2024高考数学一轮总复习（导与练）第八章第3节　圆的方程

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第3节　圆的方程[选题明细表] 知识点、方法题号圆的方程理解1,2,5,8,9,10圆的方程求法3,4,14综合问题6,7,11,12,13,151.(2022·甘肃兰州模拟)圆x2-2x+y2-3=0的圆心到直线y=x的距离是(　D　)A.    B.    C.1    D.解析:圆x2-2x+y2-3=0化为(x-1)2+y2=4,故圆心的坐标为(1,0),半径为2.故圆心(1,0)到直线x-y=0的距离d==.2.(2022·陕西榆林二模)若方程x2+y2+6x+m=0表示一个圆,则m的取值范围是(　A　)A.(-∞,9) B.(-∞,-9)C.(9,+∞) D.(-9,+∞)解析:因为x2+y2+6x+m=0表示一个圆,所以(x+3)2+y2=9-m>0,解得m<9,故m的取值范围是(-∞,9).3.以点P(2,-3)为圆心,与y轴相切的圆的方程是(　C　)A.(x+2)2+(y-3)2=4B.(x+2)2+(y-3)2=9C.(x-2)2+(y+3)2=4D.(x-2)2+(y+3)2=9解析:由题知,圆心为P(2,-3),因为圆P与y轴相切,所以圆P的半径r=|xP|=2,所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=4.4.(2022·重庆模拟)已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是(5,6),(3,-4),则这个圆的方程为(　B　)A.x2+y2+4x-2y+7=0B.x2+y2-8x-2y-9=0C.x2+y2+8x+2y-6=0D.x2+y2-4x+2y-5=0解析:法一　根据题意,圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是(5,6),(3,-4),则圆的圆心为(4,1),半径r=×=,则圆的方程为(x-4)2+(y-1)2=26,即x2+y2-8x-2y-9=0.法二　依题意,所求的圆是以(5,6),(3,-4)为直径的圆,即(x-5)(x-3)+(y-6)(y+4)=0,整理可得x2+y2-8x-2y-9=0.5.若点R(-1,2)在圆C:x2+y2-2x-2y+a=0的外部,则实数a的取值范围为(　C　)A.(-∞,-3) B.(-3,+∞)C.(-3,2)  D.(-2,3)解析:根据题意圆C的一般方程为x2+y2-2x-2y+a=0,则必有D2+E2-4F=4+4-4a>0,解得a<2,又由点R(-1,2)在圆C的外部,则5+2-4+a>0,解得a>-3,即实数a的取值范围为(-3,2).6.(多选题)(2022·重庆模拟)设圆的方程是(x-a)2+(y+b)2=a2+b2,其中a>0,b>0,下列说法正确的是(　BC　)A.该圆的圆心为(a,b)B.该圆过原点C.该圆与x轴相交于两个不同点D.该圆的半径为a2+b2解析:因为圆的方程是(x-a)2+(y+b)2=a2+b2(其中a>0,b>0),所以圆心坐标为(a,-b),半径r=,故A,D错误;把原点坐标(0,0)代入圆的方程得方程左边=(0-a)2+(0-b)2=a2+b2=方程右边,所以该圆过原点,故B正确;令y=0,得(x-a)2+b2=x2-2ax+a2+b2=a2+b2,即x2-2ax=0,解得x1=0,x2=2a,所以该圆与x轴有两个交点,故C正确.7.(2022·河北衡水高三阶段检测)圆(x-1)2+(y-1)2=16上到直线3x+4y+3=0的距离为2的点的个数为(　C　)A.1    B.2    C.3    D.4解析:圆(x-1)2+(y-1)2=16的圆心为(1,1),半径r=4,所以圆心(1,1)到直线3x+4y+3=0的距离d==2=r,所以圆上到直线的距离为2的点有3个.8.(2022·河北唐山二模)若圆C:x2+y2+Dx+2y=0的圆心在直线x-2y+1=0上,则C的半径为　　　　. 解析:由圆的一般方程,得圆心C的坐标为(-,-1),代入直线x-2y+1=0中,得(-)-2×(-1)+1=0,解得D=6,则半径r==.答案:9.(2022·江苏南京模拟)已知△ABC中,A(-3,0),B(3,0),点C在直线y=x+3上,△ABC的外接圆圆心为E(0,4),则直线EC的方程为　     .解析:因为△ABC的外接圆圆心为E(0,4),所以△ABC的外接圆半径为=5,即△ABC的外接圆方程为x2+(y-4)2=25.联立解得或所以C(4,7)或C(-3,0)(与A点重合舍去),所以直线EC的方程为=,即y=x+4.答案:y=x+410.(2022·北京卷)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a等于(　A　)A.    B.-    C.1    D.-1解析:依题意可知圆心坐标为(a,0),又直线2x+y-1=0是圆的一条对称轴,所以2a+0-1=0,所以a=.11.(2022·北京一模)已知点A为圆C:(x-m)2+(y-m-1)2=2上一点,点B(3,0),当m变化时,线段AB长度的最小值为(　C　)A.1    B.2    C.    D.2解析:由圆C:(x-m)2+(y-m-1)2=2,可得圆心C(m,m+1),半径为r=,则|BC|===,当m=1时,|BC|取得最小值2,所以线段AB长度的最小值2-r=.12.(多选题)(2022·山东泰安三模)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0,则下列说法正确的是(　ABD　)A.的最大值为B.的最小值为0C.x2+y2的最大值为+1D.x+y的最大值为3+解析:由实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0可得点(x,y)在圆(x-2)2+(y-1)2=1上,作其图象如图所示,因为表示点(x,y)与坐标原点连线的斜率,设过坐标原点的圆的切线方程为y=kx,则=1,解得k=0或k=,所以∈[0,],所以()max=,()min=0,A,B正确;x2+y2表示圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的平方,圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的最大值为|OC|+1,所以x2+y2的最大值为(|OC|+1)2,又|OC|=,所以x2+y2的最大值为6+2,C错误,令x+y=t,则由直线x+y=t与圆有交点可知≤1,解得3-≤t≤3+,因此D正确.13.已知点P在圆C:(x-2)2+(y+1)2=1上,直线l:3x+4y=12与两坐标轴的交点分别为M,N,则△PMN的面积的最大值是(　A　)A.    B.8    C.    D.9解析:如图,当点P距离直线l:3x+4y=12的距离最大时,△PMN的面积最大.已知圆C的圆心(2,-1)到直线l:3x+4y=12的距离d==2,则圆C上的点P到直线l的距离的最大值为d+r=2+1=3,又直线l:3x+4y=12与两坐标轴交点分别为M(4,0),N(0,3),所以|MN|=5,所以△PMN面积的最大值为S=×5×3=.14.(2022·全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为　　　　　　. 解析:若圆过(0,0),(4,0),(-1,1)三点,设过这三点的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,分别将三点的坐标代入,可得解得易得D2+E2-4F>0,所以过这三点的圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13.若圆过(0,0),(4,0),(4,2)三点,法一　设过这三点的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,分别将三点的坐标代入,可得解得易得D2+E2-4F>0,所以过这三点的圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5.法二　在平面直角坐标系中作出这三个点,显然由这三个点的连线组成的三角形为直角三角形,该直角三角形的外接圆的圆心为点(0,0)和点(4,2)连线段的中点,即(2,1),直径2R等于点(0,0)和点(4,2)连线段的长,即2R=,可得R=,所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.若圆过(0,0),(-1,1),(4,2)三点,设过这三点的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,分别将三点的坐标代入,可得解得易得D2+E2-4F>0,所以过这三点的圆的方程为x2+y2-x-y=0,即(x-)2+(y-)2=.若圆过(4,0),(-1,1),(4,2)三点,设过这三点的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,分别将三点的坐标代入,可得解得易得D2+E2-4F>0,所以过这三点的圆的方程为x2+y2-x-2y-=0,即(x-)2+(y-1)2=.答案:(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或(x-)2+(y-)2=或(x-)2+(y-1)2=(写出一个正确答案即可)15.(多选题)设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列命题正确的是(　ABD　)A.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上B.所有圆Ck均不经过点(3,0)C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个D.所有圆的面积均为4π解析:圆心坐标为(k,k),在直线y=x上,所以A正确;令(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,因为Δ=36-40=-4<0,所以2k2-6k+5=0,无实数根,所以B正确;由(2-k)2+(2-k)2=4,化简得k2-4k+2=0,因为Δ=16-8=8>0,k2-4k+2=0,有两不等实根,所以经过点(2,2)的圆Ck有两个,所以C错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,D正确.