2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训05导数中的“距离”问题(高效培优专项训练)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训05导数中的“距离”问题(高效培优专项训练)(原卷版+解析)，共37页。试卷主要包含了核心解题思想，常见题型与方法步骤等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc208180981" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc208180981 \h 2
\l "_Tc208180982" 题型一：点与曲线的距离 PAGEREF _Tc208180982 \h 2
\l "_Tc208180983" 题型二：直线与曲线的距离 PAGEREF _Tc208180983 \h 5
\l "_Tc208180984" 题型三：曲线与曲线的距离 PAGEREF _Tc208180984 \h 6
\l "_Tc208180985" 题型四：曲线与圆的距离 PAGEREF _Tc208180985 \h 9
\l "_Tc208180986" 题型五：水平距离 PAGEREF _Tc208180986 \h 13
\l "_Tc208180987" 题型六：竖直距离 PAGEREF _Tc208180987 \h 15
\l "_Tc208180988" 题型七：与反函数有关的距离 PAGEREF _Tc208180988 \h 18
\l "_Tc208180989" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc208180989 \h 21
\l "_Tc208180990" 巩固过关 PAGEREF _Tc208180990 \h 21
\l "_Tc208180991" 创新提升 PAGEREF _Tc208180991 \h 26
一、核心解题思想
利用数形结合与化归转化思想，将距离问题转化为函数最值问题，通过导数分析函数单调性，进而求解距离的极值或最值。关键在于构造含距离的可导函数，借助导数的几何意义（如切线斜率）简化计算。
二、常见题型与方法步骤
题型1：曲线到直线的距离最值
适用场景：求曲线上动点到定直线的最短（长）距离。 核心方法：平行切线法转化距离表达式：
（1）设曲线上任意一点为，根据点到直线距离公式，构造距离函数。
（2）简化计算：因距离非负，可构造距离平方函数，可避免根号求导。
（3）求切点坐标：令曲线在该点的切线斜率等于直线斜率（即，解得切点横坐标。计算最值：
（4）将切点代入距离公式，得最小（大）距离。
题型2：两点间距离最值
适用场景：两动点分别在两条曲线（或直线与曲线）上，求距离最值。
分情况处理：单曲线内两点：设两点坐标，构造距离函数，求导分析单调性。
两不同曲线：若曲线对称（如互为反函数，关于对称），转化为单曲线到对称轴距离的2倍。
含参数方程曲线：若曲线为参数形式，则距离函数为参数的函数，直接对求导找极值点。
题型3：隐函数与距离问题
适用场景：曲线由隐函数确定，求动点到直线/点的距离最值。
关键步骤：用隐函数求导法（两边对求导）得切线斜率。结合题型1或2的方法，通过斜率关系找切点，计算距离。
题型一：点与曲线的距离
典例1-1．设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（ ）
A．B．C．D．
典例1-2．若点与曲线上点距离最小值为，则实数为 .
变式1-1．已知二次函数，定点，求函数图象上动点到定点的最小距离．
变式1-2．函数的最大值为，
(1)求的值．
(2)，P为上的动点，到P的最小距离，求的取值范围．
题型二：直线与曲线的距离
典例2-1．设点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（ ）
A．B．C．D．
典例2-2．点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．B．C．D．
变式2-1．设点是曲线上的任意一点，则到直线的最小距离是 ．
变式2-2．设点是曲线上任意一点，且到直线的最小距离为，若，且有，则=（ ）
A．2B．C．D．3
题型三：曲线与曲线的距离
典例3-1．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为
A．B．C．D．
典例3-2．记曲线关于直线的对称曲线为，则上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为 ．
变式3-1．实数满足：，则的最小值为
变式3-2．如图所示，动点P，Q分别在函数，上运动，则的最小值为 ．
题型四：曲线与圆的距离
典例4-1．在同一平面直角坐标系中，分别是函数和函数图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数的最大值为 .
典例4-2．对于平面曲线S上任意一点P和曲线T上任意一点Q，称的最小值为曲线S与曲线T的距离.已知曲线和曲线，则曲线S与曲线T的距离为（ ）
A．B．C．D．2
变式4-1．已知且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．8
变式4-2．已知为函数图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为 ．
题型五：水平距离
典例5-1．已知直线分别与曲线和曲线交于两点，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
典例5-2．已知函数与直线交于，两点，则所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
变式5-1．（多选）若直线与两个函数的图象分别交于点，则（ ）
A．取得最小值时，
B．取得最大值时，
C．的最小值在区间内
D．的最大值在区间内
变式5-2．已知函数，若直线与和的图象分别交于点，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
题型六：竖直距离
典例6-1．设函数，，直线与、的图像分别交于点、，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
典例6-2．已知为坐标原点，直线与函数的图象分别交于两点，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式6-1．已知，，与y轴平行的直线l与和的图象分别交于A，B两点，则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
变式6-2．已知O为坐标原点，直线与函数的图象分别交于M，N两点，则面积的最大值为 ．
题型七：与反函数有关的距离
典例7-1．已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时， ，最小值为 ．
典例7-2．已知，点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
变式7-1．已知点，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为 .
变式7-2．已知点，，定义为的“镜像距离”，若点在曲线上，则的“镜像距离”的最小值为 .
巩固过关
1．已知是函数图象上的点，则到直线的最小距离为 ．
2．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
3．若，分别是函数与圆上的点，则的最小值为 ．
4．已知直线分别与函数和的图象交于点A，B，则的最小值为 .
5．函数，的图象与直线分别交于，两点，则的最小值为（ ）
A．1B．C．3D．2
6．已知直线与曲线，分别交于点，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．e
7．已知函数，直线，点是曲线上任意一点，点是直线上任意一点.设点间的距离为，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为
8．已知是函数图象上任意一点．若点的坐标满足：，则的最小值为 ．
9．已知，对于两点，称为，间的“镜像距离”，点，都在曲线上，且的最小值是，则a的值为 .
创新提升
1．在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数和图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数m的最大值为 ．
2．存在实数x，使得成立.则的最小值为 .
3．设，，则的最小值为 ．
4．曲线，过直线上的动点作曲线的两条切线，切点分别为，则原点到直线的距离的最大值为 ．
重难点专训05 导数中的“距离”问题
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc208180980" 解题方法及技巧提炼 PAGEREF _Tc208180980 \h 1
\l "_Tc208180981" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc208180981 \h 2
\l "_Tc208180982" 题型一：点与曲线的距离 PAGEREF _Tc208180982 \h 2
\l "_Tc208180983" 题型二：直线与曲线的距离 PAGEREF _Tc208180983 \h 5
\l "_Tc208180984" 题型三：曲线与曲线的距离 PAGEREF _Tc208180984 \h 6
\l "_Tc208180985" 题型四：曲线与圆的距离 PAGEREF _Tc208180985 \h 9
\l "_Tc208180986" 题型五：水平距离 PAGEREF _Tc208180986 \h 13
\l "_Tc208180987" 题型六：竖直距离 PAGEREF _Tc208180987 \h 15
\l "_Tc208180988" 题型七：与反函数有关的距离 PAGEREF _Tc208180988 \h 18
\l "_Tc208180989" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc208180989 \h 21
\l "_Tc208180990" 巩固过关 PAGEREF _Tc208180990 \h 21
\l "_Tc208180991" 创新提升 PAGEREF _Tc208180991 \h 26
一、核心解题思想
利用数形结合与化归转化思想，将距离问题转化为函数最值问题，通过导数分析函数单调性，进而求解距离的极值或最值。关键在于构造含距离的可导函数，借助导数的几何意义（如切线斜率）简化计算。
二、常见题型与方法步骤
题型1：曲线到直线的距离最值
适用场景：求曲线上动点到定直线的最短（长）距离。 核心方法：平行切线法转化距离表达式：
（1）设曲线上任意一点为，根据点到直线距离公式，构造距离函数。
（2）简化计算：因距离非负，可构造距离平方函数，可避免根号求导。
（3）求切点坐标：令曲线在该点的切线斜率等于直线斜率（即，解得切点横坐标。计算最值：
（4）将切点代入距离公式，得最小（大）距离。
题型2：两点间距离最值
适用场景：两动点分别在两条曲线（或直线与曲线）上，求距离最值。
分情况处理：单曲线内两点：设两点坐标，构造距离函数，求导分析单调性。
两不同曲线：若曲线对称（如互为反函数，关于对称），转化为单曲线到对称轴距离的2倍。
含参数方程曲线：若曲线为参数形式，则距离函数为参数的函数，直接对求导找极值点。
题型3：隐函数与距离问题
适用场景：曲线由隐函数确定，求动点到直线/点的距离最值。
关键步骤：用隐函数求导法（两边对求导）得切线斜率。结合题型1或2的方法，通过斜率关系找切点，计算距离。
题型一：点与曲线的距离
典例1-1．设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设，则，记，
，易知是增函数，且的值域是，
∴的唯一解，且时，，时，，即，
由题意，而，，
∴，解得，．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查导数的应用，考查用导数求最值．解题时对和的关系的处理是解题关键．
典例1-2．若点与曲线上点距离最小值为，则实数为 .
【答案】
【详解】设点的坐标为，对函数求导得，
由题意可知，直线与曲线在点处的切线垂直，则，
得，
由两点间的距离公式得，
由于的最小值为，即，，解得，
因此，.
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据题意，直线与曲线在点处的切线垂直，则，得到，进而得到，即可求出m，进而求出，属于中档题
变式1-1．已知二次函数，定点，求函数图象上动点到定点的最小距离．
【答案】.
【详解】设点，则，
．
解得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以有两个极小值点，
．
，
所以有最小值，故函数图象上动点到定点的最小距离为.
变式1-2．函数的最大值为，
(1)求的值．
(2)，P为上的动点，到P的最小距离，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）法一：，
当时，恒成立，所以函数无最值，舍去，
当时，令，
当单调递减；当单调递增，
故的最大值为．
（2），
因为此函数是上凸的，当P点的法线过A时AP最小．
如图
设，则有，即，
，
所以，，
因为单调递增，所以.
题型二：直线与曲线的距离
典例2-1．设点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】当点到直线的距离最小时，曲线在点处的切线平行于，
设此时，，，则此时点处的切线斜率，
因为，所以，解得，，，
综上，当点坐标为时，点到直线的距离最小，
最小距离为.
故选：B.
典例2-2．点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意可知，把直线平移到与曲线首次相切时，切点到直线的距离最小，
求导得，令，解得或（舍去），
当时，，即，
由点到直线的距离公式可求得点到直线的距离为.
故选：C.
变式2-1．设点是曲线上的任意一点，则到直线的最小距离是 ．
【答案】
【详解】由题意得在点的切线与直线平行
设曲线上与直线平行的切线的切点，
由的斜率为，
则由，解得，故切点为
切点到的距离．
故答案为：
变式2-2．设点是曲线上任意一点，且到直线的最小距离为，若，且有，则=（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】C
【详解】已知函数定义域是，
由得，由，解得或（舍去）时，，切点坐标为，
所以，
又，，
所以．
故选：C．
题型三：曲线与曲线的距离
典例3-1．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】如图所示：与直线相交于，关于的对称点在上.
则
设，则，
故在上单调递减，在上单调递增，，
故恒成立，即恒成立.
的导函数，的导函数，
当两条切线与平行时，都有，到直线的距离为.
故，当，时等号成立.
故选：.
【点睛】本题考查了利用导数研究距离的最值，意在考查学生的综合应用能力.
典例3-2．记曲线关于直线的对称曲线为，则上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为 ．
【答案】/
【详解】因为，所以与没有公共点，
则上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为上任意一点与上任意一点之间距离最小值的2倍．
设为上的一点，
因，则过点的切线斜率为，
令，则，
故是递增函数，且当时，，
则存在唯一解，此时过点的切线与平行，
所以上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为点到直线的距离，
即，
所以上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为．
故答案为：.
变式3-1．实数满足：，则的最小值为
【答案】/4.5
【详解】由题设可得，，
故，
设，，则，
即函数的图象的点与直线上的点的连线段的平方，
而，令，则，此时对应的函数值为1，
故函数的图象在处的切线为，
的最小值即为平行线，之间的距离，
此距离为，故的最小值为，
故答案为：
变式3-2．如图所示，动点P，Q分别在函数，上运动，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】如题图，两个函数都是定义域上的单调递增函数，又，在定义域上分别单调递增、单调递减，所以函数递增的速度由慢到快，递增的速度由快到慢，设动点，，当且仅当满足：时，取得最小值，由图象的示意图不难发现，该方程组有唯一一组解：，，所以，，所以的最小值为．
故答案为：.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
题型四：曲线与圆的距离
典例4-1．在同一平面直角坐标系中，分别是函数和函数图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数的最大值为 .
【答案】
【详解】由，整理得，
即在圆心，半径为1的半圆上.
，
令，则，又，
所以，当时，，则为单调递增，
当时，，则为单调递减，
综上可知，在处取得极大值，也是最大值，即，
于是，即，
当且仅当时，等号成立，
所以曲线的一条切线为，
数形结合可知，当分别为对应切点，且与两切线垂直时取得最小值，
即的最小值为圆心到直线的距离减去半径，
即的最小值为.
过圆心与垂直的直线方程，
所以，当且仅当即时取到最小值.
综上所述，，而恒成立，
所以，则的最大值为.
故答案为：.
【点睛】1.利用导数求取值范围时，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题变型得到，从而构造进行求解.
2.在求圆上的动点到另一个曲线上的动点距离最值问题时，通常转化为圆心到曲线上的动点距离最值问题，进而进行求解.
典例4-2．对于平面曲线S上任意一点P和曲线T上任意一点Q，称的最小值为曲线S与曲线T的距离.已知曲线和曲线，则曲线S与曲线T的距离为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【详解】解：由题意得：
设
则
根据柯西不等式：
于是
于是
令，则
故
故
故选：A
变式4-1．已知且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．8
【答案】B
【详解】代数式
可以看成点到点距离的平方，点在平面直角坐标系中，表示单位圆上的点，
点表示曲线上的点，如下图所示：
，由，
所以曲线在点处的切线方程为：，
此时直线与直线垂直于点，交圆于点，
由数形结合思想可以确定：
当点运动到点时，当点运用到点时，有最小值，即，
故选：B
【点睛】关键点睛：利用数形结合思想进行求解是解题的关键.
变式4-2．已知为函数图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为 ．
【答案】
【详解】由圆的对称性可知，只需满足圆心（0，）到图象上一点的距离最小值
设图象上的一点为
则
即有切线斜率为
可得
,
设
,
递增
又
可得处点（e,1）到的距离最小，为
则线段长度的最小值为
【点睛】本题考查了利用导数研究点到曲线上距离最小值，理清题意，求出满足条件的结果，本题有一定的难度，属于中档题．
题型五：水平距离
典例5-1．已知直线分别与曲线和曲线交于两点，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【详解】因为直线分别与曲线和曲线交于两点，
所以点的坐标为，点的坐标为，
所以，
设，则，
因为函数在上都为增函数，
所以函数在为增函数，又，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故选：A.
典例5-2．已知函数与直线交于，两点，则所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】不妨设，
因为，
若，则，可得，
可知在内单调递增，且，
即与有且仅有一个交点，且交点横坐标在内；
若，则，可得，
当，；当，；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
即与有且仅有一个交点，且交点横坐标为0；
综上所述：，所以.
故选：B.
变式5-1．（多选）若直线与两个函数的图象分别交于点，则（ ）
A．取得最小值时，
B．取得最大值时，
C．的最小值在区间内
D．的最大值在区间内
【答案】AC
【详解】设，则，即，
则，
记，则，
令，则，
则在上单调递增，
因，
所以存在，使得，即，
则得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，
因时，，，则，
故没有最大值，且满足时，有最小值，
则AC正确，BD错误.
故选：AC.
变式5-2．已知函数，若直线与和的图象分别交于点，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【详解】设两点的横坐标分别为，
在上递增；在上递增，且，如图，

所以，且，则，
所以，
构造函数，则，
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以的最小值为，即的最小值为1．
故选：B．
题型六：竖直距离
典例6-1．设函数，，直线与、的图像分别交于点、，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：设，，则，
由可得，由可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
∴在处取得最小值.
故选：D.
典例6-2．已知为坐标原点，直线与函数的图象分别交于两点，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】作出的图象，在上单调递增，在上单调递减，
且，则当时，，设，
则，令，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，则，
所以面积的最大值为.
故选：A
变式6-1．已知，，与y轴平行的直线l与和的图象分别交于A，B两点，则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意设，，则，
令，
下证：，
设，，，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
记，则，所以在上为增函数，
又，，故存在，使得，
所以，即最小值为1.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键点有两个：
一是将距离问题翻译成绝对值问题，先研究绝对值内式子的范围，再加绝对值处理；
二是利用同构思想巧求函数的最值.
变式6-2．已知O为坐标原点，直线与函数的图象分别交于M，N两点，则面积的最大值为 ．
【答案】
【详解】函数在上单调递增，在上单调递减，
作出在上的图象，
因为，所以当时，，
设，则，
令，则，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
则，故面积的最大值为．
故答案为：.
题型七：与反函数有关的距离
典例7-1．已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时， ，最小值为 ．
【答案】
【详解】由可得，，即，
所以函数，互为反函数，图象关于直线对称，
因直线互相垂直，
所以问题可转化为求上点到直线距离的最小值的2倍，
因为，
令，
则，当时，，
当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，有最小值3，
此时，
故答案为：
典例7-2．已知，点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为函数与互为反函数，
所以与的图像关于直线对称，
所以的最小值为点Р到直线距离的最小值的两倍.
设P（，），则.
设，.
由得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，则的最小值是.
故选:D
变式7-1．已知点，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为 .
【答案】
【详解】由函数可得，即,
所以的反函数为,
由点在曲线上可知点在其反函数上，
所以相当于上的点到曲线上点的距离，
即，
利用反函数性质可得与关于对称，
所以可得当与垂直时，取得最小值为2，
因此两点到的距离都为1，
过点的切线平行于直线，斜率为1，即，
可得，即，
点到的距离，解得，
当时，与相交，不合题意；
因此，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用反函数性质将“镜像距离”问题转化为两函数图象上两点距离的最值问题，再由切线方程可解得参数值.
变式7-2．已知点，，定义为的“镜像距离”，若点在曲线上，则的“镜像距离”的最小值为 .
【答案】
【详解】设，，
易知函数的反函数为，
由点在曲线上可知点在函数上，
所以相当于上的点到曲线上点的距离，
又与的图象关于对称，所以的“镜像距离”的最小值为点到的距离的最小值的2倍.
由，得，令，解得，
又点到直线的距离，
所以的“镜像距离”的最小值为.
故答案为：
巩固过关
1．已知是函数图象上的点，则到直线的最小距离为 ．
【答案】
【详解】当点到直线的距离最小时，曲线在点处的切线与直线平行，
对函数求导得，令，可得，则，
此时，点的坐标为，因此，到直线的最小距离为.
故答案为：.
2．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【详解】
由圆的对称性可得只需考虑圆心到函数图象上一点的距离的最小值．
设图象上一点，令图象上一点的切线为
由的导数为，即切线的斜率为，
当时，圆心到函数图象上一点的距离最小，
此时，即有，
由，可得，递增，又，
所以，，
所以点到点的距离最小，且为，
则线段的长度的最小值为，
故选：A．
3．若，分别是函数与圆上的点，则的最小值为 ．
【答案】/
【详解】设圆的圆心为，半径为，
当垂直于抛物线在点处的切线时，取得最小值，为，如图所示，

设点，则直线的斜率为，且，
由知，，
所以在点处的切线的斜率为，
因为直线与切线垂直，所以，所以，
所以，即，
因为恒成立，所以，即，
此时，
所以，即的最小值为．
故答案为：．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将问题转化为点到函数上的点的最小值，利用数形结合即可得解.
4．已知直线分别与函数和的图象交于点A，B，则的最小值为 .
【答案】
【详解】当时，.
令，，
在上单调递减，在上单调递增，
则，
的最小值为.
故答案为：.
5．函数，的图象与直线分别交于，两点，则的最小值为（ ）
A．1B．C．3D．2
【答案】C
【详解】由题可得，，则，
设， 所以，
故，
令，得，此时单调递减，
令，得，此时单调递增，
所以，
则，则.
故选：C
6．已知直线与曲线，分别交于点，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．e
【答案】B
【详解】解：设与直线垂直，且与相切的直线为，
设与直线垂直，且与相切的直线为，
所以，，
设直线与的切点为，
因为，所以，解得，，即，
设直线与的切点为，
因为，所以，解得，，即，
此时，
所以，当直线与直线重合时，最小，最小值为.
故选：B
7．已知函数，直线，点是曲线上任意一点，点是直线上任意一点.设点间的距离为，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】D
【详解】由，令，且，
所以，则时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，故，
所以，即直线恒正上方，
由题设且，与直线平行且与相切的直线，
该直线与的切点到直线的距离，为的最小值，无最大值，又，
令，可得，则，故切点为，
所以最小.
故选：D
8．已知是函数图象上任意一点．若点的坐标满足：，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】易证，（）(后续提供证明)，
所以，，
由不等式的性质知，当且仅当时取等号，
结合已知可得，此时，即点在直线上运动.
设与平行的直线与相切于点，令得，
故切点为，由图知其到直线的距离，即为的最小值．
下证：，（）.
证明：设，则，
当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增.
故，即得证.
又设，则，当时，，
当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减.
故，即得证.
故答案为：.
9．已知，对于两点，称为，间的“镜像距离”，点，都在曲线上，且的最小值是，则a的值为 .
【答案】
【详解】因为函数与互为反函数，
所以与的图象关于直线对称，
因为点在函数的图象上，设，
所以在函数的图象上，
所以的最小值为点Р到直线距离的最小值的两倍.
设，，.
由得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
即，可化为：，
构造函数，求导，
当时，，所以在区间递增，
又因为，所以在区间内恒有；
当时，，所以在区间递减，
由于，所以可知在只有唯一零点，
即满足的解为：，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用反函数性质将“镜像距离”最小值问题转化为函数图象上点到直线距离的2倍问题，然后再用求导思想来求解.
创新提升
1．在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数和图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数m的最大值为 ．
【答案】
【详解】，令，，
则
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故在处取得极小值，也是最小值，故，
故，当且仅当时，等号成立，
令，，
则，
令，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，故当时，，当时，，
故时，，单调递减，当时，，单调递增，
故在处取得极小值，也时最小值，最小值为，
设，
由基本不等式得，
，
当且仅当，，时，等号成立，
故，则．
故答案为：
【点睛】导函数求解取值范围时，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题变形得到，从而构造进行求解.
2．存在实数x，使得成立.则的最小值为 .
【答案】
【详解】因，则.
可看成点在直线（为参数）.
易得原点不在直线上，则原点到距离为.
又点在直线上，
则到原点距离（问题为存在性问题）.
令，构造函数，，
则.
则在上单调递减，在上单调递增，则.
则，此时.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：对于指数函数，对数函数同时出现的题目，常见思路为恒等变形，使产生相同代数结构，从而化简问题.也可利用反函数相关知识，再利用数形结合思想解决问题.本题难点在于将与点到直线距离公式联系起来.
3．设，，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】由两点距离公式的几何意义可知表示点到的距离，表示点到的距离，
而是上的点，是上的点，是上的点，且与关于直线对称，
所以的最小值可转化为图像上的动点与图像上的动点最小距离，
显然，与平行的切线的切点，和与平行的切线的切点，它们之间的距离就是所求最小距离，
对于，设切点为，有，则，故，则，故，
对于，设切点为，有，则，故，则，故，
所以，所以题设式子的最小值为.
故答案为：.
4．曲线，过直线上的动点作曲线的两条切线，切点分别为，则原点到直线的距离的最大值为 ．
【答案】/
【详解】
如图，设，
依题意，抛物线在点处的切线斜率为，
故其方程为，整理得：，
同理，抛物线在点处的切线方程为，
因这两条切线都过点，故有，即，
由此可得点都满足方程，
即直线的方程为，
于是原点到直线的距离（*），
因点在直线上，故，
代入（*），整理得：，
当时，，不符合题意；当时，，
设，则得，
故当，即时，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：此题关键在于如何求得直线的方程，可先利用导数写出抛物线在点处的切线方程，根据切线都经过点的条件，运用同构思想，即得直线的方程.