进而得出且 ， 所以，再结合正弦型函数的图像判断出正弦型函数的单调性，从而求出数量积的最小值和最大值，进而求出数量积的值域。

二、单项选择题

13.【解析】【解答】由 面 ， 为矩形，

A： 面 ，那么 ，而 与 不一定垂直，不一定有 面 ，故 不一定与 垂直，所以 与 数量积不一定为0，符合题意；

B：由A知 ，又 且 ，那么 面 ，又 面 ，所以 ，即 与 数量积为0，不合题意；

C：由上易知 ，又 且 ，那么 面 ，又 面 ，所以 ，即 与 数量积为0，不合题意；

D：由上知 ，而 ，所以 ，即 与 数量积为0，不合题意；

故答案为：A.

 
【分析】利用线面垂直的定义推出线线垂直，再利用矩形的结构特征推出线线垂直，再结合条件和数量积为0两向量垂直的等价关系，进而选出各组向量中，数量积不一定为零的选项。

14.【解析】【解答】A，当 时， ，故不正确；

B，当 时， ，故不正确；

C，当 时， 等等，故不正确；

D，由 ，可得 ，为指数型函数，所以正确.

故答案为：D.

 
【分析】利用函数的定义选出 表示为 的函数的选项。

15.【解析】【解答】因为 都是非零实数，所以，
⇔

⇔
⇔
⇔

对于A：

A不符合题意；

对于B：

，B不符合题意；

对于C：

，C符合题意；

对于D：

D不符合题意.

故答案为：C

 
【分析】利用条件结合充要条件的判断方法，从而选出 成立的充要条件。

16.【解析】【解答】根据题意，设 ，向量 与 轴正方向的夹角为 ，

又由点 的坐标为 ，那么 ， ，

向量 绕着 点顺时针旋转 后得到 ，那么 ， ．

而 ，

，

故点 的坐标为 。

故答案为：B

 
【分析】利用极坐标与直角坐标的互化公式，那么 ， ，向量 绕着 点顺时针旋转 后得到 ，进而求出点 的坐标，再利用两角差的余弦公式和两角差的正弦公式，进而求出点的坐标。

三、解答题

17.【解析】【分析】〔1〕 连接 ､ ､ ，取 的中点 ，连接 , 点 是棱 的中点，点是棱的 的中点，那么 ， ， 再利用平行的传递性，所以 ，所以 ､ ､ ､ 确定一个平面，即 ､ ､ ､ 在同一平面上。
〔2〕 由〔1〕可知 (或其补角)是异面直线 与 所成的角，设底面 的边长为 ，正四棱柱高h，再利用勾股定理结合余弦定理，从而结合条件求出， 取 的中点 ，因为 ， ，那么 ， ， 是二面角 的平面角，在直角三角形中结合正切函数的定义，从而求出二面角 的大小 。

18.【解析】【分析】〔1〕 由对数的性质，得 ，所以 ，即 ，故定义域关于原点对称，再利用分类讨论的方法结合奇函数和偶函数的定义，从而讨论出函数 的奇偶性。
〔2〕 由 ，代入得 ，因为 ，即 ， 再利用余弦型函数的图像结合条件，从而求出关于 的不等式 的解集。

19.【解析】【分析】(1)利用条件结合向量共线的坐标表示，进而求出从 点开始出发20秒后飞行机器人 的位置。
〔2〕利用条件结合分类讨论的方法，再结合向量的求模的公式将向量的模转化为二次函数，再利用二次函数的图像判断出其在定义域内的单调性，进而求出AT的最小值，进而求出在整个飞行过程中飞行机器人 与控制台 的最近距离。

20.【解析】【分析】〔1〕利用椭圆标准方程和双曲线标准方程求焦点的方法结合条件曲线 与曲线 具有相同的一个焦点 ， 进而求出a的值，从而结合椭圆和双曲线中a,b,c三者的关系式，进而求出焦点F的坐标，再利用椭圆与双曲线相交，联立二者方程求出交点A的坐标，再结合两点式求出线段AF所在的直线方程。
〔2〕 在〔1〕的条件下结合点N的坐标，进而利用两点距离公式求出NF的长， 假设点 在曲线 上 ，再利用两点距离公式结合二次函数图象判断出二次函数的单调性，从而求出SN的取值范围，所以点 不可能在曲线 上，所以点 只可能在曲线 上，根据 ，再联立圆与椭圆的方程求出点S的坐标，当 左焦点， ，同样这样的 使得 不存在，进而求出这样的点 的个数。
〔3〕利用点斜式设出过原点 的直线 方程为 ，再设圆的标准方程为 ， 利用直线与圆相切的位置关系判断方法，再结合点到直线的距离公式得出， 再利用数量积求向量的模的公式结合勾股定理，进而求出， 再分别联立直线与椭圆的方程，直线与双曲线的方程求出点P,Q的坐标，进而求出， 根据 得到t的值。

21.【解析】【分析】〔1〕利用分类讨论的方法结合的递推公式，进而求出数列前4项的值，再结合 ，从而求出a的值。
〔2〕利用条件结合反证法的证明方法，再结合等差数列的定义，从而判断出数列不可能成等差数列。
〔3〕 设 ， ， ， 再结合的递推公式和反证法的证明方法，从而结合不等式恒成立的求解方法，从而证出对一切的 ， ，均有 。