2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 034-培优进阶 阿基米德三角形（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 034-培优进阶 阿基米德三角形（教用），共15页。试卷主要包含了阿基米德三角形的常见性质等内容，欢迎下载使用。
培优进阶 阿基米德三角形
1.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.这条弦叫做阿基米德三角形的底.如图，△ABC即为阿基米德三角形.
2.阿基米德三角形的常见性质
（1）阿基米德三角形底边上的中线平行（或重合）于抛物线的对称轴.
（2）若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点P，则另一顶点C的轨迹为一条直线.
（3）若阿基米德三角形的底边过抛物线的焦点，则顶点C的轨迹为抛物线的准线，且CA⊥CB，CF⊥AB，此时阿基米德三角形的面积的最小值为p2.
（4）若直线l：ax+by+c=0与抛物线没有公共点，则以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点(ca,−bpa).
（5）底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为a38p.
例 ［2021·全国乙卷（理）·21，12分］已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.
（1） 求p；
（2） 若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值.
【解析】
（1） 由题设知F(0,p2)，圆M的圆心为(0,−4)，半径为1，F与圆M上点的距离的最小值为p2+3，即p2+3=4,解得p=2.
（2） 由（1）知C：x2=4y,则y=x24,则y′=x2.
设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则C在A处的切线的斜率为x12，所以直线PA的方程为x1x−2y−2y1=0.
因为P在直线PA上，所以x1x0−2y0−2y1=0，所以A在直线x0x−2y−2y0=0上.
同理B也在直线x0x−2y−2y0=0上，
所以直线AB的方程为x0x−2y−2y0=0.
由x0x−2y−2y0=0,x2=4y,得x2−2x0x+4y0=0，
故x1+x2=2x0，x1x2=4y0，
因此|AB|=[1+(x02)2](x1−x2)2=(x02+4)(x02−4y0).
因为点P到直线AB的距离d=|x02−4y0|x02+4，
所以△PAB的面积S=12|AB|×d=12(x02−4y0)32.
由点P在圆M上，得x02=1−(y0+4)2，所以S=12[21−(y0+6)2]32.
因为y0∈[−5,−3]，所以当y0=−5时，△PAB的面积取得最大值，最大值为205.
培优训练
已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，直线l：y=2过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线l1，l2，且l1，l2分别交x轴于点A，B，交l于点M，N.
（1） 若△PMN为阿基米德三角形，求∠MPN；
（2） 证明：切线三角形PAB的外接圆过定点.
【解析】
（1） 由题意得F的坐标为(0,2)，则p2=2，则p=4，所以抛物线C的方程为x2=8y，
因为△PMN为阿基米德三角形，所以l1,l2分别与抛物线C相切于点M,N，不妨设点M在y轴的左侧，则M(−4,2),N(4,2).
由x2=8y，得y=18x2，则y′=14x，
所以l1的斜率为−1,l2的斜率为1，
则l1⊥l2，所以∠MPN=90∘ .
（2） 证明：由（1）可知抛物线C:x2=8y，
设l1,l2分别与抛物线C切于点Q(x1,x128)，R(x2,x228),x1,x2≠0，
由（1）可知y′=14x,则直线PQ的斜率为14x1，直线PR的斜率为14x2，
所以直线PQ的方程为y−x128=x14(x−x1)，即y=x14x−x128①，
直线PR的方程为y−x228=x24(x−x2)，即y=x24x−x228②，
所以A(x12,0),B(x22,0)，
联立①②，解得x=x1+x22,y=x1x28,即P(x1+x22,x1x28).
设△PAB的外接圆的圆心为G(m,n)，
因为圆心G在线段AB的垂直平分线上，所以m=x1+x24，
则圆G的半径为|GA|=(x1+x24−x12)2+n2=(x2−x14)2+n2，
所以圆G的方程为(x−x1+x24)2+(y−n)2=(x2−x14)2+n2，
又点P在圆G上，所以(x1+x24)2+(x1x28−n)2=(x2−x14)2+n2，
即x1x24+x12x2264−nx1x24=0，
所以n=x1x2+1616，
所以圆G的方程为(x−x1+x24)2+(y−x1x2+1616)2=(x2−x14)2+(x1x2+1616)2，
整理得x2−x1+x22x+y2−x1x2+168y+x1x24=0，
即x2+y2−2y−x1+x22x+x1x24(1−y2)=0，
令x2+y2−2y=0,x=0,1−y2=0,得x=0,y=2,
所以△PAB的外接圆过定点(0,2).