2024高考数学一轮总复习（导与练）第八章第5节　椭　圆

第5节　椭　圆

[选题明细表]

1.已知椭圆+=1的长轴在x轴上,焦距为4,则m等于(　A　)

A.8    B.7    C.6    D.5

解析:因为椭圆+=1的长轴在x轴上,所以解得6<m<10.因为焦距为4,所以c2=m-2-10+m=4,

解得m=8.

2.设F1,F2是椭圆C:+y2=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上,且△PF1F2的面积为 ,则|OP|等于(　A　)

A.    B.    C.    D.3

解析:由椭圆C的方程可知c=3,由点P在C上,且△PF1F2的面积为 ,不妨设P在第一象限,所以×6·yP=,解得yP=,所以xP=,

所以|OP|==.

3.(多选题)(2022·广东广州高三调研)如图所示,一个底面半径为 的圆柱被与其底面所成的角为θ=45° 的平面所截,截面是一个椭圆,则下列说法正确的是(　ACD　)

A.椭圆的长轴长为4

B.椭圆的离心率为

C.椭圆的方程可以为+=1

D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2-

解析:设椭圆长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,由题图可得2acos 45°=2,解得a=2,又b=,c2=a2-b2=4-2=2,解得c=,所以椭圆的长轴长为4,故A正确;离心率e==,故B错误;椭圆的方程可以为+=1,故C正确;

椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2-,故D正确.

4.(2022·全国甲卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若·=-1,则C的方程为(　B　)

A.+=1  B.+=1

C.+=1  D.+y2=1

解析:依题意,得A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),

所以=(-a,-b),=(a,-b),·=-a2+b2=-(a2-b2)=-c2=-1,故c=1,又C的离心率e===,所以a=3,a2=9,b2=a2-c2=8,即C的方程为+=1.

5.(2022·湖北武汉二模)若椭圆+y2=1(a>0)的离心率为 ,则a的值为(　C　 )

A.           B.

C. 或    D. 或

解析:当a2>1,即a>1时,有=()2,

解得a=;

当a2<1,即0<a<1时,有=()2,

解得a=.综上,a的值为或.

6.(2022·全国甲卷)椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为(　A　)

A.    B.    C.    D.

解析:法一　设P(m,n)(n≠0),则Q(-m,n),易知A(-a,0),所以kAP·kAQ=·==(*).因为点P在椭圆C上,所以+=1,得n2=(a2-m2),代入(*)式,得=,结合b2=a2-c2,得3a2=4c2,所以e==.

法二　设椭圆C的右顶点为B,则直线BP与直线AQ关于y轴对称,

所以kAQ=-kBP,所以kAP·kBP=-kAP·kAQ=-=e2-1,所以e=.

7.已知椭圆C:+=1(a>b>0),F(-,0)为其左焦点,过点F且垂直于x轴的直线与椭圆C的一个交点为A,若tan∠AOF=(O为坐标原点),则椭圆C的长轴长等于　　    　　. 

解析:因为椭圆C的左焦点为F(-,0),

所以c=,又AF垂直于x轴,A在椭圆C上,

故可设A(-c,y1),

所以+=1,又a2=b2+c2,所以|y1|=,又tan∠AOF=,

所以=,a2=b2+3,解得从而2a=4.

答案:4

8.(2022·山东烟台高三期末)写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程:　　　　. 

①中心为坐标原点;②焦点在坐标轴上;③离心率为.

解析:只要椭圆方程形如+=1(m>0)或+=1(m>0)即可.

答案:+=1(答案不唯一)

9.(2019·全国Ⅱ卷)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,

P为C上的点,O为坐标原点.

(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;

(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.

解:(1)连接PF1(图略),由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,

∠F1PF2=90°,|PF2|=c,

|PF1|=c,

于是2a=|PF1|+|PF2|=(+1)c,

故C的离心率为e==-1.

(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,

当且仅当 |y|·2c=16,·=-1,

+=1,

即c|y|=16,①

x2+y2=c2,②

+=1,③

由②③及a2=b2+c2得y2=,

又由①知y2=,故b=4;

由②③及a2=b2+c2得x2=(c2-b2),

所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4.当b=4,a≥4时,存在满足条件的点P.

故b=4,a的取值范围为[4,+∞).

10.若椭圆C:+=1(m>9)比椭圆D:+=1更扁,则C的长轴长的取值范围是(　C　)

A.(6,6)    B.(18,36)

C.(6,+∞)  D.(36,+∞)

解析:椭圆C的离心率e1=,椭圆D的离心率e2==,因为椭圆C比椭圆D更扁,所以e1>e2,即>,

解得m>18,则2>6,

所以椭圆C的长轴长的取值范围是(6,+∞).

11.(2022·黑龙江齐齐哈尔三模)椭圆C:+=1(a>b>0)左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,且PF2垂直于x轴,若|F1F2|,|PF2|,

|PF1|成公差为2的等差数列,则椭圆C的方程为(　D　)

A.+=1  B.+=1

C.+=1  D.+=1

解析:由题意知,|F1F2|=2c,|PF2|=2c+2,

|PF1|=2c+4,又PF2垂直于x轴,

所以(2c)2+(2c+2)2=(2c+4)2,解得c=3.

又由椭圆定义可得2a=2c+2+2c+4=18,

即a=9,所以b2=a2-c2=81-9=72,

所以椭圆方程为+=1.

12.(2022·重庆二模)如图,神舟十二号的飞行轨道是以地球球心为左焦点的椭圆(图中虚线),我们把飞行轨道上的点与地球表面上的点的最近距离叫近地距离,最远距离叫远地距离.设地球半径为R,若神舟十二号飞行轨道的近地距离是,远地距离是,则神舟十二号的飞行轨道的离心率为(　D　)

A.    B.    C.    D.

解析:如图所示,

以运行轨道长轴所在直线为x轴,地心F为左焦点建立平面直角坐标系,

设椭圆方程为+=1(a>b>0),其中a2=b2+c2,

根据题意有a-c=R+R=R, a+c=R+R=R,

所以2a=R, 2c=R,所以椭圆的离心率e===.

13.(多选题)(2022·山东青岛一模)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别是F1,F2,M(,y0)为椭圆C上一点,则下列结论正确的是(　ABC　)

A.△MF1F2的周长为6

B.△MF1F2的面积为

C.△MF1F2的内切圆的半径为

 D.△MF1F2的外接圆的直径为

解析:由椭圆C:+=1知a=2,b=,c=1,

由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a=4,|F1F2|=2c=2,

所以△MF1F2的周长为|MF1|+|MF2|+|F1F2|=4+2=6,A正确;

将M(,y0)代入椭圆方程得,+=1,

解得y0=±,

所以△MF1F2的面积为S=|F1F2|·|y0|=,B正确;

设△MF1F2的内切圆的半径为r,则S=(|MF1|+|MF2|+|F1F2|)·r,

即=×6·r,所以r=,C正确;

不妨取M(,),则|MF1|=,|MF2|=,

所以△MF1F2的面积为S=|MF1|·|MF2|sin∠F1MF2,

即=××·sin∠F1MF2,所以sin∠F1MF2=,

由正弦定理知△MF1F2的外接圆的直径为==,D错误.

14.(2022·江西上饶模拟)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,设线段PF1的中点为M,且|OF2|=|OM|,则△PF1F2的面积为　　　   　. 

解析:由题意可得a=3,b=,c==2.

因为O,M分别是F1F2和F1P的中点,

所以|PF2|=2|OM|=2|OF2|=2c=4,

根据椭圆定义,可得|PF1|=2a-2c=2,

又因为|F1F2|=2c=4,

所以cos∠PF2F1===,

所以sin∠PF2F1==.

故△PF1F2的面积是|PF2|·|F1F2|·sin∠PF2F1=.

答案:

15.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,长轴A1A2,短轴B1B2,椭圆上的动点M满足=2,若△MA1A2面积的最大值为8,△MB1B2面积的最小值为2,则该椭圆的离心率为(　C　)

A.    B.    C.    D.

解析:由题意知F1(-c,0),F2(c,0),|A1A2|=2a,|B1B2|=2b,

设M(x,y),则()2==4,

整理可得(x-)2+y2=,即点M轨迹是以(,0)为圆心,为半径的圆,

所以|yM|max=,|xM|min=-=,

所以()max=·2a·==8,()min=·2b·==2,

即ac=6,bc=6,所以===,所以离心率e===.