2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 030-第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 030-第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式（教用），共15页。试卷主要包含了理解同角三角函数的基本关系式，2=1±2sinαcsα等内容，欢迎下载使用。
第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
课标要求
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cs2x=1，sinxcsx=tanx(x≠kπ+π2,k∈Z).
2.借助单位圆的对称性，利用三角函数的定义推导出诱导公式(α±π2，α±π 的正弦、余弦、正切).
回归教材 强基础
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α=1.
（2）商数关系：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ =tanα(α≠kπ+π2，k∈Z).
【答案】sinαcsα
2．诱导公式
【答案】−sinα； −csα； −tanα
常考结论
1.sin2α=1−cs2α=(1+csα)(1−csα)；
cs2α=1−sin2α=(1+sinα)(1−sinα).
2.sinα=tanαcsα(α≠kπ+π2,k∈Z).
3.(sinα±csα)2=1±2sinαcsα.
4.sin2α=sin2αsin2α+cs2α=tan2αtan2α+1；cs2α=cs2αsin2α+cs2α=1tan2α+1，其中α≠kπ+π2，k∈Z.
自主评价
1．概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1） 若α ,β 为任意角，则sin2(α−β)+cs2(α−β)=1.（ ）
（2） 若θ∈(0,π)，则tanθ=sinθcsθ 恒成立.（ ）
（3） 诱导公式中的角α 一定是锐角.（ ）
（4） sin(kπ−α)=sinα(k∈Z).（ ）
【答案】（1） √
（2） ×
（3） ×
（4） ×
2．易错 已知csα=35，且α 为第四象限角，则tanα=_ _ _ _ _ _ .
【答案】−43
【解析】因为α 为第四象限角，所以sinα=−1−cs2α=−1−(35)2=−45，于是tanα=sinαcsα=−4535=−43.
易错分析
易忽视角α 的范围导致分不清所求的值的正负而致错.
3．［人教A版必修第一册P194练习T3(1) 改编］化简：cs(α−π2)sin(5π2+α)⋅cs(π−α)=_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】−sinα
【解析】原式=sinαcsα⋅(−csα)=−sinα.
4．若sin(π−θ)=14，则cs(−θ)tanθ=_ _ _ _ _ _ .
【答案】14
【解析】由sin(π−θ)=14得sinθ=14，所以cs(−θ)tanθ=csθtanθ=sinθ=14.
突破核心 提能力
考点一 同角三角函数的基本关系式及其应用
角度1 知一求二
例1 ［2023·全国乙卷（文）·14，5分］若θ∈(0,π2),tanθ=13,则sinθ−csθ=_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】−105
【解析】由tanθ=13，得sinθ=13csθ，代入sin2θ+cs2θ=1,可得cs2θ=910，又θ∈(0,π2)，所以csθ=31010，则sinθ=1010，
所以sinθ−csθ=−105.
变式．已知csα=−13，且α 为第二象限角，则sinα+tanα=（ ）
A. −423B. 423C. 823D. 223
【答案】A
【解析】因为csα=−13，且α 为第二象限角，所以sinα=1−cs2α=1−(−13)2=223，tanα=sinαcsα=223−13=−22，于是sinα+tanα=223−22=−423.故选A.
角度2 弦切互化
例2 已知角α 的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，P(1,2)为角α 的终边上一点.
（1）求tanα 的值；
（2）求sin(π−α)+5cs(2π−α)2sin(3π2−α)+cs(π2+α)的值；
（3）求sin2α+2sinαcsα−cs2α 的值.
【解析】（1）根据三角函数的定义可得tanα=21=2.
解法一：（2）由（1）知tanα=2.
因为sinα=csαtanα ，且csα=112+22=55≠0，
所以sin(π−α)+5cs(2π−α)2sin(3π2−α)+cs(π2+α)=sinα+5csα−2csα−sinα=tanα+5−2−tanα=−74.
（3）由（1）知tanα=2.
因为sin2α+cs2α=1，sinα=csαtanα ，且csα=112+22=55≠0，
所以sin2α+2sinαcsα−cs2α=sin2α+2sinαcsα−cs2αsin2α+cs2α=tan2α+2tanα−1tan2α+1=75.
解法二：（2）根据三角函数的定义可得sinα=212+22=255,csα=112+22=55，
所以sin(π−α)+5cs(2π−α)2sin(3π2−α)+cs(π2+α)=sinα+5csα−2csα−sinα=255+5×55−2×55−255=−74.
（3）由（2）知，sinα=255,csα=55,
所以sin2α+2sinαcsα−cs2α=(255)2+2×255×55−(55)2=75.
变式．若csθ−3sinθsinθ+5csθ=121，则tanθ=（ ）
A. 14B. 13C. 25D. 16
【答案】A
【解析】因为csθ−3sinθsinθ+5csθ=(csθ−3sinθ)÷csθ(sinθ+5csθ)÷csθ=1−3tanθtanθ+5=121，所以tanθ+5=21(1−3tanθ)，解得tanθ=14.故选A.
角度3 构建方程（组）
例3 已知α∈(π2,π)，csα=83tanα ，则sinα=_ _ _ _ _ _ .
【答案】13
【解析】由csα=83tanα 可得csα=83⋅sinαcsα，所以3cs​2α=8sinα ，即3−3sin2α=8sinα ，整理得3sin2α+8sinα−3=0，解得sinα=13或sinα=−3，又α∈(π2,π)，所以sinα=13.
变式．若sinθ+3csθ=2，则tanθ=（ ）
A. −3B. −33C. 33D. 3
【答案】C
【解析】解法一：由sinθ+3csθ=2得sinθ=2−3csθ，代入sin2θ+cs2θ=1得(2−3csθ)2+cs2θ=1，所以4cs2θ−43csθ+3=0，解得csθ=32,sinθ=2−3csθ=12，所以tanθ=33.故选C.
解法二：由sinθ+3csθ=2，可设csθ−3sinθ=t，两式平方相加得1+3=4+t2，则t2=0，即t=0，则csθ−3sinθ=0，所以tanθ=33.故选C.
角度4 和（差）积互化
例4 多选 设α∈(0,π)，已知sinα ，csα 是方程3x2−x−m=0的两个根，则下列结论中正确的是（ ）
A. m=−43B. sinα−csα=173
C. tanα=713D. cs2α−sin2α=−179
【答案】BD
【解析】对于A，由于sinα ，csα 是方程3x2−x−m=0的两个根，则sinα+csα=13,sinαcsα=−m3,所以(sinα+csα)2=19，即sin2α+cs2α+2sinαcsα=19，解得sinαcsα=−49，则−m3=−49，解得m=43，故A错误；
对于B，由于(sinα−csα)2=sin2α+cs2α−2sinαcsα=1−2×(−49)=179，又α∈(0,π)，所以sinα>0，又sinαcsα=−49