2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 028-第七节 抛物线（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 028-第七节 抛物线（教用），共15页。试卷主要包含了了解抛物线的简单应用等内容，欢迎下载使用。
第七节 抛物线
课标要求
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.了解抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质.
3.通过对抛物线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
4.了解抛物线的简单应用.
回归教材 强基础
1．抛物线的定义
（1）定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离_ _ _ _ 的点的轨迹.
（2）焦点：点F.
（3）准线：直线l.
【答案】相等
2．抛物线的标准方程和几何性质
【答案】x轴； y轴； 1； x0+p2； −x0+p2； y0+p2； −y0+p2
点拨 （1）p的几何意义是焦点到准线的距离.
（2）对于抛物线y2=2px(p>0) 来说，当x 的值不变时，p的值越大，|y|也越大，抛物线的开口也越大；对于抛物线x2=2py(p>0) 来说，当y 的值不变时，p的值越大，|x|也越大，抛物线的开口也越大.
常考结论
假设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点，且A(x1,y1),B(x2,y2)，直线l的倾斜角为α ，则有：
（1）x1x2=p24,y1y2=−p2.
（2）|AF|=p1−csα,|BF|=p1+csα，1|AF|+1|BF|=2p.
（3）|AB|=x1+x2+p=2psin2α=2p(1+1k2)(k为l的斜率).
（4）S△AOB=p22sinα(O为坐标原点).
（5）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
（6）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长为2p.通径是过焦点的最短的弦.
自主评价
1．概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1） 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.（ ）
（2） 方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且焦点坐标是(a4,0),准线方程为x=−a4.（ ）
（3） 抛物线是轴对称图形,不是中心对称图形.（ ）
（4） 抛物线是双曲线的一支，也有渐近线.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） √
（4） ×
2．（人教A版选择性必修第一册P133练习T2改编）抛物线y=14x2的准线方程是（ ）
A. y=−1B. y=−2C. x=−1D. x=−2
【答案】A
【解析】∵y=14x2，∴x2=4y，∴ 准线方程为y=−1.
3．（人教A版选择性必修第一册P133练习T3改编）若抛物线y2=4x上的一点M到焦点的距离为2，则点M的横坐标是_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】设M(x0,y0)，M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为x=−1，则x0+1=2，∴x0=1.
4．易错 若抛物线经过点A(2,3)，则抛物线的标准方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】y2=92x或x2=43y
【解析】由题意可设抛物线的方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0)，将(2,3)代入得32=2m或22=3n，解得m=92或n=43，∴ 抛物线的标准方程为y2=92x或x2=43y.
易错分析
易忽视对抛物线开口方向的讨论而出错.
突破核心 提能力
考点一 抛物线的定义
例1 若点P到直线x=−1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为（ ）
A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线
【答案】D
【解析】依题意知，点P到直线x=−2的距离等于它到点(2,0)的距离，又点(2,0)不在直线x=−2上，故点P的轨迹是抛物线.
例2 （2025·陕西安康三模）已知抛物线x2=16y上的点M到焦点F的距离为6，则点M到y轴的距离为（ ）
A. 22B. 42C. 2D. 4
【答案】B
【解析】由题知，抛物线的准线方程为y=−4，由抛物线的定义可得点M到准线y=−4的距离为6，所以点M的纵坐标为2，代入抛物线方程可得x2=32，解得x=±42，所以点M到y轴的距离为42.
例3 （2025·湖南长沙一模）已知抛物线C:y=x24的焦点为F，准线为l，P为C上一点，过P作l的垂线，垂足为M.若|MF|=|PF|，则|PF|=（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 23
【答案】C
【解析】由抛物线的定义知|PF|=|PM|，又|MF|=|PF|，所以△PMF为等边三角形，∠FMN=30∘(N为准线与y轴的交点)，易知抛物线C的焦点为F(0,1)，准线l:y=−1，故|MF|=|NF|sin∠FMN=2sin30∘=4，故|PF|=4.
考点二 抛物线的标准方程
例4 点M(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（ ）
A. x2=12yB. x2=112y或x2=−136y
C. x2=−136yD. x2=12y或x2=−36y
【答案】D
【解析】将y=ax2转化为x2=1ay.
当a>0时，抛物线的开口向上，准线方程为y=−14a，点M(5,3)到准线的距离为3+14a=6，解得a=112，所以抛物线的方程为x2=12y；
当a0，由题可得点A(2,1)在抛物线上，将其坐标代入抛物线方程可得22=2p×1，解得p=2，所以抛物线的方程为x2=4y，则抛物线的焦点坐标为(0,1)，故顶点到焦点的距离为1m.
例6 已知圆N：x2+y2−6y+5=0，直线l:y=−1，圆M与圆N外切，且与直线l相切，则点M的轨迹方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】x2=12y
【解析】由题意得，圆N的标准方程为x2+(y−3)2=4，
所以圆心为N(0,3)，半径为2.
设圆M的半径为r，则点M到直线l′：y=−3的距离为r+2,又圆M与圆N外切，所以点M到点N的距离为r+2，
故点M的轨迹是以N为焦点，l′为准线的抛物线，故点M的轨迹方程为x2=12y.
变式．将例6的条件变为“动点M(x,y)到定点F(3,0)的距离比M到y轴的距离大3”，则动点M的轨迹方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】y2=12x(x≥0)，y=0(x0)，则p2=3，即p=6，所以y2=12x；当x0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）
A. p=2B. |MN|=83
C. 以MN为直径的圆与l相切D. △OMN为等腰三角形
【答案】AC
【解析】∵ 直线y=−3(x−1)过焦点(p2,0)，∴p2=1，∴p=2，故A正确.
由上述分析知,抛物线的方程为y2=4x，
由y=−3(x−1),y2=4x,得3(x2−2x+1)=4x,即3x2−10x+3=0,设M(x1,y1)，N(x2,y2),则x1+x2=103,x1x2=1,∴|MN|=1+(−3)2⋅|x1−x2|=163,故B错误.
不妨设M在x轴上方，如图，取MN的中点D，过M，N，D作l的垂线，垂足分别为M′，N′，D′，则|DD′|=12(|MM′|+|NN′|)=12|MN|，
∴ 以MN为直径的圆和l相切，故C正确.
由B，C选项的分析可知M(13,233)，N(3,−23)，|MN|=163，∴|OM|=133，|ON|=21，显然△OMN不是等腰三角形，故D错误.故选AC.
角度2 与抛物线有关的最值（或范围）问题
例9 （2025·广东广州三模）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，M,N为C上的两点，若线段MN的中点到y轴的距离为2，则|MF|⋅|NF|的最大值为（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 36
【答案】C
【解析】设M(x1,y1),N(x2,y2)，因为线段MN的中点到y轴的距离为2，所以x1+x2=4.
易知抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=−1，所以由抛物线的定义可得|MF|=x1+1,|NF|=x2+1，
所以|MF|⋅|NF|=(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=x1x2+5，
因为x1>0,x2>0，所以x1+x2=4≥2x1x2（当且仅当x1=x2=2时等号成立），所以x1x2的最大值为4.故|MF|⋅|NF|的最大值为9.
例10 （2025· 全国Ⅰ卷·10,6分）多选 已知抛物线C:y2=6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l:x=−32的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则（ ）
A. |AD|=|AF|B. |AE|=|AB|
C. |AB|≥6D. |AE|⋅|BE|≥18
【答案】ACD
【解析】由y2=6x知，抛物线C的焦点为F(32,0)，准线是l:x=−32.
由抛物线的定义知，|AD|=|AF|，
因此选项A正确；
设直线AB的方程为x=my+32,A(x1,y1),B(x2,y2).
联立y2=6x,x=my+32,消去x整理得y2−6my−9=0,则y1+y2=6m,y1y2=−9,
则x1+x2=(my1+32)+(my2+32)=6m2+3,
所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+32)+(x2+32)=(x1+x2)+3=6m2+6,
当m=0时，|AB|min=6,即|AB|≥6,因此选项C正确；
当m=0时，直线AB与x轴垂直，|AB|=6，|AF|=3，易知|EF|=3，
所以|AE|=|AF|2+|EF|2=32≠|AB|，因此选项B错误；
依题意得△ADE≌△AFE，过B点作BM⊥l于M，易得△BME≌△BFE，
所以AE⊥BE，因此|BE|⋅|AE|=2S△AEB，
由EF⊥AB知，直线EF的方程为y=−m(x−32)，因此E(−32,3m),
所以|EF|=(−32−32)2+(3m)2=3m2+1，
所以S△AEB=12|AB|⋅|EF|=12(6m2+6)⋅3m2+1≥9,
所以|AE|⋅|BE|=2S△AEB≥18，因此选项D正确.故选ACD.
归纳总结
1.看到准线想到焦点，看到焦点想到准线，许多抛物线问题均可利用焦半径使求解更简捷.
2.应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了运用数形结合思想解题的优越性.标准方程
y2=2px(p>0)
y2=−2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=−2py(p>0)
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
_ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _
焦点
F(p2,0)
F(−p2,0)
F(0,p2)
F(0,−p2)
离心率
e= _ _ _ _
准线方程
x=−p2
x=p2
y=−p2
y=p2
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径（其中P(x0,y0) 为抛物线上任一点）
|PF|= _ _ _ _ _ _ _ _
|PF|= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
|PF|= _ _ _ _ _ _ _ _
|PF|= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _