2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训04圆锥曲线的轨迹问题探究(高效培优专项训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训04圆锥曲线的轨迹问题探究(高效培优专项训练)(学生版+解析)，共7页。试卷主要包含了直接法求轨迹方程，几何法求轨迹方程，相关点法求轨迹方程，定义法求轨迹方程，参数法求轨迹方程，点差法求轨迹方程，立体几何轨迹问题，未命名题型等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc25148" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc25148 \h 2
\l "_Tc12698" 题型一：直接法求轨迹方程 PAGEREF _Tc12698 \h 2
\l "_Tc4517" 题型二：几何法求轨迹方程 PAGEREF _Tc4517 \h 2
\l "_Tc28674" 题型三：相关点法求轨迹方程 PAGEREF _Tc28674 \h 4
\l "_Tc24221" 题型四：定义法求轨迹方程 PAGEREF _Tc24221 \h 4
\l "_Tc9767" 题型五：参数法求轨迹方程 PAGEREF _Tc9767 \h 5
\l "_Tc17446" 题型六：点差法求轨迹方程 PAGEREF _Tc17446 \h 6
\l "_Tc16452" 题型七：立体几何中的轨迹方程 PAGEREF _Tc16452 \h 6
\l "_Tc28106" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc28106 \h 6
\l "_Tc21261" 巩固过关 PAGEREF _Tc21261 \h 7
\l "_Tc8051" 创新提升 PAGEREF _Tc8051 \h 7
一、直接法求轨迹方程
先设动点坐标为；再根据题目中动点运动的几何等量关系（如距离、角度、斜率等），直接将几何条件转化为含的代数等式。
同时需注意等量关系中的隐含限制条件（如构成三角形需三点不共线、斜率存在需分母不为0等），对所得方程进行化简和范围约束，最终得到符合条件的动点轨迹方程。
二、几何法求轨迹方程
利用平面几何性质（如垂直平分线性质、角平分线性质、圆的性质），找到动点满足的几何等式，再转化为坐标方程，简化计算。
三、相关点法求轨迹方程
先明确动点与已知曲线（或可求轨迹的点）的 “相关关系”（即随运动）；
再根据几何条件，用表示出Q的坐标（即，）。
接着将代入Q所在的已知曲线方程，得到含的等式；最后化简该等式，并结合实际条件（如定义域）约束，即得动点P的轨迹方程。
四、定义法求轨迹方程
首先分析动点满足的几何条件，判断是否符合圆、椭圆、抛物线、双曲线等基本轨迹的定义（如椭圆定义：到两定点距离和为定值且大于定点间距）。
若直接匹配定义，可直接写出对应轨迹的标准方程；若需确定参数，设出标准方程形式，结合题目条件（如定点坐标、定值大小）用待定系数法求解参数，最后验证方程是否符合轨迹定义及题目限制。
五、参数法求轨迹方程
当直译法难以直接建立的关系，先选取合适的参数（如角度、斜率、距离等能引发动点运动的几何量）。
设动点坐标为，再分别建立与参数、与参数的函数关系式（即参数方程）。
最后通过代数运算消去参数，得到关于的普通方程，同时注意参数的取值范围对的约束。
六、点差法求轨迹方程
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题，可用点差法完成，基本方法是把弦的两端点，的坐标代入圆锥曲线方程,然而相减,利用平方差公式可得等关系式,由于弦的中点的坐标满足且直线的斜率为,由此可求得弦中点的轨迹方程.
七、立体几何轨迹问题
先明确动点满足的几何条件（如距离、角度、平行/垂直关系）；
再将空间条件转化为平面条件（如投影到某平面、利用截面法降维），判断是否符合圆、椭圆等平面轨迹定义；
或建立空间直角坐标系，用参数法求轨迹方程，最后结合空间约束确定轨迹形状。
题型一：直接法求轨迹方程
【例1】已知动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数.
求动点的轨迹；
【例2】已知中，，，动点满足.
求动点的轨迹的方程；
【变式1-1】已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线．
求的方程，并说明是什么曲线？
【变式1-2】（多选）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．动点的轨迹所围成的图形周长为
B．动点的轨迹所围成的图形面积为
C．动点离原点的最长距离为2
D．动点离原点的最短距离为
【变式1-3】在平面直角坐标系中，已知，，，满足，点与点可以重合，记点的轨迹为.
求曲线的方程；
题型二：几何法求轨迹方程
【例3】已知点是平面内的一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第二象限．若四边形（其中为原点）的面积为2，则动点的轨迹方程是 ．
【例4】已知圆C的圆心在直线上，并经过点，与直线相切．
(1)求圆C的方程；
(2)已知，动点到圆C的切线长等于的2倍，求出点的轨迹方程．
【变式2-1】在平面直角坐标系中，曲线在圆周上，且，中点为，则的轨迹方程为 ．
【变式2-2】已知平面直角坐标系中不同的三点，，，圆心在轴上的圆经过三点，设点的坐标为，则点的轨迹方程为 ．
【变式2-3】过圆外一点任意作一条割线交圆于、两点.
(1)若割线的方程为，求的值；
(2)求弦的中点的轨迹.
题型三：相关点法求轨迹方程
【例5】设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【例6】已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-1】已知是圆上的动点，点满足，记点的轨迹为，若圆与轨迹的公共弦所在直线的方程为，则 ．
【变式3-2】点P是圆上一动点，直线，，Q为垂足，M是中点，求M的轨迹方程，并指出它是什么图形．
【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，点在线段的延长线上，且，，则点的轨迹方程为 ．

题型四：定义法求轨迹方程
【例7】已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【例8】已知圆，，过的直线与圆交于两点，过作的平行线交直线于点，则点的轨迹方程为 ．
【变式4-1】若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（多选）一动圆与都相切，则动圆圆心的轨迹方程可能情形是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-3】已知平面上一半径小于4的动圆与定圆相内切，且过定点．
求动圆圆心的轨迹方程．
题型五：参数法求轨迹方程
【例9】坐标平面上的点，将点绕原点逆时针旋转后得到点．这个过程称为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【例10】已知抛物线：焦点为，过向第一象限作射线，过点作的切线，切点为，且，则点的轨迹是 的一部分（选填：直线，圆，椭圆，抛物线，双曲线）.
【变式5-1】设圆的圆心为A，直线l过点，F是圆A上的任意一点，线段BF的垂直平分线与AF交于E点.求出点E的轨迹方程；
【变式5-2】设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ．
【变式5-3】已知抛物线，O为顶点，A、B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M点，求点M的轨迹方程.
题型六：点差法求轨迹方程
【例11】若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（ ）
A．B．C．D．
【例12】过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-1】斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是 ．
【变式6-2】设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点．
(1)证明：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程．
【变式6-3】已知 ，过的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程.
题型七：立体几何中的轨迹方程
【例13】已知正方体的棱长为1，点为平面内一点，若点到棱和的距离相等，则点的轨迹是（ ）
A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线
【例14】已知正方体的棱长为，空间中的点满足：，其中，且，则点的轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】在棱长为2的正方体中，点为底面ABCD中一动点（含边界），且，则线段PB的长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】如图，平面平面，是正三角形，四边形是正方形，点是平面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-3】如图，正方体的棱长为2，在底面内是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的轨迹长度；若不存在，请说明理由.

巩固过关
1．已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知定点和抛物线，若过点P的直线l与抛物线有两个不同的交点A、B，求线段AB的中点M的轨迹方程．
3．在平面直角坐标系中，，，是满足的一个动点．求垂心的轨迹方程.
4．（多选）已知圆的直径，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则下列结论能成立的有（ ）
A．点的轨迹是以为圆心，半径是的一个圆
B．点的轨迹是以为圆心，半径是的一个圆
C．点的轨迹与圆相交
D．点的轨迹与圆相切
5．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中且，则点的轨迹是 ．
6．圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面中心，为的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周）．若，则点形成的轨迹的长度为（ ）
A．B．C．3D．
7．已知立方体的棱长为为体对角线的三等分点，动点在平面内，且，如图，则点的轨迹长度为 ．
8．已知双曲线：（，）的实轴长为2，点到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的动直线交双曲线于、两点，设线段的中点为，求点的轨迹方程.
9．在平面直角坐标系中，，设的内角的对边分别为，且，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)若为钝角，证明：的面积小于．
创新提升
八、未命名题型
1．如图，长方体中，，点为平面上一动点，若，则点的轨迹为（ ）
A．抛物线B．椭圆C．双曲线的一支D．圆
2．已知动点满足，则动点轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线
3．（多选）在平面内，曲线是动点 到定点 ， 距离之积为常数 的点的集合. 已知过原点，则（ ）
A．B．关于直线对称
C． 面积的最大值为 2D．
4．（多选）已知正三棱柱中，，点为侧面上的一点， ，（，），则下列说法正确的有（ ）
A．当时，直线与平面所成角的最大值为60°
B．当时，的最小值为2
C．当时，动点的轨迹长为
D．当直线与所成角为45°时，动点的轨迹为双曲线的一部分
5．（多选）在平面直角坐标系中，已知两定点，，动点满足直线与直线的斜率之积为，记的轨迹为，则下列描述正确的是（ ）
A．当时，曲线是以原点为圆心，半径为1的圆
B．当时，点所在曲线的焦点在轴上
C．当时，过点的直线与曲线至少有一个公共点
D．当时，直线与曲线有两个不同公共点，则
重难点专训04 圆锥曲线的轨迹问题探究
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc2977" 解题方法及技巧提炼 PAGEREF _Tc2977 \h 1
\l "_Tc25148" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc25148 \h 3
\l "_Tc12698" 题型一：直接法求轨迹方程 PAGEREF _Tc12698 \h 3
\l "_Tc4517" 题型二：几何法求轨迹方程 PAGEREF _Tc4517 \h 3
\l "_Tc28674" 题型三：相关点法求轨迹方程 PAGEREF _Tc28674 \h 3
\l "_Tc24221" 题型四：定义法求轨迹方程 PAGEREF _Tc24221 \h 3
\l "_Tc9767" 题型五：参数法求轨迹方程 PAGEREF _Tc9767 \h 3
\l "_Tc17446" 题型六：点差法求轨迹方程 PAGEREF _Tc17446 \h 3
\l "_Tc16452" 题型七：立体几何中的轨迹方程 PAGEREF _Tc16452 \h 3
\l "_Tc28106" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc28106 \h 3
\l "_Tc21261" 巩固过关 PAGEREF _Tc21261 \h 3
\l "_Tc8051" 创新提升 PAGEREF _Tc8051 \h 3
一、直接法求轨迹方程
先设动点坐标为；再根据题目中动点运动的几何等量关系（如距离、角度、斜率等），直接将几何条件转化为含的代数等式。
同时需注意等量关系中的隐含限制条件（如构成三角形需三点不共线、斜率存在需分母不为0等），对所得方程进行化简和范围约束，最终得到符合条件的动点轨迹方程。
二、几何法求轨迹方程
利用平面几何性质（如垂直平分线性质、角平分线性质、圆的性质），找到动点满足的几何等式，再转化为坐标方程，简化计算。
三、相关点法求轨迹方程
先明确动点与已知曲线（或可求轨迹的点）的 “相关关系”（即随运动）；
再根据几何条件，用表示出Q的坐标（即，）。
接着将代入Q所在的已知曲线方程，得到含的等式；最后化简该等式，并结合实际条件（如定义域）约束，即得动点P的轨迹方程。
四、定义法求轨迹方程
首先分析动点满足的几何条件，判断是否符合圆、椭圆、抛物线、双曲线等基本轨迹的定义（如椭圆定义：到两定点距离和为定值且大于定点间距）。
若直接匹配定义，可直接写出对应轨迹的标准方程；若需确定参数，设出标准方程形式，结合题目条件（如定点坐标、定值大小）用待定系数法求解参数，最后验证方程是否符合轨迹定义及题目限制。
五、参数法求轨迹方程
当直译法难以直接建立的关系，先选取合适的参数（如角度、斜率、距离等能引发动点运动的几何量）。
设动点坐标为，再分别建立与参数、与参数的函数关系式（即参数方程）。
最后通过代数运算消去参数，得到关于的普通方程，同时注意参数的取值范围对的约束。
六、点差法求轨迹方程
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题，可用点差法完成，基本方法是把弦的两端点，的坐标代入圆锥曲线方程,然而相减,利用平方差公式可得等关系式,由于弦的中点的坐标满足且直线的斜率为,由此可求得弦中点的轨迹方程.
七、立体几何轨迹问题
先明确动点满足的几何条件（如距离、角度、平行/垂直关系）；
再将空间条件转化为平面条件（如投影到某平面、利用截面法降维），判断是否符合圆、椭圆等平面轨迹定义；
或建立空间直角坐标系，用参数法求轨迹方程，最后结合空间约束确定轨迹形状。
题型一：直接法求轨迹方程
【例1】已知动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数.
求动点的轨迹；
【详解】设是点到直线的距离，
根据题意，动点的轨迹就是点的集合，
即.
将上式两边平方，并化简，得，
所以点的轨迹是焦点在轴上，实轴长为、虚轴长为2的双曲线.
【例2】已知中，，，动点满足.
求动点的轨迹的方程；
【详解】设，由，得，
整理得到，又点不能在轴上，
所以点的轨迹的方程为.
【变式1-1】已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线．
求的方程，并说明是什么曲线？
【详解】因为，所以直线，的斜率分别为，，则有，化简得，
即曲线的方程为，故曲线是除去左、右顶点的双曲线．
【变式1-2】（多选）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．动点的轨迹所围成的图形周长为
B．动点的轨迹所围成的图形面积为
C．动点离原点的最长距离为2
D．动点离原点的最短距离为
【答案】AC
【详解】设，则，得.
由，得，即.
当，且时，方程为；
当，且时，方程为；
当，且时，方程为；
当，且时，方程为；
所以点对应的轨迹如图所示：
显然，，且点轨迹为菱形，
所以其周长为，面积为，所以A正确，B错误；
显然当在或点时，离原点距离最长为2，所以C正确；
离原点最短距离为，所以D错误.
故选：AC.
【变式1-3】在平面直角坐标系中，已知，，，满足，点与点可以重合，记点的轨迹为.
求曲线的方程；
【详解】根据题意，，，，且满足，
即，化简得，
即曲线的方程为；
题型二：几何法求轨迹方程
【例3】已知点是平面内的一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第二象限．若四边形（其中为原点）的面积为2，则动点的轨迹方程是 ．
【答案】
【详解】设点，
易知与互相垂直，又与直线垂直，与直线垂直，
所以四边形为矩形，如下图所示：

依题意可知点在轴上方，即，且；
因此，
所以四边形的面积为，
即可得;
所以动点的轨迹方程为.
故答案为：
【例4】已知圆C的圆心在直线上，并经过点，与直线相切．
(1)求圆C的方程；
(2)已知，动点到圆C的切线长等于的2倍，求出点的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）设圆心坐标为，
故，解得：，
故圆心为，半径为，
故圆C的方程为；
（2）设，
则，故动点到圆C的切线长为，
，
所以，
化简得：，
故点的轨迹方程为：.
【变式2-1】在平面直角坐标系中，曲线在圆周上，且，中点为，则的轨迹方程为 ．
【答案】
【详解】曲线是以原点O为圆心，3为半径的圆，在圆内，
设中点为，如图所示，
因为，，所以，
所以，化简得.
即的轨迹方程为.
故答案为：.
【变式2-2】已知平面直角坐标系中不同的三点，，，圆心在轴上的圆经过三点，设点的坐标为，则点的轨迹方程为 ．
【答案】
【详解】由题意得圆心在轴上的圆经过点，，三点，
可得线段为圆的直径，而点在圆上，则，得到，
又，，则，而不重合，得到，
故点的轨迹方程为．
故答案为：
【变式2-3】过圆外一点任意作一条割线交圆于、两点.
(1)若割线的方程为，求的值；
(2)求弦的中点的轨迹.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】
【详解】（1）圆的圆心为原点，半径为，
圆心到直线的距离为，所以.
（2）设点，当直线不过原点时，连接，则，
且，，
由题意可得，化简得，
当直线过原点时，点与点重合，此时点的坐标也满足方程，
所以点的轨迹是点为圆心，半径为，且位于圆内的一段弧.
题型三：相关点法求轨迹方程
【例5】设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由题意得：，设，
因为，所以，
解得：，
因为，所以
所以，
因为，
所以，
即.
故选：D
【例6】已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设，，由，得：
，则有，
因为为圆上任意一点，
所以，代入可得：
，整理得：，
即方程就是动点的轨迹方程.
故选：A
【变式3-1】已知是圆上的动点，点满足，记点的轨迹为，若圆与轨迹的公共弦所在直线的方程为，则 ．
【答案】//
【详解】设，则.
所以，即，
因为是圆上的动点，所以.
所以轨迹C的方程为.
所以圆与轨迹的公共弦所在直线的方程为，
化简得.
由题意知，解得.
则.
故答案为:.
【变式3-2】点P是圆上一动点，直线，，Q为垂足，M是中点，求M的轨迹方程，并指出它是什么图形．
【答案】M的轨迹方程为，长轴长为2，短轴长为1，焦点在y轴上的椭圆.
【详解】

不妨设，则满足；
易知，
又线段的中点为，可得；
即，代入,得，
即.
故M的轨迹方程为，M的轨迹是长轴长为2，短轴长为1，焦点在y轴上的椭圆.
【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，点在线段的延长线上，且，，则点的轨迹方程为 ．

【答案】
【详解】设，
由题意，又，
所以，即，
所以，所以，
所以曲线C的方程为.
故答案为：.
题型四：定义法求轨迹方程
【例7】已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
由题知，又，则，
所以点在以，为焦点，的椭圆上，
由，得，所以点的轨迹方程为，
故选：B.
【例8】已知圆，，过的直线与圆交于两点，过作的平行线交直线于点，则点的轨迹方程为 ．
【答案】
【详解】如图，根据题意，，因为，，
所以，所以，
所以．
当位置互换时，，
当过的直线与轴重合时，无法作出，
所以点在以为焦点的双曲线上，
设该双曲线方程为，则，所以，
所以的轨迹方程为．
故答案为：
【变式4-1】若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由于点到点的距离比它到直线的距离小1，故点到点的距离比它到直线的距离相等，
故点是在以为焦点，以为准线的抛物线上，
故轨迹为，
故选：A
【变式4-2】（多选）一动圆与都相切，则动圆圆心的轨迹方程可能情形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【详解】由题意得，圆方程可化为，故，圆半径，
圆方程可化为，故，圆半径，
∴两圆的圆心距，
由得两圆相离，设动圆的半径为，圆心.

①如图1，当动圆与圆外切，与圆内切时，，故，
根据双曲线的定义，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，其中，故，
∴点的轨迹方程为，选项D正确.
②如图2，当动圆与圆内切，与圆外切时，，故，
此时点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，结合①可知点的轨迹方程为，选项C正确.

③如图3，当动圆与圆均外切时，，故，
此时点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，其中，故，
∴点的轨迹方程为，选项A正确.
④如图4，当动圆与圆均内切时，，故，
此时点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，结合③可知点的轨迹方程为，选项B错误.
故选：ACD.
【变式4-3】已知平面上一半径小于4的动圆与定圆相内切，且过定点．
求动圆圆心的轨迹方程．
【详解】（1）设动圆的半径为，由圆与动圆相内切得，
，
即圆心的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且，，则，，
从而，，故动圆圆心的轨迹方程为．
题型五：参数法求轨迹方程
【例9】坐标平面上的点，将点绕原点逆时针旋转后得到点．这个过程称为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设曲线上一点，其绕原点顺时针旋转后对应的曲线上的点为，
则，即，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，即.
所以曲线的方程为.
故选：B
【例10】已知抛物线：焦点为，过向第一象限作射线，过点作的切线，切点为，且，则点的轨迹是 的一部分（选填：直线，圆，椭圆，抛物线，双曲线）.
【答案】直线
【详解】不妨设，由已知，
设直线的斜率为①，倾斜角为，
切线斜率为，倾斜角为，
由正切和差公式可得，，
②，
设切线方程为，联立，
得，由得③，
将①③代入②可得，
化简并因式分解有，
再代入③，得，由，则，
所以点的轨迹是直线的一部分.
故答案为：直线.

【变式5-1】设圆的圆心为A，直线l过点，F是圆A上的任意一点，线段BF的垂直平分线与AF交于E点.
求出点E的轨迹方程；
【详解】（1）圆的标准方程为，得，半径.
由线段BF的垂直平分线与AF交于E点，可得.
因为，且，
由椭圆的定义可知点的轨迹是以，为两焦点的椭圆，
又，
则点的轨迹方程为：.
【变式5-2】设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ．
【答案】
【详解】设，，，
则，，，
因为， 则，
又因为，则，即，
可得，即．
故点的轨迹方程是．
故答案为：.
【变式5-3】已知抛物线，O为顶点，A、B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M点，求点M的轨迹方程.
【答案】
【详解】设点M的坐标为(x，y)，直线OA的方程为y＝kx，显然k≠0，
则直线OB的方程为y＝－.
由解得A，同理可得B，
从而知当k≠±1时，，
故得直线AB的方程为，即①
直线OM的方程为②
联立①②消去k得，即，
当k＝1时，A(4p，4p)，B(4p，－4p)，M(4p，0)，显然M(4p，0)满足上述方程，
同理k＝－1时，M也满足上述方程，
故点M的轨迹方程为.
题型六：点差法求轨迹方程
【例11】若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设点的坐标为，∵，，动点满足，
∴，两边平方化简得，
∴点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，
因此，点的轨迹所包围的图形的面积．
故选：D
【例12】过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】抛物线的焦点为，设点、，
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，联立可得，
，由韦达定理可得，所以，，
设线段的中点为，则，，则，
所以，，化简可得.
因此，线段的中点的轨迹方程为.
故选：D.
【变式6-1】斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是 ．
【答案】(或).
【详解】设直线为，与双曲线交点为，
联立双曲线可得：，则，即或，
所以，故，则弦中点为，
所以弦的中点的轨迹方程为(或).
故答案为：(或)
【变式6-2】设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点．
(1)证明：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】
【详解】（1）因为，，故，
所以，故，
又圆的标准方程为，从而，所以．
由题设得，，，
设点，则有，化简可得，
又由题意可得点不能在x轴上，所以，则点的轨迹方程为.
（2）由（1）知，点的轨迹方程为，
由椭圆的对称性知，以为中点的弦所在直线的斜率存在，
设弦的两端点分别为，
则①，②，
由①②，可得，
依题意，，代入上式，，
故有，
故以为中点的弦所在的直线方程为，即.
【变式6-3】已知 ，过的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程.
【答案】（在椭圆内部的部分）.
【详解】设弦的端点为，，其中点是，
则，，由于点，在椭圆上，则有：，
两式做差可得，所以，
化简得（在椭圆内部的部分）．
所以被截得的弦的中点轨迹方程为：（在椭圆内部的部分）.
题型七：立体几何中的轨迹方程
【例13】已知正方体的棱长为1，点为平面内一点，若点到棱和的距离相等，则点的轨迹是（ ）
A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线
【答案】D
【详解】如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作交于点，连接，
由题意可知，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
设点，则
由得，
化简得，
即点的轨迹是双曲线．
故选：D．
【例14】已知正方体的棱长为，空间中的点满足：，其中，且，则点的轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以平面，
如图1所示，设为的交点，所以，
又平面平面，
所以，
又，平面，所以平面，
因为点平面，故平面，
所以，则，
因为正方体的棱长为，所以，即，
在平面内建立平面直角坐标系，如图2所示，
则，
设，
则，，
所以，
又，故，即，
整理得，即，
故点的轨迹是半径为的圆，所以点的轨迹长度为．
故选：C．
【变式7-1】在棱长为2的正方体中，点为底面ABCD中一动点（含边界），且，则线段PB的长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】取的中点为，的中点为，连接，
则平面，而平面，故.
而，
而，故，
而，故即，
由正方体的性质可得，故，
故的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而，
故线段的长度的最小值为，
当且仅当三点共线且在之间时的长度取最小值，
故选：C.
【变式7-2】如图，平面平面，是正三角形，四边形是正方形，点是平面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
如图，取中点，中点，连接，，
因平面平面，由可得，
因平面平面， 平面，故平面，易得，
故可以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，
不妨取，则，则，．
由点在平面内，可设，因为，
所以，化简得：，
故点的轨迹是一条直线，排除C，D．又点不在直线上，故排除B，而点在直线上，故A正确．
故选：A.
【变式7-3】如图，正方体的棱长为2，在底面内是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的轨迹长度；若不存在，请说明理由.

【答案】存在，
【详解】如图，建立空间直角坐标系，

则，，，，则，，
设平面的法向量为，则即
令，则，所以是平面的一个法向量.
方法一 设存在点满足条件，则，
因为，，所以，又，所以，
设平面的法向量为，则即
令，则，所以是平面的一个法向量.
因为二面角的余弦值为，所以，
化简得，所以或（舍去）.
当时，点在线段上运动，所以点的轨迹长度为.
方法二 设，则.
设平面的法向量为，则即
令，则，所以是平面的一个法向量.
因为二面角的余弦值为，所以，
化简得，所以或（舍去）.
当时，点在线段上运动，所以点的轨迹长度为.
巩固过关
1．已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为，
设，则由动点满足，
故选：A
2．已知定点和抛物线，若过点P的直线l与抛物线有两个不同的交点A、B，求线段AB的中点M的轨迹方程．
【答案】（或）
【详解】设点M的坐标为，点A的坐标为，点B的坐标为．
显然，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为，
由，得：，
，解得：或，则，，
而，因此点M的坐标为，
，消去参数k，得：．
由或，得：或．
综上，点M的轨迹方程（或）．
3．在平面直角坐标系中，，，是满足的一个动点．求垂心的轨迹方程.
【答案】（）或（）
【详解】设的外心为，半径为R，
则有，又，
所以，即，或，
当坐标为时．
设，，有，即有（），
由，则有，
由，则有，
所以有，，则，
则有（），
所以垂心H的轨迹方程为（）.
同理当当坐标为时．H的轨迹方程为（）.
综上H的轨迹方程为（）或（）．
4．（多选）已知圆的直径，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则下列结论能成立的有（ ）
A．点的轨迹是以为圆心，半径是的一个圆
B．点的轨迹是以为圆心，半径是的一个圆
C．点的轨迹与圆相交
D．点的轨迹与圆相切
【答案】ABC
【详解】设，则，设，则，
所以
整理得：.
所以点的轨迹是以为圆心，半径是的一个圆.
对A：若，则点的轨迹方程为：，
所以所以点的轨迹是以为圆心，半径是的一个圆.故A正确；
对B：若，则点的轨迹方程为：，
所以所以点的轨迹是以为圆心，半径是的一个圆.故B正确；
因为，所以圆与点的轨迹相交，故C正确，D错误.
故选：ABC
5．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中且，则点的轨迹是 ．
【答案】直线
【分析】
【详解】方法1：因为，，
所以.
所以三点共线.
所以点的轨迹是直线.
方法2：设，因为，
所以.
因为，所以，化简得：.
又直线的方程为：，化简得：.
所以点的轨迹是直线.
故答案为：直线
6．圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面中心，为的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周）．若，则点形成的轨迹的长度为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【详解】建立空间直角坐标系如图所示．

则设．
于是有．
由于，所以，即．
此为点形成的轨迹方程，其在底面圆内的长度为．
故选：B．
7．已知立方体的棱长为为体对角线的三等分点，动点在平面内，且，如图，则点的轨迹长度为 ．
【答案】
【详解】如图，正方体中平面，平面，
故，平面，
所以平面，平面，
故，同理可得，又平面，
所以平面，又为的三等分点，
所以平面，，
又，，，
所以，故点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
又为边长为的等边三角形，
所以点的轨迹长度为．
故答案为：.
8．已知双曲线：（，）的实轴长为2，点到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的动直线交双曲线于、两点，设线段的中点为，求点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)，其中或
【分析】
【详解】（1）双曲线的实轴长为，由已知，，则，
因为双曲线：（，）的一条渐近线为，
点到双曲线的渐近线的距离为，所以，
所以，所以，所以双曲线的方程是；
（2）易知直线的斜率存在设为，设、、，
联立直线l与双曲线E的方程，得，消去y，得．
由且，得且．
由韦达定理，得．
所以，．
由消去k，得．
由且，得或．
所以，点M的轨迹方程为，其中或．
9．在平面直角坐标系中，，设的内角的对边分别为，且，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)若为钝角，证明：的面积小于．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）设点，因为，
所以，化简得，
[易错提示]由，得，即，因此在双曲线的右支上且不含顶点．
故的方程为．
（2）在第一象限内的上取一点，
使，则为直角三角形，
则有解得（负值舍去），
则，
当点到轴的距离小于到轴的距离时，为钝角，记点到轴的距离为，
此时，同理可证，当点在第四象限且为钝角时，，
综上，当为钝角时，的面积小于．
创新提升
八、未命名题型
未命名题型
1．如图，长方体中，，点为平面上一动点，若，则点的轨迹为（ ）
A．抛物线B．椭圆C．双曲线的一支D．圆
【答案】C
【详解】如图，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，.
由题可设，则向量，向量，
所以，即.
将上式两边同时平方可得，即.
则，即.
所以.故轨迹为双曲线的一支.
故选：C.
2．已知动点满足，则动点轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线
【答案】C
【详解】已知，
将等式右边的变形为，即.
此时原等式变为，
两边同时除以得到.
表示点到点的距离，
表示点到直线的距离.
所以点到点的距离等于点到直线的距离.
点不在直线上，
根据圆锥曲线的定义，到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，
故动点的轨迹是抛物线.
故选：C.
3．（多选）在平面内，曲线是动点 到定点 ， 距离之积为常数 的点的集合. 已知过原点，则（ ）
A．B．关于直线对称
C． 面积的最大值为 2D．
【答案】ACD
【详解】由题意可得
，
即，
因为过原点，所以将代入解得，A说法正确；
曲线的方程可转化为，
将代入解得或，
因为点关于直线的对称点不在上，所以不关于直线对称，B说法错误；
令，则，
所以，的面积，所以 面积的最大值为 2，C说法正确；
由可得，
所以，即，解得，
所以，，D说法正确；
故选：ACD
4．（多选）已知正三棱柱中，，点为侧面上的一点， ，（，），则下列说法正确的有（ ）
A．当时，直线与平面所成角的最大值为60°
B．当时，的最小值为2
C．当时，动点的轨迹长为
D．当直线与所成角为45°时，动点的轨迹为双曲线的一部分
【答案】AC
【详解】对于A选项，取、、中点分别为，连接，如图
当时，点的运动轨迹为，且面，即，
在中，，要使直线与平面所成角最大，
即最大，则最短，即点为中点，此时，
故直线与平面所成角的最大值为60°，故A选项正确；
对于B选项，当时，点的运动轨迹为，以为坐标原点，所在方向为轴、轴建立直角坐标系如图：
则，
,所以，
,则
故
因为，所以当时，取得最小值，故B选项错误；
对于C选项，设，结合B选项坐标系得，，
而,
因为，所以，化简得，
因为，，
所以点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆在矩形内的部分弧长，圆心角为，
因此点的运动轨迹长为，故C选项正确；
对于D选项，，设直线与所成角为，
则，
当时，，化简得，
因为，，所以，即点为定点，故D选项错误.
故选：AC.
5．（多选）在平面直角坐标系中，已知两定点，，动点满足直线与直线的斜率之积为，记的轨迹为，则下列描述正确的是（ ）
A．当时，曲线是以原点为圆心，半径为1的圆
B．当时，点所在曲线的焦点在轴上
C．当时，过点的直线与曲线至少有一个公共点
D．当时，直线与曲线有两个不同公共点，则
【答案】BD
【详解】设且，则，则且，
当，则曲线为且，即以原点为圆心，半径为1的圆（去掉点），A错；
当，则曲线，若，直线轴时，直线与曲线没有公共点，C错；
当，曲线为焦点在y轴上的双曲线，联立，
整理得，显然不可能有两个交点，
若时，显然恒成立，
所以直线与曲线有两个不同公共点，B、D对.
故选：BD