2026年高考数学-压轴强化训练压轴12数列中的创新与融合问题的(4大核心压轴题型精讲+压轴强化训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学-压轴强化训练压轴12数列中的创新与融合问题的(4大核心压轴题型精讲+压轴强化训练)(学生版+解析)，共12页。试卷主要包含了数列满足，，，，已知数列的前项和为，且．，对于每项均是正整数的数列P，已知函数．等内容，欢迎下载使用。
新高考的命题要求为：创新试题形式，加强情境设计，注意联系社会生活实际，增加综合性、开放性、应用性、探究性试题.这些要求反映在数列试题中，就是出现了数列的新情境、新定义和新性质问题，这些“三新”问题逐渐成为热点的压轴题.
题型01 数列与其他知识的交汇
技法指导
数列与三角相结合出现的频率较高，一般是根据题干得到数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的方法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程中灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.
1.数列满足，，，.
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求正整数，使得.
【解】（1）由已知条件可知，由于，
故，
则，
故数列是以1为公差的等差数列，且首项为，
故，即.
（2）
，
由，得.
2.（2025湖南长沙模拟）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，且．
(1)用表示；
(2)若，记，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式．
【解】（1）因为，所以，
则曲线在点处的切线方程为，
将点代入方程，得，
因为为正实数，所以为正实数，.
（2）因为，所以，
，由题意得，
则，而，
则，故为公比为的等比数列，且，
得到，故，
两边取指数得到，解得.
题型02 数列的新情境问题
技法指导
解决数列的新情境问题要首先理解题意，从新情境中抽象出等差数列、等比数列等特殊的数列、转化为数列的通项、性质或求和问题.
3．（2026·湖北黄冈·一模）抽屉里有相同规格的3块充电电池和2块一次性干电池，当需要使用电池时即从抽屉随机抽取一块，充电电池使用完后充满电放回原抽屉，干电池使用完后即作垃圾回收．当抽屉只剩下充电电池时则停止电池的随机抽取．
(1)求在第2次抽取的是干电池的条件下第1次抽取的也是干电池的概率；
(2)若每次用完一块干电池就补充一块充电电池，直到2块干电池用完．记抽取第次时恰好抽到最后一块干电池的概率为，求．
【解】（1）记第1，2次取出的是干电池的概率分别为，，
，，
在第2次取出的是干电池的条件下第1次取出的也是干电池的概率为
.
（2）方法一：依题意有抽屉里有3块充电电池，2块干电池，
用完第一块干电池后补充一块充电电池，电池总数为5块不变．
记第次恰好抽到第一块干电池，
第次恰好抽到第二块干电池的概率为，
则，
∴ .
方法二：“第次抽取时恰好抽到最后1块干电池”可分为两类：
第1次抽到干电池与第1次抽到充电电池．
当第1次抽到充电电池时：
此时“第次抽取时恰好抽到最后1块干电池”的概率为，
当第1次抽到干电池时，仅第1次与第次抽到干电池：
此时“第次抽取时恰好抽到最后1块干电池”的概率为，
∴，．，．
∴，∴，
∵，
∴是以为首项为公比的等比数列，
∴，
∴，当时该式也成立．
故所求概率为，．
4．（2026·江苏南京·三模）小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为）玩游戏，游戏规则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷．
(1)求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4的倍数的概率；
(2)规定第一次从小明开始，在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量，求的分布列和均值；
(3)若第一次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率．
【解】（1）设事件为“小明投掷一次骰子后，点数之和为4的倍数”，
则基本事件为：
，
，
，
总数为36，
事件包含的基本事件有：，
共9个基本事件，所以.
（2）由（1）知小芳投掷一次后，出现点数之和是4的倍数的概率也为，
由题意知可取值为，则：
，
，
所以的分布列为：
数学期望为：.
（3）若第一次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况：
第一种情况：第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为，
第二种情况：第次由小明投掷，第次由小芳投掷，其概率为，
由于这两种情况彼此互斥，所以，
所以，且，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
题型03 数列的新定义问题
技法指导
数列中的新定义问题，主要是指即时定义新概念、新定理、新法则、新运算等，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新定义，这样有助于更透彻地理解新定义.但是，归根结底这些问题考查的还是数列的基本概念、性质和运算，根据条件适时转化是解决此类问题的基本思路与原则.
5.（2025·安徽芜湖·期末）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)伯努利不等式是由瑞士数学家雅各布・伯努利提出的，是分析不等式中最常见的一种不等式．伯努利不等式的一般形式为：若且为正整数时，，当且仅当或时等号成立．
（ⅰ）证明：数列为递增数列；
（ⅱ）已知时，，证明：．
【解】（1）因为，
当时，，
当时，，符合此式，
所以；
（2）（ⅰ）记，
则
，
则，所以数列为递增数列；
（ⅱ）当，时，因为，
由伯努利不等式，得，
于是，
所以当时，
，
所以，
即，
当时，，不等式成立，
当时，，不等式成立，
当时，，不等式成立，
综上所述，不等式恒成立.
6.（2025·江苏徐州·一模）对于每项均是正整数的数列P：，定义变换，将数列P变换成数列：．对于每项均是非负整数的数列，定义，定义变换，将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列．
(1)若数列为2，4，3，7，求的值；
(2)对于每项均是正整数的有穷数列，令，．
（i）探究与的关系；
（ii）证明：．
【解】（1）依题意，，，
.
（2）（i）记，
，
，
，
，所以.
（ii）设是每项均为非负整数的数列，
当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，
则，
当存在，使得时，若记数列为，则，
因此，从而对于任意给定的数列，
由，，由（i）知，
所以.
题型04 数列的凹凸性
技法指导
数列的凹凸性是类比函数的凹凸性得到的，解决此类问题一般要从题目条件中挖掘出一个特殊的数列(例如等差数列、等比数列)，数列的凹凸性给出的不等关系就可以利用这个特殊数列的运算，结合不等式放缩加以证明.
7.（2026·山东枣庄·模拟预测）若数列的各项均为正数，对任意，有，则称数列为“对数凹性”数列．
(1)已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；
(2)若函数有三个零点，其中．
证明：数列为“对数凹性”数列；
(3)若数列的各项均为正数，，记的前n项和为，，对任意三个不相等正整数p，q，r，存在常数t，使得．
证明：数列为“对数凹性”数列．
【解】（1）根据“对数凹性”数列的定义可知数列1，3，2，4中不成立，
所以数列1，3，2，4不是“对数凹性”数列；
而数列1，2，4，3，2中均成立，所以数列1，2，4，3，2是“对数凹性”数列；
（2）根据题意及三次函数的性质易知有两个不等实数根，
所以，
又，所以，
显然，即不是的零点，
又，
令，则也有三个零点，
即有三个零点，
则有三个零点，
所以有两个零点，
所以同上有，
故数列为“对数凹性”数列
（3）将互换得：，所以，
令，得，
所以，故数列是等差数列，
记，所以，
所以，
又因为，所以，
所以，所以为单调递增的等差数列，
所以.
所以
所以，数列是“对数凹性”数列
8．（2026·浙江金华·三模）若正实数数列满足，则称是一个对数凸数列；若实数列满足，则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列，．
(1)证明：；
(2)若，证明：；
(3)若，，求的最大值．
【解】（1）法一：由题意得：，∴，
∴，，，，，
将以上式子累乘得：，也即成立．
法二：由题意得：，
∴，∴成立．
（2）法一：∵，∴，
∴，
则，
∴，
∴．
法二：考虑反证法，假设，
由得，
∴，∴，
同理：，
∴，∴，
同理可证：，，…，，
综上可得：，与条件矛盾，
∴假设不成立，∴成立．
法三：∵，∴，也即，
同时，由可得：，
∴，也即，
∴，，…，，
将以上式子累加得：，
也即，同理可得：
，
，
……
，
将以上式子累加得：，
∴，∴，∴成立．
（3）由可得：，
∴，也即，
∴，，…，，
将以上式子累加得：，①
另外，，，…，，
将以上式子累加得：，②
结合①②式可得：，
∴，化简得：，
另外，显然有符合题意，此时，
综上，的最大值为10．
1．（2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记.
(1)求函数的表达式；
(2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和.
【解】（1）已知当时函数取得最大值4，
因为，所以.此时，
又，解得，
所以函数的表达式为.
（2）由（1）知，则，.
因为是等差数列，设公差为，则，解得，，
所以.
又，数列是以为首项，为公比的等比数列，
可得.
2.（2025·北京平谷·一模）对于数列，若满足，则称数列为“数列”.定义变换，若，将变成0，1，若，将变成1，0，得到新的“数列”.设是“数列”，令.
(1)若数列，求数列；
(2)若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至多有多少对？请说明理由；
(3)若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为.求关于的表达式.
【解】（1）由变换的定义可得.
（2）数列中连续两项相等的数对至多有19对.
证明：对于任意一个“数列”中每一个1在中对应连续四项，
在中每一个0在中对应的连续四项为，
因此，共有10项的“数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对，
在中若出现连续两项的数对最多，
对于中的每一个第项和第项之间产生一个连续相等的数对，
所以中至多有19对连续相等的数对.
比如：取，则
.
（3）设中有个0，1数对，
中的“0，0”数对只能由中的“0，1”数对得到，所以，
中的“0，1”数对有两个产生途径：①由中的1得到；②由中“0，0”得到，
由变换的定义及可得中0和1的个数总相等，且共有个.
所以，得，
由可得，
所以，
当时，若为偶数，．
上述各式相加可得，
经检验，时，也满足．
若为奇数，．
上述各式相加可得，
经检验，时，也满足．
所以．
3.（2025·浙江温州·模拟）设数列的各项均为不等的正整数，其前项和为，我们称满足条件“对任意的，均有的数列为“好”数列．
(1)试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，，，并给出证明；
(2)已知数列为“好”数列．
①若，求数列的通项公式；
②若，且对任意给定正整数，有成等比数列，求证：
【解】（1），则，所以，
而，
所以，对任意的均成立，即数列是“好”数列；
，取，则，，
此时，即数列不是“好”数列．
（2）因为数列为“好”数列，取，则，即恒成立．
当，有，两式相减，得，
即，所以，
所以，即，
即，
当时，有，即，
所以对任意，恒成立，所以数列是等差数列．
设数列的公差为，
若，则，即，
因为数列的各项均为不等的正整数，所以，所以，，所以
若，则，由成等比数列，得，
所以，即，
化简得，，即
因为是任意给定正整数，要使，必须，不妨设，
由于是任意给定正整数，所以
4.（2025·河南洛阳·模拟）已知函数．
(1)当时，，求实数的取值范围．
(2)若，设的正零点从小到大依次为．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）判断数列的单调性，并证明．
附：当时，．
【解】（1）由题意，即对任意恒成立．
设，则，
当时，，则，所以，在上单调递增，
，所以，
即的取值范围是．
（2）（ⅰ）若，，则在定义域内恒成立，
所以对任意，在区间上单调递增，
又，当趋近于时，趋近于，所以在区间内有唯一零点，
所以．
所以和都在区间内，
又，所以，
即．
（ⅱ）数列是递减数列．
证明如下：记，要证明数列是递减数列，
即证明：当时，，即，
又因为，所以只需证明当时，．
由（ⅰ）知，所以，且．
所以，所以．
，
设函数，，
则，
因为在区间上单调递增，所以当时，，，
所以在时单调递增，所以，
即，所以．
因为在上单调递增，且，所以，
综上，数列是递减数列．
5.（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在篮球训练场上，教练甲指导三名学员进行传球训练，训练开始时，篮球在教练甲手中．由甲开始传球，他每次等可能地将篮球传给学员其中一人，学员接球后，将篮球传出，传给教练甲的概率为，传给另外两学员的概率相等，篮球在四人之间传递．
(1)若四人进行了4次传球，求教练甲接球次数的分布列、数学期望；
(2)设表示经过次传球后篮球在手中的概率，求．
【解】（1）设教练甲接球次数为，可取，
球在学员手中，传给教练甲的概率为，传给其他学员的概率为，
，
，
分布列为：
数学期望；
（2）设表示经过次传球后篮球在教练甲手中的概率，
，
且，
即，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
，即，
又传给学员的概率相等，
．
6．（2026·江苏盐城·月考）若数列的各项均为正数，且对任意的相邻三项，都满足，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项，都满足则称该数列为“凸数列”．
(1)已知正项数列是一个“凸数列”，且，（其中e为自然常数，），证明：数列是一个“对数性凸数列”；
(2)若关于x的函数有三个零点，其中．证明：数列是一个“对数性凸数列”；
(3)设正项数列是一个“对数性凸数列”证明：．
【解】（1））因为，所以，
因为正项数列是一个“凸数列”，
所以，所以，所以，
所以数列是一个“对数性凸数列”.
（2）因为有三个零点，
所以有两个不等实数根，
所以，
又，所以；
时，，所以不是的零点，
又，
令，则也有三个零点，
即有三个零点，
令，则有三个零点，
所以有两个零点，
所以，
因为，
所以正项数列对任意的相邻三项，都满足，
所以数列是一个“对数性凸数列”.
（3）记，则要证，
即证，
即，即①，
因为数列为对数性凸数列，所以，，
所以，所以，
，
而，
所以
，
当且仅当时等号成立，
故式①成立，所以原不等式成立．
7．（2026·北京海淀一模）已知数列，如果对任意的且，都有，则称为凸数列．
(1)直接判断数列和是否为凸数列；
(2)若是一个凸数列，证明：当，且时，有；
(3)已知项数为的数列是一个凸数列，，且的所有项的和等于，求的最大值．
【解】（1），所以，.
，而，
因为，即，所以为凸数列.
，则，所以，
而，因为，即，所以不是凸数列.
（2）因为是一个凸数列，所以对任意的且，都有，
即，
当时，有，
所以，故.
又，故.
因为，所以.
（3）因为数列是凸数列，所以，
，当且仅当时，等号成立，
即为凸数列，所以，所以，
所以；
因为的所有项的和等于，所以，
所以，当且仅当时取等号，此时数列为等差数列；而中等号成立要求为常数列.
设，则，由所有项的和为得，解得；故当时，取最大值2.
8．（2026·辽宁辽阳·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列．
(1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由；
(2)已知二阶等差数列满足，，．
①求数列的通项公式；
②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围．
【解】（1）因为，所以
，
所以，故数列为等差数列，
故数列为二阶等差数列.
（2）①根据题意可得，，
因为数列为等差数列，故数列的公差为,
所以等差数列的首项为，故，
所以，
当时，，，，，
上述等式相加得，
故，
也满足，故对任意的，；
②由题意可知，，即，可得，
令，则，
当且时，，可得；
当时，；
当且时，，可得，
所以数列的最大项为，故，
所以实数的取值范围是.
9．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【解】（1）因为，即：．①
当时，，
又，所以．
当时，，②
由①－②整理得：．
整理得，
由累乘法得：，
代入比值：，
当时，，符合上式，
所以数列的通项公式为．
（2）当为偶数时，
，
所以，为偶数，
由恒成立，得，
是偶数，当时，有最小值，所以；
当为奇数时，为偶数，
，
所以，为奇数，
由恒成立，得，
又在上单调递增，
所以当时，有最小值1，所以．
综上，实数的取值范围是
10.（2026·黑龙江·一模）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表：
(1)利用统计表中的数据试估计该AI工具用户的平均年龄；
(2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列；
(3)已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时的取值．
【解】（1）估计平均年龄为.
（2）由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有（人），
年龄在第二组内的有（人），
则的所有可能取值为0，1，2，3，4，
所以，
，
，
，
则的分布列为：
（3）从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为，
设，由，且得，
所以，
显然，，
令，
当时，有，，即，
此时；
当时，有，，即，
此时，即，
所以．
11．（2026·广东广州·二模）已知函数.
(1)直线过点且与曲线相切，求直线方程；
(2)已知在导函数的图象上，以点为圆心的与轴都相切，且与彼此外切.若，且，求数列的前项之和.
【解】（1）因为，则，
设切点坐标为，则切线斜率，
可得切线方程为，即，
代入点可得，解得，
所以直线方程为.
（2）由（1）可知：，则，
由题意可知：的圆心为，半径，
因为与外切，则，
可得，且，
整理可得，即，
可知数列是以首项，公差的等差数列，
则，即，
则，
所以.
0
1
2
3
0
1
2
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
年龄
人数
30
150
90
60
30
0
1
2
3
4