湖北恩施市七校2025-2026学年下学期八年级数学期中测试试卷（含解析）

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1. 若有意义，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解．
【详解】解：∵有意义，
∴，
解得：，则的值可以是
故选：D．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
2. 若的三个内角分别为、、，三条边分别为、、，那么，根据下面的条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：A． ∵，，∴，得，∴是直角三角形，此项不符合题意；
B． ∵，，总份数为，∴，，，∴没有直角，不是直角三角形，此项符合题意；
C． ∵，∴，，∴，是直角三角形，此项不符合题意；
D． ∵，∴，∴是直角三角形，此项不符合题意．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：、与不是同类二次根式，不能合并，该选项计算错误，不符合题意；
、，该选项计算错误，不符合题意；
、，该选项计算正确，符合题意；
、，该选项计算错误，不符合题意．
4. 如图，过对角线的交点O，交于点E，交于点F．若的周长为14，，则四边形的周长为（ ）
A. 13B. 12C. 10D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质证明，得到，，再根据平行四边形的周长，求出，即可得解．
【详解】解：，
，，，
，
在和中，
，
，，
，
的周长为14，
，
四边形的周长为．
5. 如图，我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形．正八边形的一个内角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】正n边形的内角和公式为，且正n边形的每个内角都相等，据此计算即可．
【详解】解：∵正八边形的边数，
∴正八边形的内角和为，
又∵正八边形的各个内角相等，
∴正八边形的一个内角的度数为 ．
6. 如图，实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴确定的取值范围，判断绝对值符号内代数式及的正负，利用绝对值和二次根式的性质化简即可．
【详解】解：由数轴可知，
，
原式
．
7. 如图，点、分别为的边、的中点，连接、，点、分别为、的中点，连接、，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】易知是的中位线，可得，再由中点的性质可得．
【详解】解：点、是边、的中点，
是的中位线，
，
点是边的中点，
．
8. 白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：如下图，诗中将军在观望烽火之后从山脚上的点出发，奔向小河旁边的点饮马，饮马后再到点宿营，若点到水平直线（表示小河）的距离为，点到水平直线l的距离为，之间的水平距离是，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定，平行线间的距离，轴对称最短路径问题，勾股定理，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时最小，则，所以，过点作于点，然后求出，，由勾股定理得，从而得出的最小值为，准确找到点的位置是解题的关键．
【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时最小，
∵，
∴，
过点作于点，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故选：．
9. 如图，，，分别是边，上的点，且，连接与相交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，根据平行四边形的判定和性质，分别求出，的面积即可．
【详解】解：如图，连接．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
四边形是平行四边形，
，，
∴的面积的面积的面积的面积，
四边形的面积为，
四边形的面积，
∵，，
，
∵，
四边形是平行四边形，
的面积，
阴影部分的面积的面积的面积．
10. 如图，在中，AB=AC，，点D，E为BC上两点．，F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A. ①②④B. ①②③④C. ①③④D. ②③
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角直角三角形的性质是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③，再根据勾股定理以及等量代换即可得出④．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由①中证明，
∴，
∵，，
∴，
∴，
连接，如图所示：

∵，
∴，
∵，，
∴，故②正确；
设与的交点为，
∵，，
∴，，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
在中，，
，
∴，
∴，故④正确，
故选：B．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是__________．
【答案】x≥
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴5x-1≥0，
解得，x≥，
故答案为：x≥．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
12. 已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键．
根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可．
【详解】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同，
则的最简形式为，其中为正整数，
即，
解得
由为正整数，得，
解得，
则可取1，2，3，
当时，；当时，；当时，
因此的最小值为5，
故答案为：5．
13. 如果多边形的内角和等于外角和的倍，那么这个多边形的边数为______．
【答案】
【解析】
【分析】设多边形的边数为，根据内角和是外角和的倍，利用多边形内角和公式及外角和为建立方程求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
∵多边形的内角和等于外角和的倍，
∴，
解得，
∴这个多边形的边数为．
14. 当时，代数式________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，二次根式的运算．先利用完全平方公式将代数式变形为，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴代数式．
故答案为：．
15. 如图，中，若点E是中点，点F在边上，连接，，且．若，，，则 的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】延长交的延长线于点G，连接，在中，，，则，根据，得出，证明，则，证明，在中，求出，在中，勾股定理求出，即可得．
【详解】解：延长交的延长线于点G，连接，
在中，，，
，
∵，
∴，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
．
三、解答题：本题共9小题，共75分．其中：16-18每题6分，19-21题每题8分，22题10分，23题11分，24题12分．
16. 计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由二次根式性质化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先由完全平方公式、平方差公式展开，再由有理数加减运算计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 已知，．
（1）求和的值；
（2）求的值；
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二次根式的加法运算法则进行计算即可；
（2）将代数式化为 ，把（1）中结果，利用整体代入法代入计算即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴， ；
【小问2详解】
解： ．
18. 在数学课上，老师将一个长方形纸片的长增加 ，宽增加 ，就得到一个面积为 的正方形纸片，求原长方形纸片的面积．
【答案】原长方形纸片的面积为．
【解析】
【分析】先根据正方形面积求出其边长，再逆推原长方形的长和宽，进而计算面积．
【详解】解：一个面积为的正方形纸片，
边长为：，
原长方形的长为：，宽为：，
，
答：原长方形纸片的面积为．
19. 已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出，，进而得出，，再证明，根据全等三角形的性质得出，再利用线段的差得出，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵点为对角线的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20. 如图，小明从点A出发，前进后向右转，再前进后又向右转，…，如此反复下去，直到他第一次回到出发点A，他所走的路径恰好构成了一个正多边形．
（1）小明一共走了多少米?
（2）求这个正多边形的内角和．
【答案】（1）小明一共走了
（2）
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的外角的计算以及多边形的内角和．
（1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是度的正多边形，求得边数，即可求解；
（2）根据多边形的内角和公式即可得到结论．
【小问1详解】
解：由题意，得这个正多边形的外角为，
该正多边形的边数为，
．
答：小明一共走了．
【小问2详解】
解：由（1）知这个正多边形的边数为9边形，则这个正多边形的内角和为．
21. 如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行．
（1）请问“远方”号沿哪个方向航行？
（2）若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？
【答案】（1）“远方”号沿东南方向航行
（2）25海里
【解析】
【分析】（1）根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【小问1详解】
解：由题知，海里，海里，，，
，
，
是直角三角形，且，
，
即“远方”号沿东南方向航行．
【小问2详解】
解：根据题意得：海里，海里，
在中，，
∴海里，
即此时“前行”号与“远方”号的距离是25海里．
22. 2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入．
（1）烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．
【答案】（1）120米
（2）需要，封锁的公路长为100米，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质及三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键；
（1）过C作，由勾股定理得逆定理得是直角三角形，且，再由三角形面积求的得长即可；
（2）过C作，以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，根据，判断有危险，再根据勾股定理求出，进而求出即可．
【小问1详解】
解：由题意得米，米，米，
如图，过C作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：（米），
答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米；
【小问2详解】
解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，，
公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米，
按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁，
以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，
，，
，
在中，，
，
即需要封锁的公路长为100米．
23. 阅读下面问题：
；；，……．试求：
（1）的值；
（2）（为正整数）的值．
（3）根据你发现的规律，请计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据分母有理化的方法进行求解即可；
（2）根据分母有理化的方法进行求解即可；
（3）利用分母有理化进行运算，从而可求解；
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
【小问3详解】
解：
．
24. 如下图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个点（点，始终在的外面），且，，连接，，，．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若，，则四边形是平行四边形吗？请说明理由．由此你能得出什么结论？
（3）若平分，，求四边形的周长．
【答案】（1）见解析 （2）四边形是平行四边形．理由结论见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）先利用平行四边形对角线互相平分的性质得，再由的关系推出，结合对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论；
（2）同理（1），通过推出，结合判定平行四边形，再总结一般比例下的结论；
（3）利用角平分线和平行线的性质得，结合平行四边形性质推出垂直平分，进而得，再由判定为等边三角形，求出边长后计算周长．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，．
，，
，
，即，
四边形为平行四边形．
【小问2详解】
解：四边形是平行四边形，
，．
，，
，
，即，
四边形为平行四边形．
由此可得出结论：若，，则四边形为平行四边形．
【小问3详解】
解：在中，，
．
平分，
，
，
．
，
，
垂直平分，
．
，
是等边三角形，
，
．
本题考查了平行四边形的性质与判定、等边三角形的判定，掌握平行四边形的对角线性质、对角线互相平分的四边形是平行四边形及角平分线与平行线结合得等腰三角形的技巧是解题的关键．