2024高考数学一轮总复习（导与练）第八章第7节　抛物线

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第7节　抛物线 [选题明细表] 知识点、方法题号抛物线的定义、标准方程1,2,5,11,14抛物线的几何性质4,6,12抛物线的综合3,7,8,9,10,13,15,161.(2022·辽宁辽阳二模)下列四个抛物线中,开口朝下且焦点到准线的距离为5的是(　B　)A.y2=-10x   B.x2=-10yC.y2=-5x    D.x2=-5y解析:四个抛物线中,只有抛物线x2=-10y与x2=-5y的开口朝下,又p=5,所以x2=-10y符合题意.2.若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(x0,2)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则p等于(　C　)A.2 B.3 C.4 D.6解析:由题意3x0=x0+,x0=,则(2)2=2p·,解得p=4.3.一抛物线状的拱桥,当桥顶离水面1 m时,水面宽4 m,若水面下降3 m,则水面宽为(　C　)A.6 m   B.7 m   C.8 m   D.9 m解析:根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系.设桥顶离水面1 m时,水面与抛物线交于A,B两点,易知A(2,-1),当水面下降3 m时,水面与抛物线交于C,D两点,设C(x0,-4),且x0>0.设抛物线方程为y=ax2,将A(2,-1)代入,易得a=-,故抛物线方程为y=-x2,代入C(x0,-4),得-4=-,解得x0=4,故水面下降3 m,则水面宽为8 m.4.设抛物线C:y=x2的焦点为F,直线l交抛物线C于A,B两点,|AF|=3,线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为4,则|BF|等于(　B　)A.       B.5    C.4   D.3解析:抛物线C的方程可化为x2=4y,由线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为4,可得|AF|+|BF|=8.又|AF|=3,所以|BF|=5.5.(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为(　B　)A.(,0)    B.(,0)     C.(1,0)     D.(2,0)解析:将直线方程与抛物线方程联立,可得y=±2,不妨设D(2,2),E(2,-2),由OD⊥OE,可得·=4-4p=0,解得p=1,所以抛物线C的方程为y2=2x,其焦点坐标为(,0).6.(2022·安徽芜湖模拟)设动圆圆心为P,该动圆过定点F(a,0),且与直线x=-a相切(a>0),圆心P轨迹为曲线C.过点F的直线l与x轴垂直,若直线l与曲线C交于A,B两点,则|AB|等于(　D　)A.       B.a   C.2a    D.4a解析:设P(x,y),由题意可得|PF|=x-(-a),所以由抛物线的定义可知,曲线C的轨迹为y2=4ax,由题意知AB为抛物线的通径,故|AB|=4a.7.已知圆x2+y2=r2(r>0)与抛物线y2=3x相交于M,N两点,且|MN|=2,则r=　　　　. 解析:因为圆x2+y2=r2(r>0)与抛物线y2=3x相交于M,N两点,且|MN|=2,由对称性,设M(x,),代入抛物线方程,得3=3x,解得x=1,所以M(1,),故r=|OM|==2.答案:28.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(4,0)在点F的右边,若C上的点Q满足|QF|=|QP|,∠QPF=60°,则p=　　　　. 解析:因为|QF|=|QP|,又∠QPF=60°,所以△QPF为正三角形,易知 F(,0),又P(4,0),所以点Q的横坐标为2+,所以|QF|=2++=2+=|PF|=4-,解得p=.答案:9.以坐标原点O为抛物线y2=8x的顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,则△OAB的周长为　　　.解析:如图所示.由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,垂足为点M,又焦点F是△OAB的重心,则|OF|=|OM|.因为F(2,0),所以|OM|=|OF|=3.所以M(3,0).故设A(3,m),m>0,代入y2=8x得m2=24.所以m=2.所以A(3,2),B(3,-2).所以|OA|=|OB|= .所以△OAB的周长为2+4.答案:2+410.已知抛物线E:x2=8y的焦点为F,点P为E上一点,Q为PF的中点,若|PF|=10,则Q点的纵坐标为　　　　. 解析:如图所示,分别过点P,Q作准线的垂线,垂足分别为P1,Q1,设准线y=-2与y轴的交点为F1,由梯形中位线定理易知|QQ1|====7,又准线方程为y=-2,故Q点的纵坐标为5.答案:511.设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线(　B　)A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP解析:因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等,又点P在抛物线上,根据定义可知,|PQ|=|PF|,所以线段FQ的垂直平分线经过点P.12.(多选题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点,若∠ABD=90°,且△ABF的面积为9,则下列选项正确的是(　BC　)A.|BF|=3B.△ABF是等边三角形C.点F到准线的距离为3D.抛物线C的方程为y2=12x解析:根据题意,作出满足题意的几何图形如图所示,由抛物线及圆的定义可得|AB|=|AF|=|BF|,所以△ABF是等边三角形,故B正确;由△ABF的面积为|BF|2=9,可知|BF|=6.故A错误;∠FBD=30°,又点F到准线的距离为|BF|sin 30°=3=p,故C正确;该抛物线的方程为y2=6x.故D错误.13.(多选题)(2022·辽宁葫芦岛一模)已知抛物线C:y2=2px过点M(2,2),焦点为F,则下列选项正确的是(　AC　)A.点M到焦点的距离为3B.直线MF与x轴垂直C.直线MF与C交于点N,以弦MN为直径的圆与C的准线相切D.过点M与C相切的直线方程为x-2y+1=0解析:由题意知,(2)2=4p,解得p=2,即y2=4x,焦点F(1,0),准线x=-1.由抛物线定义知,点M到焦点的距离等于到准线的距离为2-(-1)=3,故A正确;由焦点F(1,0)知直线MF不与x轴垂直,故B错误;由焦点弦的性质可知,C正确;由2-2×2+1≠0知M不在直线x-2y+1=0上,故D错误.14.写出满足下列条件的一个抛物线方程C:　            . ①该抛物线方程是标准方程;②过A(0,2)的任意一条直线与该抛物线C有交点,且对于C上的任意一点P,|AP|的最小值为2.解析:设抛物线C:x2=2py(p>0),点P(x,y)是抛物线上任意一点,由题意可知|AP|===,当y=2-p时,|AP|min==2,解得p=2.由于点A(0,2)在抛物线C:x2=4y内,因此满足过A(0,2)的任意一条直线与该抛物线C有交点.答案:x2=4y15.(2022·湖南长沙联考)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C(4,0),AF与BC相交于点D.若|CF|=|AF|,则△ACD的面积为　　　　. 解析:不妨设A在第一象限,如图所示,由已知F(,0),C(4,0),得|CF|=3.因为AB∥x轴,|CF|=|AF|,又|AB|=|AF|,所以四边形ABFC为平行四边形,且|AB|=|CF|=3,所以xA+=3,解得xA=2,代入y2=4x,得yA=2,所以S△ACD=S△ABC=××3×2=.答案:16.(多选题)已知P(x,y)为曲线x=2上一动点,则下列说法正确的是(　BCD　)A.的最小值为2B.P到直线y=-x-2的距离的最小值为C.+的最小值为6D.存在一个定点和一条定直线,使得P到定点的距离等于P到定直线的距离解析:曲线x=2,即x2=4y(x≥0),则曲线x=2为抛物线x2=4y的右半部分,如图所示.可得抛物线的焦点坐标为F(0,1),准线方程为l:y=-1,对于A,由=|PF|≥1,所以A错误;  对于B,结合图象可得曲线上的点中原点到直线y=-x-2的距离最小,最小值为=,所以B正确;对于C,由点A(1,5)到准线l:y=-1的距离为d,点P到准线l:y=-1的距离为d1,则+=|PF|+|PA|=d1+|PA|≥d=5+1=6,所以+的最小值为6,所以C正确;对于D,根据抛物线的定义,点P到焦点F(0,1)的距离等于点P到准线的距离,所以D正确.