2026年高考数学-压轴强化训练压轴10数列求和的(3大核心压轴题型精讲+压轴强化训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学-压轴强化训练压轴10数列求和的(3大核心压轴题型精讲+压轴强化训练)(学生版+解析)，共12页。试卷主要包含了【基础型】已知数列满足，且．，设数列满足，，设正项数列的前项和为，且，．等内容，欢迎下载使用。
近几年高考，数列求和常出现在解答题的第(2)问，主要考查通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档．
题型01 分组转化法求和的常见类型
技法指导
分组转化法求和的常见类型
1.（2025·山东潍坊二模）在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列，数列的前项和满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，数列的前项和，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【思维导引】（1）设公差为→列方程求出→求出的通项公式→根据→作差得数列为等比数列→的通项公式
（2）→分组求和法求出→令→利用作差法判断的单调性→求出→解的对数不等式→的取值范围.
【解析】（1）设等差数列的公差为，且成等比数列，
，即，解得或（舍去），
所以.
数列的前项和，
当时，，
当时，，，
即数列是首项为，公比为的等比数列，.
（2）由（1）可得，
【技巧】若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
.
令，，
单调递增，.
，，.
【易错提醒】只考虑数列求和对实数的要求，忽视对数函数的要求
（法二）令，
因，单调递增，
2.（2025·湖北黄冈·二模）记为数列的前项和，已知，当时，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
【解】（1）由题意得，当时，有，即
因为，所以对任意都成立
故数列是首项为1，公比为2的等比数列，从而．
（2）由，可得，
则
当时，符合上式，故．
所以
题型02 裂项相消法求和
技法指导
裂项相消法求和的步骤
3.【基础型】已知数列满足，且．
(1)证明：数列是等差数列；(2)求的通项公式；
(3)设，数列的前项和为，证明：．
【详解】（1）证明：因为，所以，
则，即，所以是以为首项，4为公差的等差数列．
（2）由（1）知，所以．
（3）证明：因为．
所以
， 因为，所以．
4．【根式型】记分别为数列的前项和，已知，且．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【详解】（1）因为①，
当时，，解得．
当时，②，
由 ①－②得，即，所以．
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，则，所以．
（2）由（1）可知，
从而，
因为，单调递增，则．
5．【指数型】已知数列满足，.
(1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和.
【详解】（1）由，变形可得
因为，所以数列是以1为首项、2为公比的等比数列，
故，即.
（2）因为，由（1）知，
所以，
故
6．记为数列的前项和，已知．
(1)求；(2)设，求数列的前项和．
【详解】（1）令时，，即得，
时，①，②，
由①-②得，，
又由，又，所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列，
所以；
（2）因为．
所以．
题型03 错位相减法求和
技法指导
利用错位相减法求和的基本流程
7.（2025·新课标1卷T16）设数列满足，
证明：为等差数列；
设，求．
【解题指导】（1）化简→→为等差数列
（2）求的通项公式→代入函数并求导→错位相减求和→导函数表达式→
【解】（1）由题意证明如下，，
在数列中，，，
∴，
即，
∴是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）第一步：根据（1）得到数列的通项
由题意及（1）得，，
在数列中，首项为3，公差为1，
∴，即，
第二步：求出函数的导函数
在中，
，

第三步：利用错位相减法求和
∴，
当且时，
∴，
∴
【易错提醒】用错位相减法求和时，应注意：
(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)作差后所得等比数列的项数；(3)最后一项的符号.
第四步：代入，求
∴
.
8.（2025·陕西汉中·模拟预测）设正项数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和的取值范围．
【解】（1）由得，，
两式作差得，
因数列为正项数列，则，
令，则，则，
则数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，
故为奇数时，，
数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列，
故为偶数时，，
综上，数列的通项公式为；
（2）由（1）可得，，
设数列的前项和为，则，
则，
两式作差得，
，则，
令，则，
则数列为递减数列，且，
则，故，
故数列的前项和的取值范围为.
1.（2024·全国甲卷T17）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
2．（2025·重庆三模）已知为数列的前项和，且满足，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，记为数列的前项和，求满足不等式的的最大值.
【解】（1）当时，，解得：.
当时，，
所以，即，
所以
所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）可知数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以，所以，
.
所以时，即，所以，所以的最大值为.
3.（2024全国甲卷数学（理））记为数列的前项和，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为．
【解】（1）当时，，解得．当时，，所以即，而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以.
,所以故所以
，.
4．已知各项都是正数的数列，其前项和为，，且.
(1)求的通项公式； (2)若，求证：.
【详解】（1）由题意得，
所以，又数列是各项都是正数的数列，，
所以，，
当时，有，
所以，
所以，故数列是1为首项，2为公差的等差数列，所以.1
（2）由（1）得，
所以，
所以，
裂项得，证毕.
5.（2025·山东临沂二模）已知正项数列的前n项和为，对任意，点在过原点且与直线．垂直的直线上．数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：数列是等差数列；
(3)若，求数列的前n项和．
【解】（1）与直线垂直的直线斜率为1，过原点且与直线垂直的直线为，
又因为点在直线上，所以，所以；
（2）数列的前n项和为，且，
当时，，
当时，，符合上式，所以，
又因为，
所以数列是等差数列
（3）因为，所以，
设数列的前n项和为，
，
所以，
所以，
设，
，
所以，
，
，
所以；
6．（2026·浙江宁波·二模）已知数列中，，．
(1)令，求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和．
【解】（1）因为，，所以，
再由，
因为，所以，代入上式得：，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可得：，
则
7．记为数列的前项和，已知．
(1)求；(2)设，求数列的前项和．
【详解】（1）令时，，即得，
时，①，②，
由①-②得，，
又由，又，所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列，
所以；
（2）因为．
所以．
8．（2026·河北保定·一模）已知数列的前n项和为，且，.
(1)求
(2)若，求数列的前n项和.
【解】（1）因为，且，
可知数列是以首项为，公差为的等差数列，
则，所以.
（2）由（1）可知：，
当时，则，
且符合上式，所以，
可得，
设数列的前n项和为，
则，
所以数列的前n项和为.
9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)证明：．
【解】（1）设等差数列的公差为d，由题意可知
解得，故．
（2）由（1）得，所以，
数列的前项和为；
（3）由（2）知，其中，
当时，
，
当时，．
综上所述，．
10．（2025·江西宜春·模拟预测）已知数列满足，，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)记，数列的前项和为，证明：.
【解】（1）由，得，
又，，所以，
所以，，
即是以1为首项，3为公比的等比数列；
（2）由（1）知，
当时，
.
当时，也成立，所以的通项公式为；
（3）由（2）得，
所以，
所以，
显然是递增数列，所以.
因为，所以，所以.
11．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数.
(1)若数列，求数列的前n项和；
(2)已知函数在处的切线为直线，直线在y轴上的截距为，求数列的前n项和.
【解】（1）因为，所以
.
（2），
直线的方程为，
令，
得，
所以，
令数列的前项和为，则
，
，
两式相减得，故，
又数列的前项和为，
所以数列的前项和.
12.（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解】（1）设等差数列的公差为d，已知，
，则．
则，
解得，所以
设等比数列的公比为q，，，又，所以．
因为，
解得（舍去，因为），所以．
（2）由（1）知，，
则．
．
（3）由（1）知，，则．
①，
②，
①-②得：，所以，则．
因为对任意正整数n，不等式恒成立，
即恒成立，等价于恒成立．
设，则．
当时，，即；
当时，，即，
所以的最大值为．
所以，即实数的取值范围是．