湖北省恩施北师大版2025-2026学年八年级数学下学期期中考试培优卷

这是一份湖北省恩施北师大版2025-2026学年八年级数学下学期期中考试培优卷，共16页。试卷主要包含了选择题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则下列不等式变形正确的是
A．B．C．D．
3．用反证法证明“在一个三角形中不能有两个内角为直角”，首先应假设( )
A．在一个三角形中有两个内角为直角
B．在一个三角形中不能有两个内角为直角
C．所有的三角形中不能有两个内角为直角
D．一个三角形中有三个内角是直角
4．已知点在第四象限，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，点在边上，，，则的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
6．如图，△ABC中，∠BAC=30°，△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，连接对应点CD，AE垂直平分CD于点F，则旋转角度是( )
A．30°B．45°C．50°D．60°
7．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．7.5B．8C．15D．无法确定
8．等腰三角形的两边长分别为4厘米和9厘米，则这个三角形的周长为( )
A．22厘米B．17厘米C．13厘米D．17厘米或22厘米
9．如图所示，直线经过点，，则不等式的解集是（ ）．

A．B．C．D．
10．如图，，，若，，则点到的距离是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角的度数是_______________
12．如图，在中，，，是高，，则的长度为___．

13．如图，直线与直线的交点是，则不等式的解集是______．
14．在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到的点的坐标是______ ．
15．如图，在等腰三角形中，平分垂直平分交于点，则的长是______．
16．如图，在四边形中，、为对角线，，，已知，，则__________．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
18．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系是格点三角形（顶点在网格线的交点上）；
(1)作出关于原点成中心对称的，并写出三个顶点坐标（_____），（_____），（_____）；
(2)把向上平移4个单位长度得到，画出．
(3)与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标（_____）．
19．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：BE=CF；
（2）若AB=15，AC=9，求BE的长．
20．已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度．
21．某文具商店购买了两种类型文具A和文具B销售，若购A文具5个，B文具3个，需要105元：若购进A文具8个，B文具6个，需要186元．
(1)求文具A，文具B的进价分别是多少元？
(2)若每个文具A的售价为20元，每个文具B的售价为21元．结合市场需求，该商店决定购进文具A和文具B共80个，且购进文具B的数量不少于文具A的数量的．且文具A和文具B全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案．
22．如图，与相交于点O，，，．
(1)求证；
(2)求证：垂直平分．
23．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC．
（1）求证：∠BAD=2∠MAN；
（2）连接BD，若∠MAN=70°，∠DBC=40°，求∠ADC．
24．若一个不等式（组）A有解且解集为（），则称为A的“界中值”，若A的界中值是不等式（组）B的解（即界中值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A“界中包含”．
(1)已知关于x的不等式组①：，②，③以及不等式M：，则不等式M对于不等式组①___________（是/不是）“界中包含”；不等式M对于不等式组②___________（是/不是）“界中包含”；不等式M对于不等式组③___________（是/不是）“界中包含”．
(2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若D对于不等式组C“界中包含”，求m的取值范围．
(3)关于x的不等式组E：（）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E“界中包含”，且所有符合要求的整数m之和为14，求n的取值范围．
25．在中， 于点M，且点M为的中点，。
(1)如图1，求证：为等边三角形；
(2)如图2，点D、E分别在上，连接相交于点F，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，于点G，连接，，点H为外一点，连接，点I为内一点，连接，，，若，，求的面积．
参考答案
一、选择题
二、填空题
11．或
12．
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
18．【详解】（1）解：如图，为所求作的三角形；
根据图可知，，，．
（2）解：如图，为所求作的三角形；
（3）解：连接、，则、的交点即为对称中心，
∵，，
∴对称中心的坐标为，
即对称中心的坐标为．
故答案为：．
19．【详解】解：（1）连接CD，
∵DG垂直平分BC，
∴BD=CD，
∵AD平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即，解得．
20．【详解】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分线，
又∵CE⊥AD，CB⊥AB，
∴CE＝CB．
（2）∵AC是∠EAB的角平分线，
∴∠EAB＝2∠CAE＝60°，
∵∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠EDC＝∠DCA+∠DAC＝60°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴∠ECD＝30°，
∵CB⊥AB，
∴∠CBA＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠CBA+∠DCB＝180°，
∴∠DCB＝90°，
∴∠ECB＝∠ECD+∠DCB＝120°，
∵CE＝CB＝2，
∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣∠ECB）＝30°，
∴∠EBA＝60°，
∴∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE＝AB；
在Rt△ABC中，
∵BC⊥AB，∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝4，
∴AB＝，
∴BE＝2．
21．【详解】（1）解：设文具A，文具B的进价分别是元，元，由题意，得：
，解得：，
答：文具A，文具B的进价分别是12元和15元；
（2）设购进文具A的数量为个，则购进文具B个，由题意，得：
，
解得：，
设总利润为，由题意，得：，
∴随的增大而增大，
∵，
∴当时，此时，有最大值为576；
答：当购进文具A的数量为48个，文具B的数量为32个时，利润最大为576元．
22．【详解】（1）证明：在与中，
，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
23．【详解】（1）如图，连接AC．
∵M、N分别是CD、BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC，
∴AM、AN分别是CD、BC的垂直平分线，
∴AC＝AD，AB＝AC．
∵AM⊥CD，AN⊥BC，
∴∠DAM=∠CAM，∠BAN=∠CAN，
∴∠DAC+∠BAC=2∠CAM+2∠CAN，
∴∠BAD=2∠MAN；
（2）∵∠MAN=70°，
∴∠BAD=2∠MAN=140°．
∵AM⊥CD，AN⊥BC，
∴∠BCD=180°－∠MAN=180°－70°=110°．
∵∠DBC=40°，
∴∠BDC=180°－∠DBC－∠BCD=180°－40°－110°=30°．
∵AB=AC=AD，
∴∠ABD=∠ADB．
∵∠BAD=140°，
∴∠ABD=∠ADB=20°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=20°+30°=50°．
24．【详解】（1）解：（1）由题意，①解不等式组得，
“界中值”为，故不等式对于不等式组①是“界中包含”．
②解不等式组得．
“界中值”为，故不等式对于不等式组②是“界中包含”．
③解不等式组得．
“界中值”为，故不等式对于不等式组③不是“界中包含”．
故答案为：是，是，不是．
（2）解：∵“D对于不等式组‘界中包含’ ”，
不等式组和不等式组有解，
解不等式组：得．
解不等式组：得，
，
解得，
当时，不等式组的解集为，不等式组的解集为，
的界中值为，
对于不等式组“界中包含”，
，
∴，
又，
．
（3）解：解不等式组：得，，解不等式组：得，，
的界中值为，
不等式组对于不等式组“界中包含”，
，
解得：．
所有符合要求的整数m之和为14，
整数可取、、、，或整数可取、、、、、、，
或．
25．【详解】（1）证明：∵于点M，且点M为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴为等边三角形；
（2）证明：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，过点作、的垂线，垂足分别为、，连接，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在四边形中，，
∵，
∴，
∵，
∵，
又∵，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在等腰直角形，，
∵，，
∴，，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，，
在中，点是的中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作的垂线，垂足为，
在中，，，
∴，
∴的面积．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
A
C
B
D
A
A
A
B