2026年高考数学-压轴强化训练压轴06函数与导数中的创新与融合问题的(3大核心压轴题型精讲+压轴强化训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学-压轴强化训练压轴06函数与导数中的创新与融合问题的(3大核心压轴题型精讲+压轴强化训练)(学生版+解析)，共12页。
1.导数与函数与其他知识识交汇命题，考查考生的知识迁移能力、现场学习能力与现场运用能力，逐渐成为命题的热点，难度较大，一般作为压轴题出现；2.导数与函数的新定义问题通常涉及三种类型：定义新概念、定义新运算、定义新性质.解决导数与函数的新定义问题过程中，借助类比的方式有助于深化对新定义的认识，尽管新定义的外表可能颇具挑战，但其实质仍旧根植于数学的基础知识中。
题型01导数与函数与其他知识的交汇
技法指导
1.函数与导数与解析几何、概率、立体几何均有可能交汇，在求解最值、范围时发挥工具性作用;
2.函数与导数与数列交汇，结合图形变换寻找点的坐标的规律，构造数列问题
1.（2025·河北张家口·二模）已知正三棱柱的表面积为，则当其体积取得最大值时，该三棱柱的高为（ ）
A．3B．C．D．
2.（2025·内蒙古包头·模拟预测）过点且与抛物线有且仅有1个公共点的直线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3.（2025·四川南充·三模）已知曲线，圆，若直线与曲线在处的切线平行，且直线被圆C截得的弦长为6，则直线的方程为 .
4.（2026·山东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，满足，则 .
题型02 导数与函数新定义问题
技法指导
三步法：1. 翻译：将新定义精准转化为数学等式/不等式。2. 转化：识别其本质（如凹凸性、对称性、极值点偏移）。3. 构造：针对目标（证不等式、求参数）构造函数，利用导数分析单调性、最值求解。核心是化新为旧，导数工具。
5.（2025湖北新八校协作体联考）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若，，，为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凸函数”.若，，，为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”当且仅当时等号成立.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式.
(1)讨论函数，的凹凸性；
(2)在中，求证：；
(3)若个正实数满足，求证：.
6.（2026·湖南邵阳·一模）已知初等函数的定义域为，令，若，，则是一个下凸函数.
(1)分别判断是否是上的下凸函数？请说明理由；
(2)已知，，，是公差不为0的等差数列，的定义域为，求证：为下凸函数是成立的充分不必要条件；
(3)已知下凸函数的定义域为，且，，求证：，.
题型03以高数中的定理为背景的新定义问题
技法指导
以高数中定理为背景的新定义创新类题目，一般是借用该高数中某定理表述的基本数学思想、基本数学表达式构建能够适应中学知识解决的问题.本题依据微分学中无限逼近思想为情境，以拉格朗日中值定理为数学模型证明两类不等关系成立.求解此问题的关键：（1）利用函数f（x）的单调性、零点所在区间及待证函数不等式所在区间之间的包含关系，结合拉格朗日中值定理数学表达式采用适当放缩证明；（2）利用无限逼近思想及函数图象上过一点的切线与x轴的交点横坐标构造数列x0，x1，x2，…，xn，xn＋1…，再利用拉格朗日中值定理构造出误差函数证明数列不等式成立.
7.（河南省部分示范性高中2025届高三上学期12月联考）约瑟夫·路易斯·拉格朗日是闻名世界的数学家，拉格朗日中值定理就是他发现的.定理如下：若函数满足如下条件：
①函数在区间上连续（函数图象没有间断）；
②函数在开区间内可导（导数存在）．则在区间内至少存在一点，使得成立，其中称为“拉格朗日中值点”．
(1)求函数在上的“拉格朗日中值点”的个数；
(2)对于任意的实数，，证明：；
(3)已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的两个条件，当时，证明：．
8.罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日中值定理、柯西中值定理．罗尔定理描述如下：如果 上的函数满足以下条件：①在闭区间上连续，②在开区间内可导，③，则至少存在一个，使得．据此，解决以下问题：
(1)证明方程在内至少有一个实根，其中；
(2)已知函数在区间内有零点，求的取值范围．
1．（2025·广东佛山·二模）已知函数，命题p：是奇函数，命题q：在上是减函数，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2025·福建泉州·二模）设函数满足：，都有，且.记，则数列的前10项和为（ ）
A．55B．45C．D．
3．（2025·山东临沂·模拟预测）若定义在上的函数，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称是上的“三角形函数”．已知函数是定义在区间上的“三角形函数”，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·江西景德镇·二模）某公司举行抽奖活动，在箱子里装有个红球和4个黑球，这些小球除颜色外完全相同.在一次抽奖过程中，某员工从中一次性抽取两个小球，抽出两个小球颜色均为红色视为中奖，其余情况均未中奖.假设在有放回地连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率为，则当取到最大值时的值为 .
5．（2025·海南儋州·模拟预测）已知函数．
(1)若，函数的图象在点处的切线与x轴的交点坐标为，求的前n项和；
(2)若，函数的图象与x轴有且只有两个公共点，且，求a，b的值以及函数在上的最小值．
6．（2025·上海黄浦·三模）已知函数是定义在D上的连续函数，其导函数为，函数的导函数为，定义函数运算：．
(1)若，求出函数的极值点，并判断的符号；
(2)若，，讨论方程解的个数；
(3)若，当，，记与中较大者为．证明：．
7.（陕西省榆林市2024-2025学年高三下学期第三次模拟）帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的，用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，其中和分别是和次多项式，且满足.其中为的导数.已知在处的阶帕德近似为.
(1)求实数的值，利用的阶帕德近似估计的近似值（结果保留3位有效数字）；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：当时，.
8.（2026·上海徐汇·月考）定义：对于，，若，则称为和的“一一值”；若，则称为和的“零二值”．
(1)求与自身所有“零二值”的取值集合的子集；
(2)求和的“一一值”的个数；
(3)判断：对于定义域为的函数和，大于1的正数a满足：“任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’”是命题“”的什么条件并说明理由．
9.定理 如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在开区间内至少存在一点，使得，这个定理称为微分中值定理，也称为拉格朗日中值定理. 定理表明，如果函数的图象是闭区间上的一条连续曲线，且当时，曲线上的每点都存在切线，那么，在曲线上至少存在一点，使得该曲线在这一点处的切线平行于曲线两个端点的连线，如图所示.
(1)已知，为函数图象位于之间的部分上的一点，其中为坐标原点，求点到直线的距离的最大值；
(2)如果，证明：.
(3)如果函数在内可导，且对于任意的，都有，证明：函数在内单调递减.
10.已知区间，定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，点P不在函数的图像上，点A在函数的图像上．若线段PA与函数的图像有且仅有一个公共点，则称点A是“P－可见”的．
(1)若，，点P的坐标为，判断点与是否是“P－可见”的；
(2)已知为实数，若，，点P的坐标为，点是“P－可见”的，求m的取值范围；
(3)若，点P的坐标为，证明：“函数的图像上任意一点都是‘可见’的”是“函数在上严格增或严格减”的充要条件．
11.（25-26高三上·安徽六安·月考）记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”.
(1)已知和在上“2次缠绕”，设，求的值；
(2)设，若和在实数集上“3次缠绕”，求的取值范围；
(3)记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”.
12.（2026·湖南邵阳·一模）若函数对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，当时，称为区间上的“阶和函数”．
(1)判断函数是否为区间上的“3阶和函数”；
(2)若函数是在区间上的“2阶和函数”，求实数的取值范围；
(3)若函数为区间上的“2阶和函数”，当时，函数有两个零点，证明：．