2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训04不等式中的恒(能)成立问题(高效培优专项训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训04不等式中的恒(能)成立问题(高效培优专项训练)(学生版+解析)，共7页。试卷主要包含了给定参数范围的不等式恒成立问题等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc207485637" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc207485637 \h 2
\l "_Tc207485638" 题型一：一元二次不等式在上的恒成立问题 PAGEREF _Tc207485638 \h 2
\l "_Tc207485639" 题型二：一元二次不等式在上的有解问题 PAGEREF _Tc207485639 \h 4
\l "_Tc207485640" 题型三：一元二次不等式在区间上的恒成立问题 PAGEREF _Tc207485640 \h 5
\l "_Tc207485641" 题型四：一元二次不等式在区间上的有解问题 PAGEREF _Tc207485641 \h 7
\l "_Tc207485642" 题型五：给定参数的一元二次不等式恒成立问题 PAGEREF _Tc207485642 \h 9
\l "_Tc207485643" 题型六：基本不等式中的恒成立问题 PAGEREF _Tc207485643 \h 11
\l "_Tc207485644" 题型七：基本不等式中的有解问题 PAGEREF _Tc207485644 \h 13
\l "_Tc207485645" 题型八：双变量的恒成立和有解问题 PAGEREF _Tc207485645 \h 15
\l "_Tc207485646" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc207485646 \h 17
\l "_Tc207485647" 巩固过关 PAGEREF _Tc207485647 \h 17
\l "_Tc207485648" 创新提升 PAGEREF _Tc207485648 \h 24
一、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题
1、对任意实数，不等式恒成立⇔或
2、对任意实数，不等式恒成立⇔或
二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题
方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；
方法二：转化为函数值域问题，即已知函数的值域为，则恒成立⇒，即；恒成立⇒，即.
三、给定参数范围的不等式恒成立问题
解决给定参数范围的不等式恒成立问题，关键是明确“主元”与“参数”的选择：通常以已知范围的量作为主元，以需求解范围的量作为参数，通过交换变元与参数的位置，将原不等式构造成以参数为变量的函数。
接着根据主元的取值范围，分析该函数的单调性或最值情况，列出关于参数的不等式（组）——若函数在主元取值范围内恒正（或恒负），则可通过端点值或最值满足的条件建立关系式。
最后求解不等式（组），得到参数的取值范围，过程中需注意结合函数性质准确判断不等关系方向，确保逻辑严谨。
四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法
不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：
1、对任意的，恒成立⇒；
若存在，有解⇒；
若对任意，无解⇒.
2、对任意的，恒成立⇒；
若存在，有解⇒；
若对任意，无解⇒.
题型一：一元二次不等式在上的恒成立问题
典例1-1．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 .
典例1-2．（多选）对R上定义运算；.若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的（ ）
A．最小值是B．最小值是
C．最大值是D．最大值是2
变式1-1．若函数的定义域为，则实数取值范围是 .
变式1-2．已知二次函数满足：且，则 .
题型二：一元二次不等式在上的有解问题
典例2-1．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式2-1．（多选）已知命题，的否定是真命题，则命题成立的一个充分条件可以是（ ）
A．B．C．D．
变式2-2．若，满足不等式，求实数的取值范围 .
题型三：一元二次不等式在区间上的恒成立问题
典例3-1．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
典例3-2．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式3-1．，恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．3C．D．6
变式3-2．已知对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
题型四：一元二次不等式在区间上的有解问题
典例4-1．若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
典例4-2．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ．
变式4-1．若存在，使，则的取值集合是（ ）
A．B．
C．D．
变式4-2．我们定义关于x的不等式，为“飞升不等式”．
(1)当时，求“飞升不等式”的解集；
(2)若存在，使“飞升不等式”成立，求实数a的取值范围．
题型五：给定参数的一元二次不等式恒成立问题
典例5-1．当时，有解，则实数的取值范围是 .
典例5-2．若不等式对满足的所有都成立，求的范围.
变式5-1．不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式5-2．已知时，不等式恒成立，求的取值范围.
题型六：基本不等式中的恒成立问题
典例6-1．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．，或
C．D．，或
典例6-2．若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
变式6-1．不等式对于恒成立，则m的取值范围 .
变式6-2．已知实数且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
题型七：基本不等式中的有解问题
典例7-1．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
典例7-2．已知正实数x，y，满足．若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是 （用区间表示）
变式7-1．若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式7-2．若关于的方程有解，则的取值范围为 .
题型八：双变量的恒成立和有解问题
典例8-1．已知函数，若对任意，存在，使，则实数a的最大值为（ ）
A．6B．4C．3D．2
典例8-2．已知实数，函数，若对任意，总存在，使得，则a的最大值为 .
变式8-1．设二次函数，若存在实数，对任意，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式8-2．常数，函数
若，存在，对任意，恒成立，求的最小值.
巩固过关
1．若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．，使得关于的不等式 有解，则实数的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
3．已知函数的定义域为，则m的取值范围是 .
4．（1）设函数的最大值是，若对于任意的恒成立，则的取值范围是 ；
（2）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是 .
5．已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是 .
6．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．若两个正实数x，y满足，且存在，使不等式有解，则实数k的取值范围为 ．
8．已知命题：方程有实数根，命题：在时恒成立.若与至少有一个为假命题，求实数的取值范围.
9．已知二次函数的图象与轴交于，两点，顶点为，在中，边上的高为，且．
(1)求的值；
(2)若对任意，总存在，使不等式成立，求的取值范围．
10．已知：，求：
(1)的最小值；
(2)，恒成立，求实数的取值范围.
11．已知函数，不等式的解集是.
(1)求的解析式；
(2)若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围.
创新提升
1．已知不等式，的解集为，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
2．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ．
3．已知函数
(1)当时，解不等式；
(2)若任意，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围．
4．已知函数．
(1)若方程的两根分别是，满足，求实数的值；
(2)若对，都存在，使得对任意恒成立，求实数的取值范围．
重难点专训04 不等式中的恒（能）成立问题
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc207485636" 解题方法及技巧提炼 PAGEREF _Tc207485636 \h 1
\l "_Tc207485637" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc207485637 \h 2
\l "_Tc207485638" 题型一：一元二次不等式在上的恒成立问题 PAGEREF _Tc207485638 \h 2
\l "_Tc207485639" 题型二：一元二次不等式在上的有解问题 PAGEREF _Tc207485639 \h 4
\l "_Tc207485640" 题型三：一元二次不等式在区间上的恒成立问题 PAGEREF _Tc207485640 \h 5
\l "_Tc207485641" 题型四：一元二次不等式在区间上的有解问题 PAGEREF _Tc207485641 \h 7
\l "_Tc207485642" 题型五：给定参数的一元二次不等式恒成立问题 PAGEREF _Tc207485642 \h 9
\l "_Tc207485643" 题型六：基本不等式中的恒成立问题 PAGEREF _Tc207485643 \h 11
\l "_Tc207485644" 题型七：基本不等式中的有解问题 PAGEREF _Tc207485644 \h 13
\l "_Tc207485645" 题型八：双变量的恒成立和有解问题 PAGEREF _Tc207485645 \h 15
\l "_Tc207485646" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc207485646 \h 17
\l "_Tc207485647" 巩固过关 PAGEREF _Tc207485647 \h 17
\l "_Tc207485648" 创新提升 PAGEREF _Tc207485648 \h 24
一、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题
1、对任意实数，不等式恒成立⇔或
2、对任意实数，不等式恒成立⇔或
二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题
方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；
方法二：转化为函数值域问题，即已知函数的值域为，则恒成立⇒，即；恒成立⇒，即.
三、给定参数范围的不等式恒成立问题
解决给定参数范围的不等式恒成立问题，关键是明确“主元”与“参数”的选择：通常以已知范围的量作为主元，以需求解范围的量作为参数，通过交换变元与参数的位置，将原不等式构造成以参数为变量的函数。
接着根据主元的取值范围，分析该函数的单调性或最值情况，列出关于参数的不等式（组）——若函数在主元取值范围内恒正（或恒负），则可通过端点值或最值满足的条件建立关系式。
最后求解不等式（组），得到参数的取值范围，过程中需注意结合函数性质准确判断不等关系方向，确保逻辑严谨。
四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法
不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：
1、对任意的，恒成立⇒；
若存在，有解⇒；
若对任意，无解⇒.
2、对任意的，恒成立⇒；
若存在，有解⇒；
若对任意，无解⇒.
题型一：一元二次不等式在上的恒成立问题
典例1-1．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】当时，原不等式为，此不等式对一切实数都成立；
当时，，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
典例1-2．（多选）对R上定义运算；.若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的（ ）
A．最小值是B．最小值是
C．最大值是D．最大值是2
【答案】AC
【详解】由题意可得，
所以对任意实数x恒成立，
即对任意实数x恒成立，
因为，
所以对任意实数x恒成立，
所以，解得，
所以实数的最大值为，最小值为.
故选：AC
变式1-1．若函数的定义域为，则实数取值范围是 .
【答案】
【详解】函数的定义域为，则恒成立，
当时显然不成立；
当时，则恒成立，
当时，，解得.
综上所述：实数取值范围是.
故答案为：.
变式1-2．已知二次函数满足：且，则 .
【答案】25
【详解】设二次函数，由可得：，
又由，
则有，
把代入得：，
则，，
即有，
又由可得：，即，
所以有，，满足，
则有，所以有，
故答案为：25
题型二：一元二次不等式在上的有解问题
典例2-1．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意，
当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意，
当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则，解得，
综上可得，
故选：A
变式2-1．（多选）已知命题，的否定是真命题，则命题成立的一个充分条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【详解】由题意，命题的否定为命题：，，
当时，则，解得，此时命题为真；
当时，函数为开口向下的二次函数，显然命题为真；
当时，函数为开口向上的二次函数，
令，解得，根据二次函数的性质，此时命题为真.
综上可知，当时，命题为真.
根据题意，结合充分条件的定义，知命题成立的一个充分条件应为的子集，
而ABD三个选项中的范围是的子集.
故选：ABD.
变式2-2．若，满足不等式，求实数的取值范围 .
【答案】或
【详解】因为，满足不等式，即有解，
当时，不等式可化为，显然有解，满足题意；
当时，则，解得或；
当时，由二次函数的性质可知必有解，
综上，或.
故答案为：或.
题型三：一元二次不等式在区间上的恒成立问题
典例3-1．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】若命题“，”为真命题，
则，恒成立.
令，
则函数在上单调递减，在上单调递增，且，
所以在当时，取得最大值6，可得，
所以各选项中只有是是的一个充分不必要条件，
即是“，”为真命题的一个充分不必要条件.
故选:D.
典例3-2．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】①当时，不等式化为，显然恒成立，满足题意；
②当时，令，则在上恒成立，
函数的对称轴为，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则有，解得；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
则有，解得.
综上可知，的取值范围是.
故选：A.
变式3-1．，恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．3C．D．6
【答案】C
【详解】，恒成立，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，则实数的最大值为.
故选：C
变式3-2．已知对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】
【详解】因为，所以对任意恒成立．
令，，则在上恒成立．
令，此为二次函数的动轴定区间问题，分类讨论如下．
①当时，，得，所以；
②当时，，得，所以；
③当时，，得，不符合，舍去．
综上，．
题型四：一元二次不等式在区间上的有解问题
典例4-1．若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为“，”为假命题，
所以“，”为真命题，
则在区间上有解，
设，则的图象开口向上，对称轴为，
且，则当时，函数取得最大值为，
所以，即的取值范围是.
故选：C.
典例4-2．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解法一 、令，
①当时，在上单调递减，所以，此时满足条件．
②当时，的图象的对称轴方程为，
若，则在上单调递减，则只需满足，得；
若，则，且时已满足条件．
综上，实数的取值范围为．
解法二、时，，由得，
则在上有解．
令，则当时，；
当时，，
又在单调递增，所以，即，
故实数的取值范围为．
故答案为：.
变式4-1．若存在，使，则的取值集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】命题存在，使的否定为，使，
若，使为真，
则，所以，
故若存在，使则，
所以的取值集合是.
故选：A.
变式4-2．我们定义关于x的不等式，为“飞升不等式”．
(1)当时，求“飞升不等式”的解集；
(2)若存在，使“飞升不等式”成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以不等式即为，即，
于是，所以，故“飞升不等式”的解集为．
（2）不等式对有解，即不等式对有解，
而，
又时，不存在，使得,不合题意，故．
题型五：给定参数的一元二次不等式恒成立问题
典例5-1．当时，有解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】当时，有解，
即在上有解，
因为，所以一次函数单调递增，
所以只需即可，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
典例5-2．若不等式对满足的所有都成立，求的范围.
【答案】
【详解】改变主元，将视为主变元，将原不等式化为，
令，则当时，恒成立，
只需，即，
解得，得，
故这个不等式组得的取值范围是.
变式5-1．不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】令，对一切均大于0恒成立，
所以 ，或，
或，
解得或，，或，
综上，实数的取值范围是，或.
故选：A.
变式5-2．（1）已知时，不等式恒成立，求的取值范围.
（2）已知存在，使不等式成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由题意，因为当，不等式恒成立，
可转化为关于的函数，，
则对任意恒成立，
则满足，
解得，
即的取值范围为．
（2）令，，
因为存在，使不等式成立，
所以存在，使不等式成立，
函数开口向上，对称轴为，
当，即时，，解得，所以；
当，即时，，不符合题意；
当，即时，，解得或，
所以，
综上可得，即的取值范围为.
题型六：基本不等式中的恒成立问题
典例6-1．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．，或
C．D．，或
【答案】A
【详解】，
，当且仅当时等号成立，
恒成立，，
解得.
故选：A.
典例6-2．若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【详解】∵，则，
原题意等价于对任意恒成立，
由，，则，
可得，
当且仅当，即时取得等号，
∴，解得．
故正实数的取值集合为.
故选：A．
变式6-1．不等式对于恒成立，则m的取值范围 .
【答案】
【详解】因为不等式对于恒成立，
所以不等式对于恒成立，
所以不等式对于恒成立，
所以不等式对于恒成立，
而当时，，等号成立当且仅当，
所以当时，有最小值3，
则m的取值范围为.
故答案为：.
变式6-2．已知实数且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【详解】因为，，且，
所以
，当且仅当，即时等号成立，
所以，即，解得，
所以整数可取、，共个.
故选：A
题型七：基本不等式中的有解问题
典例7-1．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】因为，，所以，
当且仅当，即时，取等号，
又不等式有解，所以，解得或，
故选：D.
典例7-2．已知正实数x，y，满足．若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是 （用区间表示）
【答案】
【详解】由得：，则，
∴

，
当且仅当，即，时，等号成立﹒
∴，解得：或．
故答案为：
变式7-1．若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由，可得，
所以
，
当且仅当，即时等号成立.
所以，解得或，
故选：C
变式7-2．若关于的方程有解，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】方程转化为，
当时，方程为，
当，，
即方程有解，又，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数，所以k的取值范围为.
故答案为：.
题型八：双变量的恒成立和有解问题
典例8-1．已知函数，若对任意，存在，使，则实数a的最大值为（ ）
A．6B．4C．3D．2
【答案】A
【详解】当
由题意可知，在上恒成立
即在上恒成立
因为（当且仅当时，取等号），所以
故实数a的最大值为
故选：A
典例8-2．已知实数，函数，若对任意，总存在，使得，则a的最大值为 .
【答案】
【详解】由题意，对任意，总存在，使得，
等价于在成立，
根据函数在上为单调递减函数，所以，
即，即，
当时，可得；当时，可得，
所以当时，化简，
又由，当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以，即，即，所以a的最大值.
故答案为：.
【点睛】方法点拨：
把对任意，总存在，使得，转化为在成立，结合函数的性质和基本不等式分别求得函数的最小值是解答的关键.
变式8-1．设二次函数，若存在实数，对任意，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，对于任意，都有成立，
所以即对于任意恒成立，
所以只需的最大值与最小值的差小于2即可，
当时，在上单调递减，
则，解得，不合题意；
当时，在上单调递增，
则，所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，所以，
综上，.
故选：D.
变式8-2．常数，函数
若，存在，对任意，恒成立，求的最小值.
【详解】因为时，恒成立，
等价于对恒成立，
即存在实数m，使得对恒成立，
可知，
当时，由在内单调递减，
当时，，当时，，
则，解得，
所以的最小值为.
巩固过关
1．若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意；
，命题“”为真命题，
当时，对于抛物线，开口向下，
显然在有解，符合题意；
当时，对于抛物线，开口向上，
只需，解得或，
又，所以或，
综上，实数的取值范围是或，即.
故选：D
2．，使得关于的不等式 有解，则实数的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，使得关于的不等式有解，
即，不等式，
则只需要即可，
由双勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
所以，所以，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
3．已知函数的定义域为，则m的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为的定义域为，所以恒成立，
则，解得，
所以m的取值范围是.
故答案为：.
4．（1）设函数的最大值是，若对于任意的恒成立，则的取值范围是 ；
（2）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】（1）当时，.当时，（当且仅当时取等号），则，即.
由题意知在时恒成立.
方法一 分离参数得在时恒成立，
故�� 需小于等于函数在区间上的下确界.
，故当时，，
所以.
方法二 在时恒成立（*）.
令，则问题（*）等价于在上恒成立，函数的图象的对称轴为直线，且开口向上，
所以在上，，所以，即.
（2）不等式对满足的所有都成立，则对任意的，恒成立，令，则即解得.
故答案为：；
5．已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是 .
【答案】
【详解】因为，所以当时，；当时.
要使关于的不等式在时恒成立，需两因式同号在时恒成立.
则当时，；当时，；
所以当时，，
所以，即，
所以，当且仅当，即时取等号，
即的最小值为.
故答案为：.
6．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】关于的不等式在上恒成立，
即，
因为，所以．
解法一：（基本不等式）
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，解得．
解法二 ：（柯西不等式）
，
当且仅当，即时等号成立．
（柯西不等式：，当且仅当时等号成立）
所以，解得.
故选：D．
7．若两个正实数x，y满足，且存在，使不等式有解，则实数k的取值范围为 ．
【答案】
【详解】依题意可得，存在，使不等式有解，
设，
，
当时，即时取等号.
所以.
所以，即，解得或.
实数k的取值范围为.
故答案为：.
8．已知命题：方程有实数根，命题：在时恒成立.若与至少有一个为假命题，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】当命题为真时，，得或.
则当命题为假时，.
当命题为真时，令，
则，得，则当命题为假时，.
与至少有一个为假，即与一真一假或同假.
当真假时，或；
当假真时，无解；当假假时，.
综上得.
9．已知二次函数的图象与轴交于，两点，顶点为，在中，边上的高为，且．
(1)求的值；
(2)若对任意，总存在，使不等式成立，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）令，得或，所以．
因为，所以．
由，得，得或，
又，所以．
（2）由（1）得，得，得．
因为对任意，总存在，使不等式成立，
所以，所以关于的不等式在上恒成立．
令，图象的对称轴为直线．
当，即时，，得，所以．
当，即时，，所以.
综上所述，的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：第二问，将问题转化为不等式在上恒成立，结合二次函数性质求参数范围.
10．已知：，求：
(1)的最小值；
(2)，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
，当且仅当时等号成立，
，
或（舍去），
则的最小值为4.
（2），
当且仅当，即时等号成立，
即，
∴
11．已知函数，不等式的解集是.
(1)求的解析式；
(2)若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为不等式的解集是
所以0，5是方程的两个实数根，
可得.
所以.
（2）由，得，即.
令，
由题可知有解，即即可.
当时，，显然不合题意.
当时，图象的对称轴为直线.
①当时，在上单调递减，
所以，解得；
②当时，在上单调递增，
所以，解得.
综上，的取值范围是.
创新提升
1．已知不等式，的解集为，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为不等式，的解集为，
所以是方程，的两根，
所以，且，
所以，当且仅当时，等号成立，
而不等式可化为，
所以，
则在上恒成立，即，
因为，
当且仅当时，即，等号成立，
所以，此时，，满足题意，
所以的取值范围是.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用参变分离法将问题化为求的最值问题，从而得解.
2．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ．
【答案】
【详解】由题意得，，整理得．
设，则，
再设，则
，当且仅当，即时等号成立，
此时，所以，即实数的最小值为．
故答案为：.
3．已知函数
(1)当时，解不等式；
(2)若任意，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)R．
(2)
(3)．
【详解】（1）当时，，
所以，即，
所以的解集为R．
（2）若对任意，都有成立，即在恒成立，
解法一：设，对称轴，
由题意，只须，
①当即时，在上单调递增，
所以，符合题意，所以；
②当即时，在上单调递减，在单调递增，
所以，解得且，
所以．
综上，．
解法二：不等式可化为，即，
设，
由题意，只须，
当且仅当即时等号成立，则，
所以，即．
（3）若对任意，存在，使得不等式成立，
即只需满足，
，对称轴在上递减，在上递增，
所以；
，对称轴，
①即时，在递增，
所以恒成立；
②即时，在递减，在递增，
，
所以，故；
③即时，在递减，，
所以，解得.
综上：．
4．已知函数．
(1)若方程的两根分别是，满足，求实数的值；
(2)若对，都存在，使得对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若方程的两根分别是，得，得
又由韦达定理得，
因为
所以
所以，
解得；
（2）若对，都存在，使得对任意恒成立，
则对任意恒成立，
对于，，，
对称轴，
则，
对于，，
又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以在时恒成立，
所以
又，当取最小值，且最小值为
所以，
解得.