十年(2016-2025)高考数学真题分类汇编(全国通用)专题22指数、对数、幂函数、函数图象(四大考点，92题)(学生版+解析)

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考点01：指数函数
1．（2025·天津·高考真题）函数f(x)=0.3x−x的零点所在区间是（ ）
A．(0,0.3)B．(0.3,0.5)C．(0.5,1)D．(1,2)
【答案】B
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：y=0.3x在R上单调递减，y=x在0,+∞单调递增，
所以fx=0.3x−x在定义域上单调递减，
显然f0=1>0,f0.3=0.30.3−0.30.5>0,f0.5=0.30.5−0.50.50,s∈R．下列各项中，能推出as>a的一项是（ ）
A．a>1，且s>0B．a>1，且s1，即A、B错误.
故选：D
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数f(x)=−x2−2ax−a,x0 ，
所以 g(x) 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 g(0.1)>g(0)=0 ，即 a−c>0 ，所以 a>c.
故 cbB．a>b>0C．b>a>0D．b>0>a
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=lg910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m>lg11，lg89>m，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由9m=10可得m=lg910=lg10lg9>1，而lg9lg11lg11，所以a=10m−11>10lg11−11=0.
又lg8lg10m，
所以b=8m−90>b.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由9m=10，可得m=lg910∈(1,1.5)．
根据a,b的形式构造函数f(x)=xm−x−1(x>1) ，则f'(x)=mxm−1−1，
令f'(x)=0，解得x0=m11−m ，由m=lg910∈(1,1.5) 知x0∈(0,1) .
f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a>b ，
又因为f(9)=9lg910−10=0 ，所以a>0>b .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用a,b的形式构造函数f(x)=xm−x−1(x>1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
14．（2022·浙江·高考真题）已知2a=5,lg83=b，则4a−3b=（ ）
A．25B．5C．259D．53
【答案】C
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为2a=5，b=lg83=13lg23，即23b=3，所以4a−3b=4a43b=2a223b2=5232=259．
故选：C.
15．（2022·北京·高考真题）已知函数f(x)=11+2x，则对任意实数x，有（ ）
A．f(−x)+f(x)=0B．f(−x)−f(x)=0
C．f(−x)+f(x)=1D．f(−x)−f(x)=13
【答案】C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】f−x+fx=11+2−x+11+2x=2x1+2x+11+2x=1，故A错误，C正确；
f−x−fx=11+2−x−11+2x=2x1+2x−11+2x=2x−12x+1=1−22x+1，不是常数，故BD错误；
故选：C．
16．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．y=x2+2x+4B．y=sinx+4sinx
C．y=2x+22−xD．y=lnx+4lnx
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出B,D不符合题意，C符合题意．
【详解】对于A，y=x2+2x+4=x+12+3≥3，当且仅当x=−1时取等号，所以其最小值为3，A不符合题意；
对于B，因为00，y=2x+22−x=2x+42x≥24=4，当且仅当2x=2，即x=1时取等号，所以其最小值为4，C符合题意；
对于D，y=lnx+4lnx，函数定义域为0,1∪1,+∞，而lnx∈R且lnx≠0，如当lnx=−1，y=−5，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
17．（2021·天津·高考真题）设a=lg20.3,b=lg120.4,c=0.40.3，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a