2026年 中考数学第一轮专项训练：二次函数~动态几何问题 [含答案]

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1．如图，已知抛物线经过A（﹣2，0）B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点是四边形是平行四边形，求点D的坐标．
（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？
2．已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(−1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方抛物线上取一点P，过点P作PQ⊥x轴交BC边于点Q，求PQ的最大值；
（3）在直线BC上方抛物线上取一点D，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF=3：2时，求点D的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，﹣ 43 ），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD= 34 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒．
①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
5．如图，抛物线 y=−x2+bx+c 与 x 轴交于 A(−1,0) ， B(3,0) 两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交 y 轴于 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q ，使得 ΔQAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，已知抛物线L1：y= 12 x2－x－ 32 ，L1交x轴于A，B（点A在点B左边），交y轴于C，其顶点为D，P是L1上一个动点，过P沿y轴正方向作线段PQ∥y轴，使PQ=t，当P点在L1上运动时，Q随之运动形成的图形记为L2.
（1）若t=3，求图形L2的函数解析式；
（2）过B作直线l∥y轴，若直线l和y轴及L1，L2所围成的图形面积为12，求t的值.
7．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴为x＝1．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）如图2，设点P是抛物线L在x轴上方任一点，点Q在直线x＝﹣3上，△PBQ能否成为以P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．
8．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点，直线L是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）设P点是直线L上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标．
9．如图，抛物线y=﹣x2+6x与x轴交于点O，A，顶点为B，动点E在抛物线对称轴上，点F在对称轴右侧抛物线上，点C在x轴正半轴上，且EF =//OC，连接OE，CF得四边形OCFE．
（1）求B点坐标；
（2）当tan∠EOC= 43 时，显然满足条件的四边形有两个，求出相应的点F的坐标；
（3）当0＜tan∠EOC＜3时，对于每一个确定的tan∠EOC值，满足条件的四边形OCFE有两个，当这两个四边形的面积之比为1：2时，求tan∠EOC．
10．如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以 2 个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；
（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；
（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
11．如图，二次函数y=x2+bx+c（c≠0）的图象经过点A（-2，m）（m＜0），与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），AB//x轴，且AB：OB=2：3.
（1）求m的值；
（2）求二次函数的解析式；
（3）在线段BC上是否存在点P，使ΔPOC为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣ 1a (a