2026年北京中考数学二轮复习 难点06 新定义综合题几何与函数(4大题型)(重难专练)

这是一份2026年北京中考数学二轮复习 难点06 新定义综合题几何与函数(4大题型)(重难专练)，共37页。试卷主要包含了在平面直角坐标系中，的半径为1，在平面直角坐标系中，的半径为等内容，欢迎下载使用。
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第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点
核心模块 重难考向 考法解读/考向预测
第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧
要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基
考向 函数与几何
第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶
重●难●考●向●解●读
重●难●要●点●剖●析
题型1 一次函数与圆综合
1．（2024·北京东城汇文中学·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点，，且，则称线段是的“倍弦线”．
(1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段，，中，的“倍弦线”是_____；
(2)的“倍弦线”与直线交于点，求点纵坐标的取值范围；
(3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)、；
(2)；
(3)．
【来源】2024年北京市东城区汇文中学中考一模数学试题
【分析】本题是新定义阅读题，考查了理解能力，与圆的位置关系，勾股定理等知识，解决问题的关键是几何直观能力，数形结合．
（1）根据定义验证可得结果；
（2）根据最大值为6，所以以为圆心，3为半径画圆，根据勾股定理求得，进而求得结果；
（3）以为圆心，1为半径作圆，直线与圆相切，此时，以为圆心，2为半径作圆，直线与圆相切，求得，进而求得结果．
【详解】（1）解：如图1，
，，
，是的“倍弦线”，
与不相交，，
和不是的“倍弦线”，
故答案为：、；
（2）解：如图2，
以为圆心，3 为半径画圆交直线于和，
，
；
（3）解：如图3，
以为圆心，2为半径画圆，直线与相切，
此时，
以为圆心，1为半径作，直线与相切，
此时，
．
2．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，的半径为．对于点和的弦，给出如下定义：点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，若点在弦上，且不与点，重合，则称点是弦“伴随点”．
(1)如图，点，，在点，，中，弦的“伴随点”是______；
(2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“伴随点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围；
(3)已知点．对于线段上任意一点，存在的弦，使得点是弦的“伴随点”，将点对应的弦的长度的最小值记为，直接写出的最大值及的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或
(3)的最大值为，
【来源】2025年北京市丰台区九年级中考二模数学试卷
【分析】本题考查了点的平移，切线的性质，勾股定理，解直角三角形，理解新定义是解题的关键；
（1）根据新定义，结合坐标系，平移即可求解；
（2）根据新定义，弦，先得出在的圆环内，进而得点是弦的“伴随点”则以为圆心的圆环，设分别和圆环交于，进而分别求得其横坐标，结合图形，即可求解；
（3）根据新定义先得对应的弦的长度的最小值时，经过的的切点，进而求得经过时，取得的最大值，进而得出的范围，即可求解．
【详解】（1）解：根据新定义，将先弦向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
则平移后经过点，则是弦的“伴随点”
故答案为：；
（2）解：的弦，的半径为．
∴是等边三角形，
设
则
∴在的圆环内
如图，将圆环向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到以为圆心的圆环，设分别和圆环交于，
则点是弦的“伴随点”在圆环内部，不包括圆弧外边界（根据定义不和端点重合），
由于与轴的夹角为
∴的横坐标为，的横坐标为，
同理可得的横坐标为，的横坐标为
∴或
（3）解：如图，将向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到以为圆心的圆，设为的对应弦，
线段上任意一点，存在的弦，使得点是弦的“伴随点”，则为的圆环内的弦，
当经过的的切点时，取得最小值，
当为半径为的切点时，即的中点时，取得最大值，
∵点在上，
∴的最大值为
∴,
∴的最大值为
∴，
∵，,
即是线段上的点，当重合时取得最小值，当重合时取得最大值，而不包括端点，则不能取等于号，
∴
3．（2025·北京五十中·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1，为y轴上一点，P为平面上一点，给出如下定义：若在上存在一点Q，使得是等腰直角三角形，且，则称点P为的“等直点”，为的“等直三角形”．
(1)如图，点A、B、C、D的横、纵坐标都是整数．
①当时，在点A，B，C，D中，的“等直点”是__________；
②当时，若是的“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求的值；
(2)若直线上存在的“等直点”，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)①A、B、D， ②
(2)或
【详解】（1）解：①如图，，，是等腰直角三角形，在上，故A、B、D为“等直点”，
故答案为：A、B、D；
②如图，依题意作的“等直三角形”，
∴，，
过Q点作轴，交y轴于M点，过点P作于H点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，，
设，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴=．
（2）解：如图③，为的“等直三角形”，当点T在y轴的负半轴上，点P在点Q的左侧时，在x轴的负半轴上取一点F，使得，连接，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
则点P的运动轨迹是以点F为圆心，为半径的圆，
∴观察图形可知，当或时，与直线相切，
那么，或；
观察图形可知，当时，直线上存在的“等直点”；
如图④，为的“等直三角形”，当点T在y轴的正半轴上，点P在点Q的左侧时，在x轴的负半轴上取一点F，使得，连接，，
同理可证，
∴，
∵，
∴，
则点P的运动轨迹是以点F为圆心，为半径的圆，
∴当或时，与直线相切，
那么，或；
观察图形可知，当时，直线上存在的“等直点”，
综上所述，t的取值范围为：或．
4．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知点，线段轴于点为平面内一条线段，将点绕点旋转后得到点．若点到点的距离为1，则称线段为点的“隐圆线段”．

(1)若点在轴上时，点的“隐圆线段”长为_____________；
(2)求点的“隐圆线段”长的最大值；
(3)若点的“隐圆线段”所在直线为，直接写出的取值范围．
【答案】(1)和
(2)3
(3)
【来源】2025年北京市昌平区九年级二模数学试卷
【分析】（1）由点C在x轴上，且点C到点O的距离为1，得到或．由中心对称得到点D是线段的中点，因此可得点D的坐标，根据两点间的距离公式即可求解；
（2）连接，取的中点，连接，，则，由三角形中位线的性质得到，因此点D在以点为圆心，半径的圆上运动，根据“一箭穿心”模型即可解答；
（3）由（2）可知点D在上运动，又直线过点B，因此，过点B作的切线，切点分别为点M，N，设直线的解析式为，直线的解析式为，则．根据相似三角形的判定及性质，待定系数法分别求出，即可解答．
【详解】（1）解：∵点C在x轴上，且点C到点O的距离为1，
∴或．
①当点C为时，
∵点绕点旋转后得到点，
∴点D是线段的中点，
∵，
∵线段轴于点，
∴，
∴．
②当点C为时，
∵点绕点旋转后得到点，
∴点D是线段的中点，
∵，
∵线段轴于点，
∴，
∴．
综上所述，点A的“隐圆线段”长为或．
（2）解：连接，取的中点，连接，
∵，
∴点C在以点O为圆心，半径为1的圆上运动，
∵点D是的中点，点E是的中点，
∴，
∴点D在以点为圆心，半径的圆上运动，
∴，
∴的最大值为，
即点的“隐圆线段”长的最大值为3．
（3）解：由（2）可知点D在上运动，
又点的“隐圆线段”所在直线为，
∴直线过点B，
∴如图，过点B作的切线，切点分别为点M，N，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
∴．
①连接，过点E作轴，交于点F，过点F作轴于点G，
由（2）有，，
∴在中，，
∵，轴， 轴，
∴，
设，则，
∵轴，
∴，
∵与相切于点M
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
即，
∴，
∴，
∴，即，
∴把点，代入直线的解析式，得
，解得．
②连接，过点E作轴，交于点H，交于点K，
∴，，，
∵，是的切线，
∴，，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，即，
∴把点，代入直线的解析式，得
，解得．
综上，．
5．（2025·北京门头·一模）在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下规定：如果将点沿直线翻折后得到点，再将点沿直线翻折后得到点，点就是点的“相称点”．
(1)如图1，如果点，，
① 在点，，中，点的“相称点”的是________；
② 点的“相称点”与点的距离最小值是_______．
(2)如图2，的半径和等边的边长均为，点，点和点都在上，如果在图中的边上存在点的“相称点”，求的取值范围．
【答案】(1)① ，； ②
(2)或
【来源】2025年北京市门头中考数学一模试卷
【分析】（1）①根据翻折，中点坐标的计算得到，可得在上，进而可得，，符合题意，即可求解；
②根据两点之间距离公式得到，当时，，由此即可求解；
（2）在上任取点与点，其中点，点关于对称，再关于对称，得到的点，实质上就是将绕点旋转得到点，进而可得的轨迹为以为圆心，半径为与的圆环，进而根据等边的边长均为，点，找到临界点，结合图形，即可求解．
【详解】（1）解：①∵，将点沿直线翻折后得到点，则，将点沿直线翻折后得到点，则，
∵
∴在上，
∵，在上，
∴点的“相称点”的是，；
故答案为：，；．
②点，
∴，
∴，
∴当时，，
故答案为：；
（2）解：如图
在上任取点与点，其中点，点关于对称，再关于对称，得到的点，实质上就是将绕点旋转得到点，
先将固定，在上运动，随之运动，连接并延长至使得，连接，则，即在为圆心，半径为的上运动，
当点在上运动，则在以为圆心，半径为与的圆环内运动，如图，
∵边上存在点的“相称点”，
∴的边与圆环有交点，
如图，当与3为半径的外切时，设切点为，则切点坐标为，
∵等边的边长均为，，
∴，
∴，
当在为半径的上时，，
当在为半径的上时，，则，此时，
当在为半径的上时，，
随着点的移动，可得，或．
6．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于平面内点和轴上点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在上，称点为的“赋能点”．
(1)已知点的坐标为．
①如图1，在点中，的“赋能点”是_____；
②如图2，若直线上存在点，使点为的“赋能点”，求的取值范围；
(2)如图3，点．若线段上存在点，使点为的“赋能点”，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)
【详解】（1）解：①将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，，
，，
点在上，点在上，
点是的“赋能点”，
，，
点不在上，也不在上，
点不是的“赋能点”，
综上所述，的“赋能点”是．
故答案为：．
②直线与轴交于点，与轴交于点，
，
，
直线上存在点，使点为的“赋能点”，
直线与或有交点，
当直线与相切于点，与直线交于点，如图，
连接、，则有，
，
又，
，
，
，
，
点在直线上，
，
；
当直线与相切于点，与直线交于点，如图，
同理可得，，
点在直线上，
，
；
的取值范围为．
（2）解：将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，，
线段上存在点，使点为的“赋能点”，
线段与或有交点，
当线段与只有点一个交点，此时，
，
解得：，；
当线段与只有点一个交点，此时，
，
解得：，；
结合图象得，的取值范围为．
题型2 一次函数与三角形四边形综合
7．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，如果点A、点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A、C在直线上，那么称该菱形为点A、C的“最佳菱形”下图为点A、C的“最佳菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为，点P的坐标为．
（1）点中，能够成为点M、P的“最佳菱形”的顶点的是_________；
（2）如果四边形是点M、P的“最佳菱形”．
①当点N的坐标为时，求四边形的面积；
②当四边形的面积为8，且与直线有公共点时，直接写出b的取值范围．
【答案】（1）；（2）①4；②
【详解】解：（1）如图1中，观察图象可知：在线段的垂直平分线上
根据菱形的性质可知，点能够成为点M、P的“极好菱形”顶点；
（2）①如下图：
∵
∴
∵四边形是菱形，
∴菱形是正方形．
∴
②如下图：
∵
∴，
∵四边形MNPQ的面积为8，
∴，即
∴，
∵四边形MNPQ是菱形，
∴
作直线，交x轴于A，
∵
∴OM=，
∴OE=2，
∵M和P在直线上，
∴∠MOA=45°，
∴△EOA是等腰直角三角形，
∴EA=2，
∴A与N重合，即N在x轴上，
同理可知：Q在y轴上，且
由题意得：四边形MNPQ与直线有公共点时，的取值范围是．
8．（2023·北京西城·一模）平面直角坐标系中，对于点和图形，若图形上存在一点（点，可以重合），使得点与点关于一条经过原点的直线对称，则称点与图形是“中心轴对称”．对于图形和图形，若图形和图形分别存在点和点（点，可以重合），使得点与点关于一条经过原点的直线对称，则称图形和图形是“中心轴对称”的．特别地，对于点和点，若存在一条经过原点的直线，使得点与点关于直线对称，则称点和点是“中心轴对称”的．
（1）如图1，在正方形中，点，点，
①下列四个点，，，，，中，与点是“中心轴对称”的是 ；
②点在射线上，若点与正方形是“中心轴对称”的，求点的横坐标的取值范围；
（2）四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，一次函数图象与轴交于点，与轴交于点，若线段与四边形是“中心轴对称”的，直接写出的取值范围．
【答案】（1）①，②（2）或
【详解】解：解：（1）如图1中，
∵，，，
∴，与点是“中心轴对称”的．
故答案为，；
②如图2中，
以为圆心，为半径画弧交射线于，以为圆心，为半径画弧交射线于．
易知，，，，
观察图象可知满足条件的点的横坐标的取值范围：；
（2）如图3中，设交轴于．
当一次函数与圆心为，半径为的圆相切时，，
当一次函数经过点时，．
观察图象结合图形和图形是“中心轴对称”的定义可知，当时，线段与四边形是“中心轴对称”的；
根据对称性可知：当时，线段与四边形是“中心轴对称”的．
综上所述，满足条件的的取值范围：或．
9．（2023·北京清华附中·二模）在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“关联点”．已知，．

(1)在，，，中，线段的“关联点”是___________；
(2)若点在第二象限且点是线段“关联点”，求线段长度的取值范围；
(3)已知正方形边长为1．以为中心且各边与坐标轴垂直或平行，点，在线段上（在的下方）．若正方形上的任意一点都存在线段，使得该点为线段的“关联点”，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）解：如图，∵，
设直线的解析式为
解得
∴直线的解析式为
在，，，中，在直线上，不符合定义，
如图，当点平移到，点平移到，则，四边形是平行四边形，
∵，，向左平移4个单位，再向下平移1个单位，
将点向左平移4个单位，再向下平移1个单位，得到，则点在上，
同理可得在上，不在上，
综上所述，线段的“关联点”是
故答案为：
（2）由（1）可知，线段的“关联点”在直线上，
设直线的解析式为
解得
∴直线的解析式为
设直线与坐标轴交于点，如图，
令，得，
令，得
∵点在第二象限且点是线段的“关联点”，
∴在线段上，不包括端点，
设到的距离为，则
∴
（3）依题意，正方形在直线与之间运动时，正方形上的任意一点都存在线段，使得该点为线段的“关联点”， ∵，正方形边长为1，
∴，，，
如图，当点位于上时，此时
解得
如图，当点在上时，
解得，
根据（1）中，当与共线时，不符合定义，
∴当正方形的与有交点时，不符合题意，
①当在直线上时，，
∵直线的解析式为
∴
解得：
②当在直线上时，，
∵直线的解析式为
∴
解得：
结合图形可知：当正方形上的任意一点都存在线段，使得该点为线段的“关联点”，或．
10．（2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点，点C是第一象限内的一点，且，抛物线经过两点，与x轴的另一交点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）二次函数的解析式为；（2）AB∥CD，证明见解析；（3）点N的坐标分别为（，1），（，1），（，-1），（-1）．
【来源】2024年北京市东城区中考一模数学试卷
【分析】（1）求得点C的坐标，应用待定系数法即可求得抛物线的解析式．
（2）根据勾股定理求出AC，CD，AD的长，从而根据勾股定理逆定理得到△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，由∠BAC=90°，得出AB∥CD．
（3）由题意可知，要使得以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形，只需要点N到x轴的距离与点B到x轴的距离相等．据此列出方程求解即可．
【详解】解：（1）由题意可求点A(2，0)，点B（0,1）．
过点C作CE⊥x轴，易证△AOB≌△ECA．
∴ OA=CE=2，OB=AE=1．
∴ 点C的坐标为（3,2）．
将点A(2，0)，点C(3，2)代入，
得，，解得．
∴二次函数的解析式为．
（2）AB∥CD．证明如下：
令，解得．
∴ D点坐标为（7,0）．
可求．
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°．
又∵∠BAC=90°，
∴ AB∥CD．
（3）如图，由题意可知，要使得以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形，只需要点N到x轴的距离与点B到x轴的距离相等．
∵ B点坐标为（0,1），
∴ 点N到x轴的距离等于1．
可得和．
解这两个方程得．
∴点N的坐标分别为（，1），（，1），（，-1），（，-1）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理和逆定理；平行的判定；平行四边形的判定；解一元二次方程；分类思想的应用．
11．（2023·北京二中教育集团·模拟）对于平面直角坐标系中的线段，给出如下定义：若存在使得，则称为线段的“等幂三角形”，点R称为线段的“等幂点”．

(1)已知，若存在等腰是线段的“等幂三角形”，求点B的坐标；
(2)已知点C的坐标为，点D在直线上，记图形M为以点为圆心，2为半径的位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段的“等幂三角形”为锐角三角形，直接写出点D的横坐标的取值范围．
【答案】(1)或
(2)或
【来源】2023年北京二中教育集团中考模拟数学试题
【分析】（1）先根据题中定义和坐标与图形性质求得点B的纵坐标为4或，分、、分别求解即可；
（2）根据题意，画图找到线段的“等幂三角形”为直角三角形时点D临界点，即点D在线段或上，点E在弧上，进而根据已知，结合图形和锐角三角函数求解即可．
【详解】（1）解：∵，∴，
∵存在等腰是线段的“等幂三角形”，
∴，
设边上的高为h，则，∴，
∴点B的纵坐标为4或；
∵是等腰三角形”，
∴若时，点B在的垂直平分线上，∴点B坐标为或；
若时，，满足题意的点B不存在，舍去；
当时，，满足题意的点B不存在，舍去，
综上，满足题意的点B坐标为或；
（2）解：如图，由题意，点C在直线上，
当时，，则，
∴，，则图形M经过A，设图形M与x轴另一个交点为，
∴，
过C作于H，连接并延长交图形M于，则，
则，，
∴，，
过A作交图形M于，则，又，
∴，则；
同理，过作于，则，
∴，则，
∵为线段的“等幂三角形”，
∴设边上的高为h，则，∴，
∵为锐角三角形，
∴如图，点D在线段或上，点E在弧上
∵，
∴，，
则，
同理，， ，
∴满足条件的D的横坐标范围为或．

．
12．（2024·北京十一晋元中学·一模）对于点和图形，若点关于图形上任意的一点的对称点为点，所有点组成的图形为，则称图形为点关于图形的“对称图形”．在平面直角坐标系中，已知点，，，．

(1)①在点，，中，是点关于线段的“对称图形”上的点有_______．
②画出点关于四边形的“对称图形”；
(2)点是轴上的一动点．
①若点关于四边形的“对称图形”与关于四边形的“对称图形”有公共点，求的取值范围；
②直线与轴交于点，与轴交于点，线段上存在点，使得点是点关于四边形的“对称图形”上的点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①点E，点F，②图见解析．
(2)①，②或
【详解】（1）解：①根据点关于图形的“对称图形”的定义，点关于线段的“对称图形”是线段，如图所示其中点，．故点，在线段上．
故答案为：点，点；

②点关于四边形的“对称图形”为四边形．

（2）①动点关于四边形的“对称图形”为四边形，如图所示．利用中点坐标公式可得到点，，，．四边形随的变化左右移动，当四边形与四边形有公共点时，应满足：
，
，
②要使得点是四边形上的点，需满足：
或，
或．
题型3 二次函数综合
13．（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于点和点．
（1）此二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为______．
（2）求此二次函数的关系式．
（3）当时，求二次函数的最大值和最小值．
（4）点P为二次函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的横坐标为．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．直接写出线段PQ与二次函数的图象只有1个公共点时m的取值范围．
【答案】（1）2；（2）；（3）最大值为，最小值为-8；（4）或．
【详解】解：（1）令x=0，则y=2，
∴二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为2；
故答案为：2；
（2）将A（-3，0），B（1，0）代入得：
，解得，
∴二次函数的关系式为；
（3）∵，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线．
∴当时，y取最大值为，
∵，
∴当时，y取最小值；
（4）PQ=，
当时，PQ=-3m-4，PQ的长随m的增大而减少；
当时，PQ=3m+4，PQ的长随m的增大而增大；
∴满足题意，解得：m