2026年高考数学-压轴强化训练压轴13与球有关的切、接问题的(4大核心压轴题型精讲+压轴强化训练)(学生版+解析)

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空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般出现在压轴小题位置
题型01 空间几何体的外接球
技法指导
（1）求几何体外接球半径的方法
①补体法：把几何体补成长方体、正方体、正四面体，再利用它们的外接球半径公式求解；②性质法：球心与截面圆心的连线与截面垂直，球心与弦中点的连线与弦垂直.
（2）确定球心的常用结论
①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；②正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；③直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；④正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.
1.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.已知三棱锥的四个顶点均在球上，平面．若，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
3.已知四面体的4个面为全等的等腰三角形，且，A，B，C，D四点在同一个球面上，则该球的表面积等于（ ）
A．B．C．D．
4.（2023·全国乙卷T16）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ．
题型02 空间几何体的内切球
技法指导
空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径.
5.（2025·吉林长春·模拟预测）所有棱长都是2的正四棱锥的内切球半径为（ ）
A．B．C．D．
6.（2025·江西南昌·模拟预测）已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
7.某圆台的下底面半径是上底面半径的3倍，一个半径为3的球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
8.（2025新高考Ⅱ卷T14）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ．
题型03 空间几何体的棱切球
技法指导
解决棱切球问题的常用方法
（1）外形：转化为内切球求解；
（2）找切点⇒定球心⇒构造直角三角形求解.
9．（2026·江西南昌·期末）正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
10．（2026·山东菏泽二模）已知正三棱柱的体积为18，若存在球O与三棱柱的各棱均相切，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型04 与球切、接有关的最值问题
技法指导
求解与球切、接有关的最值问题的策略
（1）转化为函数最值问题：通过引入线参数或角参数，建立关于这些参变量的函数关系，转化为函数的最值问题来解决；
（2）转化为平面几何问题：根据题目的特征，寻找或确定一个数量关系比较集中的平面，将题目的其他条件逐步向该平面转移，然后利用几何方法或三角方法来解决；
（3）利用基本不等式：可通过引入多个变量建立数学模型，然后利用基本不等式求其最值.
11.（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．B．C．D．
12.（2025·山东·模拟预测）一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球后，还可以放入一个半径为1的小球，则小球的体积与容器体积之比的最大值为（ ）
A．B．C．D．
1．（2025·广东中山·二模）如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若，则圆柱的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·河南·三模）已知圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）．
A．B．C．D．
3．（2025·甘肃白银·三模）如图，在三棱锥中，平面ABC，，D，E，F分别是棱PB，PC，BC的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·江西·二模）在三棱锥中，平面平面，，，，若点、、、均在球的表面上，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2025·四川德阳·三模）六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则的值为（ ）
A．B．C．3D．4
7．（多选）（2025·甘肃金昌·二模）如图，在圆柱中，轴截面是边长为2的正方形，是以为直径2的圆上一动点（异于点），与圆柱的底面圆交于点，则（ ）
A．平面
B．平面平面
C．直线与直线有可能垂直
D．三棱锥的外接球体积为定值
8．（多选）（2025·四川自贡·三模）如图1，在中，，，，、分别在AB，AC上，且.将沿翻折得到图2，其中.记三棱锥外接球球心为，球表面积为，三棱锥外接球球心为，球表面积为，则在图2中，下列说法正确的有（ ）

A．
B．直线与所成角的正弦值为
C．平面
D．
9．（2025·陕西西安·模拟预测）已知圆台的高为3，上、下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 ．
10.（2024·河南新乡·二模）在直三棱柱中，，则该三棱柱的体积的最大值为 ．
11．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，，，，在三角形内挖去一个半圆，圆心在边上，半圆与分别相切于点，与交于另一点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体.
(1)求该旋转体中间空心球的表面积的大小；
(2)求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积.
12．（2025·四川成都·模拟）已知球内接正四棱锥的高为，、相交于，球的表面积为，若为中点.

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
13．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖．可放小球的最大半径为2．若是放入一个正方体，合上盒盖，则可放正方体的最大棱长为（ ）

A．B．C．D．
14.（2025·浙江·三模）圆台内有一个球，与圆台的上下底面及所有母线均相切，则圆台与球的体积比的取值范围为 .