十年(2016-2025)高考数学真题分类汇编(全国通用)专题25导数及其应用填选题综合(四大考点，67题)(学生版+解析)

这是一份十年(2016-2025)高考数学真题分类汇编(全国通用)专题25导数及其应用填选题综合(四大考点，67题)(学生版+解析)，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

考点01：导数的概念和几何意义
一、单选题
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数fx=ex+2sinx1+x2，则曲线y=fx在点0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．16B．13C．12D．23
【答案】A
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积.
【详解】f'x=ex+2csx1+x2−ex+2sinx⋅2x1+x22，
则f'0=e0+2cs01+0−e0+2sin0×01+02=3，
即该切线方程为y−1=3x，即y=3x+1，
令x=0，则y=1，令y=0，则x=−13，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=12×1×−13=16.
故选：A.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为（ ）
A．y=e4xB．y=e2xC．y=e4x+e4D．y=e2x+3e4
【答案】C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.
【详解】设曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为y−e2=kx−1，
因为y=exx+1，
所以y'=exx+1−exx+12=xexx+12，
所以k=y'|x=1=e4
所以y−e2=e4x−1
所以曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为y=e4x+e4.
故选：C
3．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若过点a,b可以作曲线y=ex的两条切线，则（ ）
A．eb0,解得a0,
∴a的取值范围是−∞,−4∪0,+∞,
故答案为：−∞,−4∪0,+∞
15．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
【答案】 y=1ex y=−1ex
【分析】分x>0和x0时设切点为x0,lnx0，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x0，即可求出切线方程，当x0和x0时设切点为x0,lnx0，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x0，即可求出切线方程，当x0时y=lnx，设切点为x0,lnx0，由y'=1x，所以y'|x=x0=1x0，所以切线方程为y−lnx0=1x0x−x0，
又切线过坐标原点，所以−lnx0=1x0−x0，解得x0=e，所以切线方程为y−1=1ex−e，即y=1ex；
当x0时y=lnx，设切点为x0,lnx0，由y'=1x，所以y'|x=x0=1x0，所以切线方程为y−lnx0=1x0x−x0，
又切线过坐标原点，所以−lnx0=1x0−x0，解得x0=e，所以切线方程为y−1=1ex−e，即y=1ex；
因为y=lnx是偶函数，图象为：
所以当x0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x11，则g'x在R上单调递增，此时若f'x0=0，
则f'x在−∞,x0上单调递减，在x0,+∞上单调递增，此时若有x=x1和x=x2分别是函数
fx=2ax−ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点，则x1>x2，不符合题意；
若00，即x01故lnax0=x0lna=lnelna2>1，所以1e0)上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 .
【答案】4.
【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离
【详解】当直线x+y=0平移到与曲线y=x+4x相切位置时，切点Q即为点P到直线x+y=0的距离最小.
由y'=1−4x2=−1，得x=2(−2舍)，y=32，
即切点Q(2,32)，
则切点Q到直线x+y=0的距离为2+3212+12=4，
故答案为4．
【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.
22．（2018·全国III卷·高考真题）曲线y=ax+1ex在点0 ， 1处的切线的斜率为−2，则a= ．
【答案】−3
【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可．
【详解】解：'=aex+ax+1ex
则'0=a+1=−2
所以a=−3
故答案为-3.
【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题．
23．（2018·全国II卷·高考真题）曲线y=2ln(x+1)在点(0, 0)处的切线方程为 ．
【答案】y=2x
【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.
【详解】∵y'=2x+1∴k=20+1=2∴y=2x
【点睛】求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
24．（2018·全国II卷·高考真题）曲线y=2lnx在点1,0处的切线方程为 ．
【答案】y=2x−2
【分析】求导f'(x)=2x，可得斜率k=f'(1)=2，进而得出切线的点斜式方程.
【详解】由y=f(x)=2lnx，得f'(x)=2x，
则曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线的斜率为k=f'(1)=2，
则所求切线方程为y−0=2(x−1)，即y=2x−2.
【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.
25．（2017·全国I卷·高考真题）曲线y=x2+1x在点（1，2）处的切线方程为 ．
【答案】y=x+1
【详解】设y=f(x)，则f'(x)=2x−1x2，所以f'(1)=2−1=1，
所以曲线y=x2+1x在点(1,2)处的切线方程为y−2=1×(x−1)，即y=x+1．
点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的一点，则以P为切点的切线方程是y−y0=f'(x0)(x−x0)．若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为x=x0．
26．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .
【答案】(e, 1).
【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.
【详解】设点Ax0,y0，则y0=lnx0.又y'=1x，
当x=x0时，y'=1x0，
点A在曲线y=lnx上的切线为y−y0=1x0(x−x0)，
即y−lnx0=xx0−1，
代入点−e,−1，得−1−lnx0=−ex0−1，
即x0lnx0=e，
考查函数Hx=xlnx，当x∈0,1时，Hx0，
且H'x=lnx+1，当x>1时，H'x>0,Hx单调递增，
注意到He=e，故x0lnx0=e存在唯一的实数根x0=e，此时y0=1，
故点A的坐标为Ae,1.
【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
27．（2019·天津·高考真题） 曲线y=csx−x2在点0,1处的切线方程为 .
【答案】x+2y−2=0
【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程．
【详解】y'=−sinx−12，
当x=0时其值为−12，
故所求的切线方程为y−1=−12x，即x+2y−2=0．
【点睛】曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组y0=f(x0)y1−y0x1−x0=f'(x0)得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
28．（2016·全国III卷·高考真题）已知f(x)为偶函数，当x0时，−x0时，函数y=f(x)，则当x0,fx单调递增，当x∈43,2,f'x0；③f'(x)是奇函数．
【答案】fx=x4（答案不唯一，fx=x2nn∈N∗均满足）
【分析】根据幂函数的性质可得所求的fx.
【详解】取fx=x4，则fx1x2=x1x24=x14x24=fx1fx2，满足①，
f'x=4x3，x>0时有f'x>0，满足②，
f'x=4x3的定义域为R，
又f'−x=−4x3=−f'x，故f'x是奇函数，满足③.
故答案为：fx=x4（答案不唯一，fx=x2nn∈N∗均满足）
34．（2020·全国III卷·高考真题）设函数f(x)=exx+a．若f'(1)=e4，则a= ．
【答案】1
【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值
【详解】由函数的解析式可得：f'x=exx+a−exx+a2=exx+a−1x+a2，
则：f'1=e1×1+a−11+a2=aea+12，据此可得：aea+12=e4，
整理可得：a2−2a+1=0，解得：a=1.
故答案为：1.
【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.
35．（2018·天津·高考真题）已知函数f(x)=exlnx，f'x为f(x)的导函数，则f'1的值为 ．
【答案】e
【分析】首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由函数的解析式可得：f'(x)=ex×lnx+ex×1x=exlnx+1x，
则f'(1)=e1×ln1+11=e，
即f'1的值为e，故答案为e.
点睛：本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
36．（2016·天津·高考真题）已知函数f(x)=(2x+1)ex,f'(x)为f(x)的导函数，则f'(0)的值为 .
【答案】3
【详解】试题分析：∵f'(x)=(2x+3)ex,∴f'(0)=3.
【考点】导数
【名师点睛】求函数的导数的方法：
（1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
（2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导；
（3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；
（4）复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导；
（5）不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．
考点03：导数在研究函数中的作用
一、单选题
37．（2024·上海·高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，定义集合M=x0x0∈R,x∈−∞,x0,f(x)a>cC．a>b>cD．a>c>b
【答案】A
【分析】由cb=4tan14结合三角函数的性质可得c>b;构造函数fx=csx+12x2−1,x∈0,+∞,利用导数可得b>a,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当x∈0,π2,x1，故cb>1，所以c>b；
设f(x)=csx+12x2−1,x∈(0,+∞)，
f'(x)=−sinx+x>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，
故f14>f(0)=0，所以cs14−3132>0，
所以b>a，所以c>b>a，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当x∈0,π2,sinx1−2182=3132，故b>a
4sin14+cs14=17sin14+φ，其中φ∈0,π2，且sinφ=117,csφ=417
当4sin14+cs14=17时，14+φ=π2，及φ=π2−14
此时sin14=csφ=417，cs14=sinφ=117
故cs14=117 a，故选A
[方法三]：泰勒展开
设x=0.25，则a=3132=1−0.2522，b=cs14≈1−0.2522+0.2544!，
c=4sin14=sin1414≈1−0.2523!+0.2545!，计算得c>b>a，故选A.
[方法四]：构造函数
因为cb=4tan14，因为当x∈0,π2,sinx1，所以c>b；设f(x)=csx+12x2−1,x∈(0,+∞)，f'(x)=−sinx+x>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，则f14>f(0)=0,所以cs14−3132>0，所以b>a,所以c>b>a，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为cb=4tan14，因为当x∈0,π2,sinx1，所以c>b；因为当x∈0,π2,sinx1−2182=3132，故b>a，所以c>b>a．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式x∈0,π2,sinx0，即fx单调递增；
在区间π2,3π2上f'xb时，fx>0，画出fx的图象如下图所示：

由图可知b>a，a>0，故ab>a2.
综上所述，ab>a2成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
44．（2021·浙江·高考真题）已知函数f(x)=x2+14,g(x)=sinx，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．y=f(x)+g(x)−14B．y=f(x)−g(x)−14
C．y=f(x)g(x)D．y=g(x)f(x)
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A，y=f(x)+g(x)−14=x2+sinx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，y=f(x)−g(x)−14=x2−sinx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，y=f(x)g(x)=(x2+14)sinx，则y'=2xsinx+(x2+14)csx，
当x=π4时，y'=π2×22+(π216+14)×22>0，与图象不符，排除C.
故选：D.
45．（2018·全国II卷·高考真题）函数fx=ex−e−xx2的图像大致为 ( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
详解：∵x≠0,f(−x)=e−x−exx2=−f(x)∴f(x)为奇函数，舍去A,
∵f(1)=e−e−1>0∴舍去D;
∵f'(x)=(ex+e−x)x2−(ex−e−x)2xx4=(x−2)ex+(x+2)e−xx3∴x>2,f'(x)>0，
所以舍去C；因此选B.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
46．（2018·全国III卷·高考真题）函数y=−x4+x2+2的图像大致为
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.
详解：函数过定点0,2，排除A,B，
求得函数的导数f'x=−4x3+2x=−2x2x2−1，
由f'x>0得2x2x2−10时，f(x)=x2−3ex+2，则（ ）
A．f(0)=0B．当x2即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断.
【详解】对A，因为f(x)定义在R上奇函数，则f(0)=0，故A正确；
对B，当x0，则f(x)=−f−x=−−x2−3e−x+2=−x2−3e−x−2，故B正确；
对C，f(−1)=−1−3e−2=2e−1>2， 故C错误；
对D，当x1，
故x∈(−∞,0)∪(a,+∞)时f'(x)>0，故f(x)在(−∞,0),(a,+∞)上单调递增，
x∈(0,a)时，f'(x)0，f(a)=1−a30肘，f(x)=x2lnx，则f'x=2xlnx+x2⋅1x=x(2lnx+1)，
令f'x1时，f(x)=2x−1−2lnx，有f'(x)=2−2x>0，此时f(x)单调递增；
又f(x)在各分段的界点处连续，
∴综上有：01时，f(x)单调递增；
∴f(x)≥f(1)=1
故答案为：1.
60．（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a= ；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 ．
【答案】 -1; −∞,0.
【分析】首先由奇函数的定义得到关于a的恒等式，据此可得a的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.
【详解】若函数fx=ex+ae−x为奇函数,则f−x=−fx,e−x+aex=−ex+ae−x，
a+1ex+e−x=0对任意的x恒成立.
若函数fx=ex+ae−x是R上的增函数,则f'x=ex−ae−x≥0恒成立,a≤e2x,a≤0.
即实数a的取值范围是−∞,0
【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.
61．（2018·全国I卷·高考真题）已知函数fx=2sinx+sin2x，则fx的最小值是 ．
【答案】−332
【分析】方法一：由f'x=4csx+1csx−12，确定出函数的单调区间，减区间，从而确定出函数的最小值点，代入求得函数的最小值.
【详解】［方法一］： 【通性通法】导数法
f'(x)=2csx+2cs2x=2csx+22cs2x−1=4cs2x+2csx−2
=2(csx+1)⋅(2csx−1)．
令f'(x)>0，得csx>12，即f(x)在区间2kπ−π3,2kπ+π3(k∈Z)内单调递增；
令f'(x)0，即函数gx=1x2与直线y=−2x+a在第一象限内有唯一的交点．于是平移直线y=−2x+a与曲线g(x)=1x2相切时，满足题意，如图．
设切点x0,1x02，因为g'(x)=−2x3，于是−2x03=−2，解得x0=1,a=3，
下同方法一．
【整体点评】方法一：利用导数得出函数在(0,+∞)上的单调性，确定零点位置，求出参数，进而问题转化为闭区间上的最值问题，从而解出，是该类型题的通性通法；
方法二：利用等价转化思想，函数在(0,+∞)上有唯一零点转化为两函数图象有唯一交点，从而求出参数，使问题得解；
方法三：通过三元基本不等式确定取最值条件，从而求出参数，使问题得解，是该题的最优解；
方法四：将函数在(0,+∞)上有唯一零点转化为直线与曲线相切，从而求出参数，使问题得解．
63．（2017·江苏·高考真题）已知函数fx=x3−2x+ex-1ex，其中e是自然数对数的底数，若fa-1+f2a2≤0，则实数a的取值范围是 ．
【答案】[−1,12]
【详解】因为f(−x)=−x3+2x+1ex−ex=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，
因为f'(x)=3x2−2+ex+e−x≥3x2−2+2ex⋅e−x≥0，所以数f(x)在R上单调递增，
又f(a−1)+f(2a2)≤0，即f(2a2)≤f(1−a)，所以2a2≤1−a，即2a2+a−1≤0，
解得−1≤a≤12，故实数a的取值范围为[−1,12]．
点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根据函数f(x)的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在函数f(x)的定义域内．
64．（2017·山东·高考真题）若函数y=exf(x) （e=是自然对数的底数）在fx的定义域上单调递增，则称函数fx具有M性质，下列函数中所有具有M性质的函数的序号为
①f（x）=2−x ②f（x）=3−x ③f（x）=x3 ④f（x）=x2+2
【答案】①④
【详解】①exfx=ex⋅2−x=e2x在R上单调递增，故fx=2−x具有Μ性质；
②exfx=ex⋅3−x=e3x在R上单调递减，故fx=3−x不具有Μ性质；
③exfx=ex⋅x3，令gx=ex⋅x3，则g'x=ex⋅x3+ex⋅3x2=x2exx+2，∴当x>−2时，g'x>0，当x0，∴ exfx=exx2+2在R上单调递增，故fx=x2+2具有Μ性质．
【名师点睛】1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．
2.求可导函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；
(2)求导函数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．
(4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．
3.由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．
考点04：导数的综合应用
65．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线y=x3−3x与y=−x−12+a在0,+∞上有两个不同的交点，则a的取值范围为 ．
【答案】−2,1
【分析】将函数转化为方程，令x3−3x=−x−12+a，分离参数a，构造新函数gx=x3+x2−5x+1,结合导数求得gx单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令x3−3x=−x−12+a，即a=x3+x2−5x+1，令gx=x3+x2−5x+1x>0,
则g'x=3x2+2x−5=3x+5x−1，令g'x=0x>0得x=1，
当x∈0,1时，g'x