2026年中考第二轮复习数学第02讲 整式与因式分解专项练习(学生版+教师版)

这是一份2026年中考第二轮复习数学第02讲 整式与因式分解专项练习(学生版+教师版)，共20页。试卷主要包含了来代表碳原子的数量，综合与实践，经检验符合题意；，阅读与思考等内容，欢迎下载使用。
目 录
1．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作C），白球是氢原子（记作H），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个C和6个H，分子式是C2H6，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题．
(1)壬烷的分子式是_____，第n个结构式的分子式是_____；
(2)请问分子式为C2025H4052的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由．
考查知识点：数字规律探索（等差数列）、代数式表示、整数运算.
能力要求：观察分析能力（从具体分子式提炼通用规律）、逻辑推理能力（验证规律合理性）、数学建模能力（用含n的代数式表示规律）.
考法特点：以化学 “烷烃” 球棍模型为新情境，将抽象的数学规律与具体的化学分子结构结合，设问从 “具体物质分子式” 到 “通用规律验证”，层层递进，体现 “从特殊到一般” 的数学思想.
【答案】(1)C9H20；CnH2n+2
(2)分子式为C2025H4052的化合物属于上述的烷烃，理由见解析
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
（1）观察可知对应的模型中，碳原子个数为序号，氢原子个数为序号的2倍加上2，据此规律求解即可；
（2）根据（1）的规律求出n=2025时，2n+2的值即可得到结论．
【详解】（1）解；第1个模型中有1个C和4个H，分子式是CH4，
第2个模型中有2个C和6个H，分子式是C2H6，
第3个模型中有3个C和8个H，分子式是C3H8，
……，
以此类推，可知，第n个模型中有n个C和2n+2个H，分子式是CnH2n+2，
∴壬烷的分子式是C9H20；
（2）解：分子式为C2025H4052的化合物属于上述的烷烃，理由如下：
当n=2025时，2n+2=2025×2+2=4052，
∴分子式为C2025H4052的化合物属于上述的烷烃．
2．（2024·广西·中考真题）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水．
浓度关系式：d后=0.5d前0.5+w．其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：kg）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？
(2)如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
考查知识点：分式方程实际应用、代数式求值、不等式比较.
能力要求：数学建模能力（将漂洗浓度关系转化为分式方程）、运算求解能力（解方程与计算浓度）、数据分析能力（比较不同漂洗方案的用水效率）.
考法特点：以生活中 “衣物漂洗” 为真实情境，给出浓度关系式，设问涵盖 “单步计算”“多步验证”“策略优化”，强调数学在解决实际问题中的实用性，体现 “数学源于生活” 的理念.
【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5kg清水．
(2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
(3)两次漂洗的方法值得推广学习
【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键；
（1）把d后=0.01%，d前=0.2%代入d后=0.5d前0.5+w， 再解方程即可；
（2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案；
（3）根据（1）（2）的结果得出结论即可．
【详解】（1）解：把d后=0.01%，d前=0.2%代入d后=0.5d前0.5+w
得0.01%=0.5×0.2%0.5+w，
解得w=9.5．经检验符合题意；
∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5kg清水．
（2）解：第一次漂洗：
把w=2kg，d前=0.2%代入d后=0.5d前0.5+w，
∴d后=0.5×0.2%0.5+2=0.04%，
第二次漂洗：
把w=2kg，d前=0.04%代入d后=0.5d前0.5+w，
∴d后=0.5×0.04%0.5+2=0.008%，
而0.008%BC．A≤BD．A0，
∴x−y2+x2+1>0，
∴A>B，
故选：B．
2．（2025·四川成都·二模）已知a、b表示一个直角三角形的两直角边的长，若a+b=6，ab=4，则这个直角三角形的斜边长为 ．
【答案】27
【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的变形运算，由题意得a2+b2=a+b2−2ab=28，进而根据勾股定理即可求解，掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键．
【详解】解：∵a+b=6，ab=4，
∴a2+b2=a+b2−2ab=62−2×4=28，
∴这个直角三角形的斜边长=a2+b2=28=27，
故答案为：27．
3．（2025·全国·一模）已知a，b为实数，且满足a2+b2+4a−6b+13=0，则点a,b到原点的距离为
【答案】13
【分析】本题考查因式分解的应用，非负性，点到原点的距离，利用完全平方公式法将等式左边进行因式分解，非负性求出a,b的值，再利用两点间的距离公式进行求解即可．
【详解】解：∵a2+b2+4a−6b+13=0，
∴a2+4a+4+b2−6b+9=0，
∴a+22+b−32=0，
∴a+2=0,b−3=0，
∴a=−2,b=3；
∴点a,b到原点的距离为−22+32=13．
故答案为：13
4．（2025·河北邯郸·三模）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+ca≠0变形为ax+m2+n的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式ax2+bx+ca≠0的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式，例如：x2+9x−10=x2+9x+922−922−10=x+922−1214=x+92+112x+92−112 =x+10x−1．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)用配方法及平方差公式把多项式x2−7x+12进行分解因式；
(2)若y=−x2+2x−3，当x为多少时y有最值？最值为多少？
(3)求证：不论x，y取何值，多项式x2+y2−4x+2y+6的值总为正数．
【答案】(1)见解析
(2)当x=1时，y有最大值，最大值为−2
(3)见解析
【分析】此题考查了配方法的应用、二次函数的最值等知识，熟练掌握配方法是解题的关键．
（1）根据题意利用配方法分解因式即可；
（2）由配方法得到y=−x2+2x−3=−x−12−2，根据二次函数的性质解答即可；
（3）利用配方法得到x2+y2−4x+2y+6=x−22+y+12+1，即可证明结论．
【详解】（1）解：x2−7x+12=x2−7x+722−722+12=x−722−14
=x−72+12x−72−12=x−3x−4．
（2）解：y=−x2+2x−3=−x−12−2，
∵−10，
则不论x，y取何值，多项式x2+y2−4x+2y+6的值总为正数．
5．（2025·安徽滁州·一模）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m−n=3，则称这个正整数为“三方数”．例如：15=42−12，15就是一个“三方数”．将“三方数”从小到大排列．
(1)第2个“三方数”是________；第10个“三方数”是________；
(2)请判断2025是“三方数”吗？并说明理由．
【答案】(1)21；69；
(2)是“三方数”，理由见解析
【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，代数式的规律探索，解题关键是利用平方差公式和已知条件得到第k（k是正整数）个“三方数”的代数式．
（1）根据题意依次列出前面几个“三方数”，并得到规律，即可求解；
（2）利用规律列出第k（k是正整数）个“三方数”，代入2025并求解k，即可判断．
【详解】（1）解：∵m−n=3，m2−n2=m+nm−n，
∴第1个“三方数”是42−12=3×1+4=3×5=15；
第2个“三方数”是52−22=3×2+5=3×7=21；
第3个“三方数”是62−32=3×3+6=3×9=27；
⋯
第10个“三方数”是132−102=3×10+13=69；
故答案为：21；69；
（2）解：2025是“三方数”，理由如下：
由（1）可知第k（k是正整数）个“三方数”是k+32−k2=3k+k+3=32k+3，
当32k+3=2025时，
解得：k=336，
故2025是“三方数”．
1．（2025·四川·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．3a+2=3a+6B．a+b2=a2+b2
C．a+a2=a3D．ab2=a2b
【答案】A
【分析】本题主要考查了去括号，合并同类项，完全平方公式和积的乘方等计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解：A、3a+2=3a+6，原式计算正确，符合题意；
B、a+b2=a2+2ab+b2，原式计算错误，不符合题意；
C、a与a2不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、ab2=a2b2，原式计算错误，不符合题意；
故选：A．
2．（2025·江苏无锡·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a4=a6B．a2⋅a4=a6
C．a24=a6D．a4÷a=a4
【答案】B
【分析】此题考查了幂的运算和合并同类项，根据幂的运算法则和合并同类项法则进行判断即可．
【详解】解：A、a2与a4不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、a2⋅a4=a6，故本选项符合题意；
C、a24=a8≠a6，故本选项不符合题意；
D、a4÷a=a3，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：1.9，3.99，5.999，7.9999，9.99999，…按此规律，第n个数是（ ）
A．2n−0.1nB．2n+1−0.1n
C．2n−1+0.9nD．2n−1−0.1n
【答案】A
【分析】本题考查了数字类规律探索，从整数和小数两个方面进行规律分析是解题关键．该组数的规律从两方面分析：①整数部分：每次增加2；②小数部分：每次增加一个9，据此即可得到答案．
【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加2，则第n个数整数部分是2n−1，
小数部分每次增加一个9，则第n个数小数部分有n个9，
∴第n个数小数部分是1−0.1n，
∴第n个数是2n−1+1−0.1n=2n−0.1n，
故选：A．
4．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ）
A．32B．28C．24D．20
【答案】C
【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入n=6计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律．
【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点，
第②个图案中有8个黑色圆点，
第③个图案中有12个黑色圆点，
第④个图案中有16个黑色圆点，
⋯⋯
则第n个图案中有4n个黑色圆点，
所以第⑥个图中圆点的个数是4×6=24个，
故选：C．
5．（2025·四川·中考真题）若2x−y=5，则4x−2y−9= ．
【答案】1
【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，先分析待求式与已知式的结构，发现4x−2y=2(2x−y)；再将已知条件2x−y=5代入该式，计算出4x−2y的值；最后用计算结果减去9，得到最终答案．
【详解】解：∵4x−2y=2(2x−y)，且已知2x−y=5，
∴将2x−y=5代入得：4x−2y=2×5=10，
则4x−2y−9=10−9=1．
故答案为：1．
6．（2025·甘肃兰州·中考真题）因式分解：2x2+4x+2= ．
【答案】2x+12
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用．先提取公因式，再利用完全平方公式即可．
【详解】解：2x2+4x+2
=2x2+2x+1
=2x+12．
故答案为：2x+12．
7．（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形．
【答案】31
【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有1+21=3个正方形，第3个图形有1+21+22=7个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数即可．
【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形，
第2个图形有1+21=3个正方形，
第3个图形有1+21+22=7个正方形，
⋯
∴第5个图形中共有1+21+22+23+24=31个正方形，
故答案为：31．
8．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方(a+b)n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
【应用体验】
已知(x+2)4=x4+mx3+24x2+32x+16，则m的值为
【答案】8
【分析】本题考查了整式规律探究，根据(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4展开，即可求解．
【详解】解：∵ (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
∴ (x+2)4=x4+4x3⋅2+6x2⋅22+4x⋅23+24
=x4+8x3+24x2+32x+16，
∴m=8，
故答案为：8．
9．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将甲纸条的13与乙纸条的25叠合在一起，形成长为81的纸条，则a+b= ．

【答案】99
【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为： 13a=25b，设叠部分的长度为k，则a=3k，b=52k，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案．
【详解】解：由题意可知：重叠部分为： 13a=25b，
设重叠部分的长度为k，则a=3k，b=52k，
重叠后的总长度为：a−k+b−k+k=81，即a+b−k=81，
代入a=3k，b=52k得：3k+52k−k=81，
解得：k=18，
∴a=3×18=54，b=52k=45，
∴a+b=99，
故答案为：99．
10．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“⊕”：A⊕B=2A+B；对正整数k和多项式A，定义新运算“⊗”：k⊗A=A⊕A⊕A⊕⋅⋅⋅⊕Ak个A（按从左到右的顺序依次做“⊕”运算）．已知正整数m，n为常数，记M=m⊗x2+31xy，N=n⊗y2−14xy，若M⊕N不含xy项，则mn= ．
【答案】15
【分析】本题考查数字类规律探究，整式加减中不含某一项问题，先根据k⊗A=A⊕A⊕A⊕⋅⋅⋅⊕Ak个A，令k=1,2,3⋯，求出相应的结果，进而推导出当k=m时的结果，利用新定义，求出M,N，再根据新定义求出M⊕N，根据M⊕N不含xy项，得到xy项的系数为0，进行求解即可．
【详解】解：∵k⊗A=A⊕A⊕A⊕⋅⋅⋅⊕Ak个A，
∴当k=1时，1⊗A=A=21−1A；
当k=2时，2⊗A=A⊕A=2A+A=3A=22−1A，
当k=3时，3⊗A=A⊕A⊕A=3A⊕A=2×3A+A=7A=23−1A，
当k=4时，3⊗A=A⊕A⊕A⊕A=3A⊕A⊕A=7A⊕A=15A=24−1A，
⋯
∴当k=m时，m⊗A=2m−1A，当k=n时，n⊗A=2n−1A，
∴M=m⊗x2+31xy=2m−1x2+31xy，N=2n−1y2−14xy，
∴M⊕N=2M+N=22m−1x2+31xy+2n−1y2−14xy
=2m+1−2x2+2n−1y2+62⋅2m−1−142n−1xy，
∵M⊕N不含xy项，
∴62⋅2m−1−142n−1=0，
∴31⋅2m−1−72n−1=0，
设2m=a,2n=b，则：31a−7b=24，
∴b=31a−247，
∵a,b均为2的整数幂，为偶数，
∴a=8b=32，
∴2m=8,2n=32，
∴m=3n=5，
∴mn=15；
故答案为：15．
11．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的2倍，则mn= ．
【答案】2+32
【分析】首先表示出四边形EFGH的面积和四边形ABCD面积，然后根据题意得到m2+n24=2m2−mn+n24，整理得到4m2−8mn+n2=0，4mn2−8⋅mn+1=0，设mn=t，得到4t2−8t+1=0，然后解方程求解即可．
【详解】解：根据题意得，四边形EFGH的面积=m2+n22=m2+n24
四边形ABCD面积=m−n22=m2−mn+n24
∵四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的2倍
∴m2+n24=2m2−mn+n24
整理得，4m2−8mn+n2=0
∴4mn2−8⋅mn+1=0
设mn=t，
∴4t2−8t+1=0
解得t=2+32或t=2−32（舍去）
∴mn=2+32
故答案为：2+32．
【点睛】此题考查了完全平方公式，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
01·趋势领航练
02·考点通关练
03·真题诊断练
基础通关
题型01 代数式（★）
题型02 求代数式的值（★）
题型03 整式的相关概念（★）
题型04 与单项式/多项式有关的规律探索问题（★★）
题型05 整式的加减运算（★）
题型06 整式加减法的应用（★★）
题型07 幂的混合运算（★）
题型08 整式的乘除运算（★）
题型09 整式的混合运算（★）
题型10 数式的规律探索（★★）
题型11 图形的规律探索（★★）
题型12 利用乘法公式变形求值（★★）
题型13 整式运算的几何意义（★★）
题型14 选用合适的方法分解因式（★）
题型15 因式分解的应用（★★）
题型16 整式的化简求值问题（★）
题型17 与整式运算有关的新定义问题（★★）
能力通关
素材一
某综合实践小组准备了如图所示的三种卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a宽为b的长方形，且a>b．
素材二
将1张B型卡片沿对角线剪开，得到两张直角三角形卡片．
素材三
小组操作发现，将2张A型卡片，3张B型卡片（所拼成的长方形既没有缝隙也没有重叠）．得到了一个代数恒等式：a+b2a+b=2a2+3ab+b2．

阴影部分可以看成1个1×1的正方形，总面积=12，得到13=12

阴影部分可以看成2个2×2的正方形，总面积=13+23，得到13+23=1+22=32
小明的解答：
a2−6a+5
=a2−6a+9−9+5
=a−32−4
=a−5a−1
小丽的解答：
a2−6a+5
=a2−6a+9−9+5
=a−32−4
无论a为何值，a−32≥0
∴a−32−4≥−4
即a2−6a+5≥−4，
则a2−6a+5的最小值为−4