2026年上海市嘉定区高三二模数学试卷及答案解析

这是一份2026年上海市嘉定区高三二模数学试卷及答案解析，共5页。
1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2．作答前，考生在答题纸正面填写姓名、学校、班级，粘贴考生本人条形码.
3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在草稿纸、试卷上作答一律不得分.
4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 已知集合，且，则___________．
【答案】
【解析】
【详解】由题意可知，或，即或，
当时，集合，不满足集合元素互异性，舍去；
当时，集合，符合题意，所以.
2. 解不等式，则不等式的解集是___________
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，将分式不等式转化为一元二次不等式，即可求解.
【详解】根据题意，由，得，即，解得，故解集为.
故答案为：.
3. 已知角的终边经过点，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得的值．
【详解】设坐标原点为，
由题意可得：，
故.
故答案为：.
4. 已知是等差数列，，，则___________．
【答案】1011
【解析】
【详解】设等差数列的公差为，依题意，，
则.
5. 双曲线的渐近线方程是___________.
【答案】
【解析】
【分析】直接由双曲线的方程求解即可
【详解】因为双曲线方程为，
所以双曲线的渐近线方程为，即，
故答案为：
6. 由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是________
【答案】48
【解析】
【分析】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，然后利用分步乘法计数原理可得出答案.
【详解】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，有种选法，
再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，有种选法，
由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是.
故答案为：48.
7. 函数的最小正周期是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据和正弦、余弦的二倍角公式化简即可求解.
【详解】∵
∴的最小正周期是.
【点睛】本题考查三角函数的性质. 三角函数的性质问题，先化简为的形式再求解.
8. 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______
【答案】
【解析】
【详解】由，得或，
由函数有三个不同的零点，得方程有两个不等的非零根，
则，解得且，
所以实数a的取值范围是.
9. 已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________
【答案】
【解析】
【分析】代入数量投影公式，转化为三角函数值域问题求解.
【详解】在方向上的数量投影为，
，，.
10. 已知正四面体上的四个面上分别写有1、2、3、4，游戏中甲、乙轮流抛掷该四面体，谁抛出底面数字等于4则获胜且游戏结束．甲先开始，则甲获胜的概率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求出甲在第（奇数）次获胜的概率，再由等比数列求和得解.
【详解】由题意，甲抛掷一次获胜的概率为，失败的概率为，
甲胜的概率分为无数种情况：第次掷获胜，第次掷获胜，，第次获胜，，
概率分别为，，
故为以为首项，为公比的等比数列，
故甲获胜的概率.
11. 将函数，的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角得到曲线C．若对于每一个角，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【详解】由函数，，知.
因为在上单调递增，所以.
由题可知，当函数旋转后得到的函数在点处的导数小于零，
即曲线在处的切线的斜率小于零，
即曲线在处的切线的倾斜角大于时，曲线上存在某点处的切线的倾斜角等于.
此时，会出现一个对应两个值的情形，曲线C不再是一个函数的图象.
所以的最大值为.
12. 在包装设计中，常用长度和宽度描述物体体型．长度定义为物体上最远两点间的距离，宽度定义为能夹住物体的两平行平面间的最小距离，即存在一对平行平面，使得物体上的所有点均位于两平面之间（包括平面上）．现有一圆柱，其底面半径R与高h可任意调节，则的最小值为___________
【答案】
【解析】
【分析】分和两种情况进行分析，可得结论.
【详解】圆柱体中，最远两点间的距离为，
当，即时，，，
当且仅当时，等号成立；
当，即时，，.
所以的最小值为.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 已知陈述句是的充分非必要条件.若集合满足，满足，则与的关系为（ ）
A. B. C. D.
14. 生物学家在研究动物体重W（单位：g）与脉搏率f（单位：次）的关系时，获得了右表的数据，令，，并拟合线性回归方程．根据已知数据，下列说法正确的是（ ）
A. 变量x与y成正相关，且B. 变量x与y成负相关，且
C. 变量x与y成正相关，且D. 变量x与y成负相关，且
15. 设数列满足，且，其中．下列选项中错误的是（ ）
A. 存在，使得存在正整数N，当时，总有
B. 存在，使得不存在正整数N，当时，总有
C. 对任意，都不存在正整数N，使得当时，总有
D. 存在，使得不存在正整数N，当时，总有
16. 对任意平面向量、、及任意实数，已知运算⊙满足以下三条性质：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．则下列选项中一定成立的是（ ）
A. 若，则或B.
C. D.
三、解答题（本大您共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17. 在复平面内，已知点、、对应的复数分别为、、，其中是虚数单位．
（1）求的值；
（2）若复数z满足，求．
18. 如图，在中，，平面，分别是线段、的中点．
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的大小．
19. 某款足球机器人射点球时，射门点与球门中心的水平偏差（单位：）服从正态分布．在正常状态下，偏差，规定为“严重失误”．
（1）求一次射门出现严重失误的概率p（精确到0.0001）；
（2）假设每次射门相互独立，每次测试让机器人射门16次，若至少出现一次严重失误，则判定需要校准．在正常状态下，求一次测试被判定需要校准的概率（精确到0.01），并说明该判定规则是否合理；
（3）因机械磨损，机器人射门精度下降，一次射门出现严重失误的概率增加到5%．此时每次测试仍射门16次，但判定规则改为：若至少出现2次严重失误，才需要校准．在磨损状态下，求被判定需要校准的概率（精确到0.01）．此时，若一次校准的成本为1万元，且每天测试3次，求日均校准成本的期望值（精确到百元）．
参考公式与数据：
①若，则．
②若，则，．
参考数据：，.
20. 已知椭圆与直线、．过椭圆上一点P作的平行线交于点M，作的平行线交于点N．
（1）当P为椭圆的上顶点时，求的大小；
（2）若椭圆的离心率，求椭圆的方程，并求的最大值与最小值；
（3）若为定值（与点P的位置无关），求a的值，并求此时四边形面积的最大值．
21. 已知在神经网络中，常作为神经元激活函数．
（1）证明：对任意实数x，有，并由此写出图像的对称中心；
（2）设交叉熵损失函数，用于衡量预测值与真实标签t之间的差异，其中．试确定t的值，使得在上是减函数；
（3）在深度神经网络中，信号经过多层传播可抽象为一个迭代过程．设数列满足，其中n为正整数．证明：存在唯一实数，使得，且对任意实数和任意正整数n，都有．
参考答案及解析：
1、【答案】
【解析】
【详解】由题意可知，或，即或，
当时，集合，不满足集合元素互异性，舍去；
当时，集合，符合题意，所以.
2. 解不等式，则不等式的解集是___________
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，将分式不等式转化为一元二次不等式，即可求解.
【详解】根据题意，由，得，即，解得，故解集为.
故答案为：.
3. 已知角的终边经过点，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得的值．
【详解】设坐标原点为，
由题意可得：，
故.
故答案为：.
4. 已知是等差数列，，，则___________．
【答案】1011
【解析】
【详解】设等差数列的公差为，依题意，，
则.
5. 双曲线的渐近线方程是___________.
【答案】
【解析】
【分析】直接由双曲线的方程求解即可
【详解】因为双曲线方程为，
所以双曲线的渐近线方程为，即，
故答案为：
6. 由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是________
【答案】48
【解析】
【分析】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，然后利用分步乘法计数原理可得出答案.
【详解】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，有种选法，
再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，有种选法，
由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是.
故答案为：48.
7. 函数的最小正周期是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据和正弦、余弦的二倍角公式化简即可求解.
【详解】∵
∴的最小正周期是.
【点睛】本题考查三角函数的性质. 三角函数的性质问题，先化简为的形式再求解.
8. 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______
【答案】
【解析】
【详解】由，得或，
由函数有三个不同的零点，得方程有两个不等的非零根，
则，解得且，
所以实数a的取值范围是.
9. 已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________
【答案】
【解析】
【分析】代入数量投影公式，转化为三角函数值域问题求解.
【详解】在方向上的数量投影为，
，，.
10. 已知正四面体上的四个面上分别写有1、2、3、4，游戏中甲、乙轮流抛掷该四面体，谁抛出底面数字等于4则获胜且游戏结束．甲先开始，则甲获胜的概率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求出甲在第（奇数）次获胜的概率，再由等比数列求和得解.
【详解】由题意，甲抛掷一次获胜的概率为，失败的概率为，
甲胜的概率分为无数种情况：第次掷获胜，第次掷获胜，，第次获胜，，
概率分别为，，
故为以为首项，为公比的等比数列，
故甲获胜的概率.
11. 将函数，的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角得到曲线C．若对于每一个角，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【详解】由函数，，知.
因为在上单调递增，所以.
由题可知，当函数旋转后得到的函数在点处的导数小于零，
即曲线在处的切线的斜率小于零，
即曲线在处的切线的倾斜角大于时，曲线上存在某点处的切线的倾斜角等于.
此时，会出现一个对应两个值的情形，曲线C不再是一个函数的图象.
所以的最大值为.
12. 在包装设计中，常用长度和宽度描述物体体型．长度定义为物体上最远两点间的距离，宽度定义为能夹住物体的两平行平面间的最小距离，即存在一对平行平面，使得物体上的所有点均位于两平面之间（包括平面上）．现有一圆柱，其底面半径R与高h可任意调节，则的最小值为___________
【答案】
【解析】
【分析】分和两种情况进行分析，可得结论.
【详解】圆柱体中，最远两点间的距离为，
当，即时，，，
当且仅当时，等号成立；
当，即时，，.
所以的最小值为.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 已知陈述句是的充分非必要条件.若集合满足，满足，则与的关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据充要条件和集合的包含关系可得.
【详解】因为是的充分非必要条件，所以成立时一定成立
所以x满足时，x一定满足，所以，
又成立时推不出成立，即x满足时x不一定满足，所以N不是M的子集.
故选：A
14. 生物学家在研究动物体重W（单位：g）与脉搏率f（单位：次）的关系时，获得了右表的数据，令，，并拟合线性回归方程．根据已知数据，下列说法正确的是（ ）
A. 变量x与y成正相关，且B. 变量x与y成负相关，且
C. 变量x与y成正相关，且D. 变量x与y成负相关，且
【答案】D
【解析】
【分析】由表格数据变化情况可得与负相关，然后由可判断的符号.
【详解】由表格数据可得随着动物体重增加，脉搏率逐渐减小，即随着增加，逐渐减小.
又函数在上单调递增，则随着增加，逐渐减小，
从而与负相关，.注意到，
又由题可得，结合，
可得.
15. 设数列满足，且，其中．下列选项中错误的是（ ）
A. 存在，使得存在正整数N，当时，总有
B. 存在，使得不存在正整数N，当时，总有
C. 对任意，都不存在正整数N，使得当时，总有
D. 存在，使得不存在正整数N，当时，总有
【答案】C
【解析】
【详解】对于A，令，则，
存在，当时，有且，所以，故A正确；
对于B，令，则，
当时，，
当时，，
由A当时，总有，
因此不存在正整数，对所有的，总有，故B正确；
对于C，令，则，
当时，有，
又因为，，而，所以，
则时，总有，
因此当时，存在，当时，有，故C错误；
对于D，令，则，数列正负交替出现，
因此不存在正整数，对所有的，总有，故D正确；
16. 对任意平面向量、、及任意实数，已知运算⊙满足以下三条性质：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．则下列选项中一定成立的是（ ）
A. 若，则或B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对于新定义运算判断题，一般通过选择特定函数验证性质，再根据选项利用特值代入排除或通过推理得到结论.
【详解】设、、的坐标分别为，
对于A，若定义，运算⊙显然满足（Ⅰ）；
因，
而，即满足（Ⅱ）；
又，而，即满足（Ⅲ）.
若取，，但都不是零向量，故A错误；
对于B，若定义，显然满足三条性质.
若取，则而，故B错误；
对于C，利用以上三条性质，可得：
，故C正确；
对于D，若定义，显然满足三条性质，
但，当时，，故D错误.
三、解答题（本大您共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17. 在复平面内，已知点、、对应的复数分别为、、，其中是虚数单位．
（1）求的值；
（2）若复数z满足，求．
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）由已知写出点、、的坐标，写出向量，，即可求；
（2）由已知可得复数对应的点到点和点距离相等，可知复数对应的点在AB的垂直平分线上，即的实部为3，再计算到的距离，由复数对应的点到原点的距离等于该值，即可解出.
【小问1详解】
由已知可得，，，，所以，，
所以；
【小问2详解】
因为，，，所以，
所以复数对应的点到点到和点距离相等，
所以这两点的中垂线是直线，即复数的实部为，设， .
所以，
所以，解得，
所以或.
18. 如图，在中，，平面，分别是线段、的中点．
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，设，求出，利用证明.
（2）求出平面的一个法向量，利用即可求出直线与平面所成角的大小.
【小问1详解】
由题可建立如图所示的空间直角坐标系.设.
则.
所以
所以，；
【小问2详解】
，.
，.
记平面的一个法向量为，
则，令则.
，.
记直线与平面所成角为.
则.
又，.
19. 某款足球机器人射点球时，射门点与球门中心的水平偏差（单位：）服从正态分布．在正常状态下，偏差，规定为“严重失误”．
（1）求一次射门出现严重失误的概率p（精确到0.0001）；
（2）假设每次射门相互独立，每次测试让机器人射门16次，若至少出现一次严重失误，则判定需要校准．在正常状态下，求一次测试被判定需要校准的概率（精确到0.01），并说明该判定规则是否合理；
（3）因机械磨损，机器人射门精度下降，一次射门出现严重失误的概率增加到5%．此时每次测试仍射门16次，但判定规则改为：若至少出现2次严重失误，才需要校准．在磨损状态下，求被判定需要校准的概率（精确到0.01）．此时，若一次校准的成本为1万元，且每天测试3次，求日均校准成本的期望值（精确到百元）．
参考公式与数据：
①若，则．
②若，则，．
参考数据：，.
【答案】（1）
（2），判定规则在正常状态下误判率约4.2%，虽偏低但仍存在误报，基本合理但略偏保守.
（3），元
【解析】
【分析】（1）根据转化公式化为标准正态分布，根据参考数据利用对称性求解；
（2）由题意转化为二项分布，根据二项分布求概率，由结果分析规则的合理性即可；
（3）根据二项分布求出对应概率，再由二项分布求期望即可.
【小问1详解】
令，
则,
因为，
所以，
即.
【小问2详解】
设为次射门中出现严重失误的次数，
则,
则需要校准的概率,
因为，
所以，，
所以，
在正常状态下（无故障），仍有约4.2%的概率被误判为“需要校准”，
即存在约4.2%的假阳性率.虽然不高，但每天多次测试会累积误判次数，
可能造成不必要的校准成本.若追求高可靠性，此规则略显敏感；
若容忍少量误判以确保及时发现故障，则尚可接受.
综合来看，该规则偏保守，有一定合理性，但可优化.
【小问3详解】
机器人因机械磨损，单次失误概率，测试次数为次，
设为次射门中出现严重失误的次数，则，
则，
因为，
,
所以，
设每天校准次数为随机变量，则,
则每天校准次数的期望为次，
所以日均校准成本的期望元，即百元.
20. 已知椭圆与直线、．过椭圆上一点P作的平行线交于点M，作的平行线交于点N．
（1）当P为椭圆的上顶点时，求的大小；
（2）若椭圆的离心率，求椭圆的方程，并求的最大值与最小值；
（3）若为定值（与点P的位置无关），求a的值，并求此时四边形面积的最大值．
【答案】（1）4 （2）最大值为4，最小值为2
（3），四边形面积的最大值为
【解析】
【分析】（1）根据条件分别求直线和的方程，再联立直线求交点，的坐标，即可求解；
（2）首先根据离心率求椭圆方程，再根据向量的平行四边形法则转化为求的最值；
（3）首先根据点的坐标求直线和的方程，通过联立直线方程求点，的坐标，再代入两点间距离公式，根据定值求，首先角的关系求，再根据为定值4，分两种情况，结合余弦定理和基本不等式求面积的最大值，再求四边形面积的最大值.
【小问1详解】
当点在椭圆的上顶点时，,，，
联立，得，即，
联立，得，即，
所以；
【小问2详解】
椭圆的离心率，得，
所以椭圆方程为；
由条件可知四边形是平行四边形，所以，
设，，
所以，
所以的最大值为4，最小值为2；
【小问3详解】
设，则，,
联立，解得：，，
即，
联立，解得：，，
即，
因为点在椭圆上，满足，
所以
因为为定值，所以与无关，所以，得，则；
此时，
如图：由条件可知，，则，
，
则，且为定值4，
中根据余弦定理，，
，
即，所以，
而四边形是平行四边形，，当时等号成立，
此时，四边形的最大值为4，
如下图：由以上可知，，，
中根据余弦定理，，
，
即，所以，
而四边形是平行四边形，，当时等号成立，
综上两种情况可知，四边形的最大值为.
21. 已知在神经网络中，常作为神经元激活函数．
（1）证明：对任意实数x，有，并由此写出图像的对称中心；
（2）设交叉熵损失函数，用于衡量预测值与真实标签t之间的差异，其中．试确定t的值，使得在上是减函数；
（3）在深度神经网络中，信号经过多层传播可抽象为一个迭代过程．设数列满足，其中n为正整数．证明：存在唯一实数，使得，且对任意实数和任意正整数n，都有．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用中心对称性恒等式进行证明即可；
（2）利用求导，结合不等式恒成立可确定参数取值；
（3）利用拉格朗日中值定理，构造递推数列关系，结合迭代法可证明不等式.
【小问1详解】
由​，得 ​，求和可得：，
则对任意实数x，有，
即图像的对称中心为： ；
【小问2详解】
由题意可得：
，
求导得：，
要使得在上是减函数，则，
因为，所以，即，
又因为，所以；
【小问3详解】
构造，，
则，
所以在上单调递减，
又因为，，
且在上连续递减，结合零点存在定理，
可知存在唯一实数，使得，
再由，当且仅当时取等号，
根据拉格朗日中值定理，对任意有：，
又因为，，所以对任意，恒有不等式成立，
则由迭代法，结合不等式性质可得：
，
因为，即，，
所以，
因此，即问题得证.
动物名
体重
脉搏率f/（次）
鼠
25
670
豚鼠
300
300
兔
2000
205
小狗
5000
120
大狗
30000
85
羊
50000
70
马
450000
38
动物名
体重
脉搏率f/（次）
鼠
25
670
豚鼠
300
300
兔
2000
205
小狗
5000
120
大狗
30000
85
羊
50000
70
马
450000
38