2026北师大版（新教材）初中数学七年级下册期中知识点复习要点梳理（1-3章）

这是一份2026北师大版（新教材）初中数学七年级下册期中知识点复习要点梳理（1-3章），共8页。
整式的乘除
核心知识点
幂的乘除
同底数幂的乘法：
法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加（字母表示：am⋅an=am+n，其中 m、n 为正整数）；
注意：底数必须相同（如 23⋅25=28），若底数不同，需先转化为同底数幂再计算（如 23⋅42=23⋅24=27）；
拓展：多个同底数幂相乘，法则仍适用（am⋅an⋅ap=am+n+p）。
同底数幂的除法：
法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减（字母表示：am÷an=am−n，其中 a≠0，m、n 为正整数，且 m>n）；
注意：底数不能为 0（0 的 0 次幂无意义）；
零指数幂：任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1（a0=1，a≠0）；
负整数指数幂：任何不等于 0 的数的 −n（n 为正整数）次幂，等于这个数的 n 次幂的倒数（a−n=1an，a≠0）。
幂的乘方：
法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘（字母表示：(am)n=am⋅n，其中 m、n 为正整数）；
易错区分：幂的乘方与同底数幂的乘法（前者指数相乘，后者指数相加，如 (23)2=26，23⋅22=25）。
积的乘方：
法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘（字母表示：(ab)n=anbn，其中 n 为正整数）；
拓展：多个因式的积的乘方，法则仍适用（(abc)n=anbncn）。
整式的乘法
单项式乘单项式：
法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式；
步骤：先算系数相乘（注意符号），再算同底数幂相乘，最后处理单独的字母；
示例：2a2b⋅3ab3=(2×3)⋅(a2⋅a)⋅(b⋅b3)=6a3b4。
单项式乘多项式：
法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加（字母表示：m(a+b+c)=ma+mb+mc）；
注意：单项式与多项式的每一项都要相乘，不能漏乘；符号要随项的符号变化（如 −2a(3a−b)=−6a2+2ab）。
多项式乘多项式：
法则：先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加（字母表示：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn）；
技巧：可借助“十字相乘”简化计算（适用于二次三项式的乘法）；
注意：漏乘项、符号错误是常见问题，计算后需检查项数（两个 n 项多项式相乘，积的项数最多为 n2）。
乘法公式
平方差公式：
公式：(a+b)(a−b)=a2−b2；
特点：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数，积为相同项的平方减去相反项的平方；
易错提醒：公式可逆用（a2−b2=(a+b)(a−b)），注意符号（如 (−a+b)(−a−b)=a2−b2）。
完全平方公式：
两个公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a−b)2=a2−2ab+b2；
特点：两个相同的二项式相乘，积为三项式，首尾两项是二项式各项的平方，中间项是二项式两项乘积的 2 倍（符号与二项式中间符号一致）；
易错提醒：避免漏写中间项（如 (a+b)2≠a2+b2）；可逆用（a2+2ab+b2=(a+b)2，a2−2ab+b2=(a−b)2）。
公式的灵活运用：
凑整运用（如 (100+1)(100−1)=1002−12=9999）；
变形运用（如 a2+b2=(a+b)2−2ab，(a−b)2=(a+b)2−4ab）。
整式的除法
单项式除以单项式：
法则：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；
注意：系数相除时，要注意符号；同底数幂相除，遵循同底数幂除法法则（底数不变，指数相减）；
示例：6a3b4÷2a2b=(6÷2)⋅(a3÷a2)⋅(b4÷b)=3ab3。
多项式除以单项式：
法则：用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加（字母表示：(ma+mb+mc)÷m=a+b+c，m≠0）；
注意：多项式的每一项都要除以单项式，不能漏除；符号要随项的符号变化（如 (−6a2+2ab)÷(−2a)=3a−b）；
验算：可用商乘除数，看是否等于被除式（检验计算结果是否正确）。
复习重点
牢记幂的运算法则（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），能熟练进行幂的混合运算，注意符号和指数的变化；
掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则，能准确进行整式乘法运算，避免漏乘、符号错误；
熟练掌握平方差公式、完全平方公式，能灵活运用公式进行计算、变形和化简，区分两个公式的适用场景；
掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，能准确进行整式除法运算，学会用验算检验结果；
能解决与整式乘除相关的化简求值问题，先化简再求值，提升运算准确率和速度。
易错点
幂的运算混淆法则：如将同底数幂相乘（指数相加）与幂的乘方（指数相乘）混淆，a3⋅a2 误算为 a6；
忽略零指数幂、负整数指数幂的限制条件（a≠0），或误算（如 00=1、2−3=−8）；
整式乘法中，漏乘多项式的项（如 2a(3a+b) 误算为 6a2+2a），或符号错误（负号漏乘）；
运用完全平方公式时，漏写中间项（如 (a−b)2 误算为 a2−b2）；
整式除法中，系数相除出错，或同底数幂相除时指数计算错误（如 a5÷a2 误算为 a3）；
化简求值时，未先化简直接代入，导致计算繁琐且易出错。
相交线与平行线
核心知识点
两条直线的位置关系
同一平面内两条直线的位置关系：相交（有且只有一个公共点）、平行（没有公共点）（重合的直线视为同一条直线）。
相交线的相关概念：
对顶角：两条直线相交时，相对的两个角叫做对顶角（如 ∠1 与 ∠3），核心性质：对顶角相等；
邻补角：两条直线相交时，有一条公共边、另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角（如 ∠1 与 ∠2），核心性质：邻补角互补（和为 180∘），且成对出现。
垂线：
定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90∘），则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足（用符号”⟂“表示，如 AB⟂CD）；
性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（“一点”可在直线上，也可在直线外）；
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，核心结论：垂线段最短。
探索直线平行的条件
平行线的定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线（用符号”∥“表示，如 AB∥CD）。
平行公理及推论：
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（即 a∥b，b∥c，则 a∥c）。
直线平行的判定条件（重点）：
判定 1：同位角相等，两直线平行（如 ∠1 与 ∠5 相等，则 AB∥CD）；
判定 2：内错角相等，两直线平行（如 ∠3 与 ∠5 相等，则 AB∥CD）；
判定 3：同旁内角互补，两直线平行（如 ∠4 与 ∠5 互补，则 AB∥CD）；
补充判定：垂直于同一条直线的两条直线互相平行（即 a⟂c，b⟂c，则 a∥b）。
同位角、内错角、同旁内角的识别：
同位角：截线同侧，被截线同一方向（形状呈”F”型）；
内错角：截线两侧，被截线之间（形状呈”Z”型）；
同旁内角：截线同侧，被截线之间（形状呈”U”型）；
关键：找准截线和被截线，避免混淆三种角的位置关系。
平行线的性质
平行线的核心性质（与判定互逆，重点区分）：
性质 1：两直线平行，同位角相等（如 AB∥CD，则 ∠1=∠5）；
性质 2：两直线平行，内错角相等（如 AB∥CD，则 ∠3=∠5）；
性质 3：两直线平行，同旁内角互补（如 AB∥CD，则 ∠4+∠5=180∘）。
关键区别：判定是“由角的关系推直线平行”（角→平行），性质是“由直线平行推角的关系”（平行→角）。
平行线的性质应用：
计算角度（如已知两直线平行，求未知角的度数）；
证明角相等、角互补（结合判定，进行双向推理）；
拓展：平行线间的距离处处相等（两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等）。
复习重点
掌握同一平面内两条直线的位置关系，熟练识别对顶角、邻补角，牢记其性质并能计算相关角度；
理解垂线的定义和性质，掌握点到直线距离的概念，能准确画出垂线；
能熟练识别同位角、内错角、同旁内角，牢记直线平行的判定条件，能运用判定证明两直线平行；
区分平行线的判定与性质，能运用性质计算角度、证明角的关系，实现“判定”与“性质”的灵活运用；
能解决与相交线、平行线相关的实际问题，提升推理能力和计算能力。
易错点
混淆对顶角与邻补角的性质，误将邻补角当成相等的角，或忽略邻补角的互补关系；
画垂线时，不标注垂足和垂直符号，或忽略“过一点”的条件；混淆“垂线段”与“点到直线的距离”（垂线段是线段，距离是长度）；
识别三种角时，找错截线和被截线，导致角的类型判断错误（如将内错角当成同位角）；
混淆平行线的判定与性质，出现“由平行推角相等”用成判定，“由角相等推平行”用成性质的错误；
运用平行公理推论时，忽略“同一平面内”的前提（不同平面内，两条直线都平行于第三条直线，不一定互相平行）；
计算角度时，忽略平行线的性质条件，或漏算对顶角、邻补角的关系，导致结果错误。
概率初步
核心知识点
感受可能性
事件的分类（按可能性大小）：
必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件（如太阳从东方升起），其发生的概率为 1；
不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件（如掷一枚骰子，点数为 7），其发生的概率为 0；
随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件（如掷一枚硬币，正面朝上），其发生的概率在 0 和 1 之间（0