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2024中考数学一轮复习讲练测（全国通用）第02讲整式与因式分解（课件）
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这是一份2024中考数学一轮复习讲练测（全国通用）第02讲整式与因式分解（课件），共60页。PPT课件主要包含了知识建构，考点精讲，考情分析，第一部分，第二部分，第三部分等内容，欢迎下载使用。
代数式的概念：用基本的________把_____和____________连接起来的式子叫做代数式.代数式的值的概念：一般地，用数值代替__________________，按照代数式中的___________计算得出的结果叫做代数式的值.
1. 代数式中不含有=、<、>、≠等.2. 单独的一个数或一个字母也是代数式.3. 列代数式时注意事项：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【例】（2023吉林长春中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的代数式表示）【对点训练】（2023江苏中考真题）若圆柱的底面半径和高均为a，则它的体积是 （用含a的代数式表示）．
【例】（2023河北中考真题）代数式-7x的意义可以是（ ）A． -7与x的和B．-7与x的差C．-7与x的积D．-7与x的商【对点训练】（2020·内蒙古通辽·中考真题）下列说法不正确的是( )A．2a是2个数a的和B．2a是2和数a的积C．2a是单项式D．2a是偶数
题型02 代数式的实际意义
题型01 判断单项式的系数、次数
题型02 与单项式有关的规律题
通过观察与归纳，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．
题型03 判断多项式的项、项数、次数
1.所有常数项都是同类项.2.“同类项口诀”：①两同两无关，识别同类项: ②一相加二不变，合并同类项.“两同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，这两点也是判断同类项的标准，缺一不可. “两无关”：一是与系数大小无关；二是与所含字母的顺序无关.“一相加”：系数相加作为结果的系数.“二不变”：字母连同字母指数不变. 3.合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式. 4.去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．5.去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误.
题型01 判断同类项
题型03 添（去）括号
【例】（2022·西藏·中考真题）下列计算正确的是（ ）A．2ab﹣ab＝abB．2ab+ab＝2a2b2 C．4a3b2﹣2a＝2a2bD．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2【对点训练】（2022·浙江杭州·校考二模）化简（2a﹣b）﹣（2a+b）的结果为（ ）A．2bB．﹣2bC．4aD．-4a
整式的加减运算的实质就是合并同类项.主要的理论依据是：去括号法则，合并同类项法则，以及分配率.因此关于整式加减的一般步骤为：①列出代数式；②去括号；③找出同类项；④合并同类项.需要注意的是整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止； ②不能出现带分数，带分数要化成假分数.涉及整式加减运算的常见题型还有代数式求值，这类题目的一般步骤：①代数式化简；②代入计算；③对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算.做题时特别要注意的是在整式的加减运算过程中，不多项，不漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换.
题型05 整式加减的应用
1．幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：(a3)2=a6，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“a2”，指数相乘是指“3×2”．2．同底数幂的乘法和幂的乘方在应用时，不要发生混淆．3．式子(a+b)2不可以写成a2 +b2，因为括号内的a与b是“加”的关系，不是“乘”的关系．4．应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式都分别乘方；要特别注意系数及系数符号，对于系数是负数的要多加注意.
题型06 幂的基本运算
题型07 幂的逆向运算
题型08 幂的混合运算
幂的运算首先要熟练掌握幂的四条基本性质，要做到不但会直接套用公式，还要能逆用. 其次要注意要求的代数式与已知条件的联系，没明显关系时常常逆用公式将其分解. 第三幂的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数幂化成常数作为其它幂的系数，然后进行其它运算（例：已知22x+3－22x+1=48，求x的值）. 第四底数不同而指数可变相同的，可通过比较底数确定其大小关系，还可通过积的乘方的逆运算相乘.
整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的.
当我们遇到多项式与多项式相乘或者是单项式与单项式相乘时，字母前的系数可以先进行相乘，然后再把相同的字母进行相乘，这样分类不容易出错，也能提高大家的计算效率.
完全平方公式的几何背景1.意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．2. 常见验证完全平方公式的几何图形
结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
平方差公式的几何背景1.意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．2. 常见验证平方差公式的几何图形
结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
题型11 利用乘法公式计算
1.应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．2.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
题型12 通过对完全平方公式变形求值
乘法公式求值类的题目，关键在于恒等变形，反复利用平方差公式和完全平方公式，结合公式中各项的情况，做出相应的变形.
题型13 乘法公式的几何验证
思路：利用求面积的两种方法（公式法与补割法），列式（公式法求面积=补割法求面积），化简求解.
题型01 直接带入法
直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值.
题型02 间接带入法
间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值.
题型03 整体带入法
整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系. ②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系.③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值．
题型04 赋值求值法
赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值．
解：原式＝a2﹣2ab﹣b2﹣a2+b2＝﹣2ab，当a＝1，b＝﹣2时，原式＝4；
题型05 隐含条件求值法
隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值． 例如：①若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0 ②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值.
题型06 利用“无关”求值
利用“无关”求值：①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0；②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关．
配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果．
解：因为a2+b2+2a-4b+5=0，∴（a2+2a+1）+（b2-4b+4）=0,即（a+1）2+（b-2）2=0，∴a+1=0且b-2=0，∴a=-1且b=2，∴原式=2×（-1）2+4×2-3=7．
平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的符号．
特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单．
设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可．
题型11 利用根与系数的关系求解
利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值．
题型12 利用消元法求值
利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母．
题型13 利用倒数法求值
利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值．
1.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；2.因式分解必须是恒等变形； 3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.4.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
题型01 判断因式分解
题型02 选用合适的方法因式分解
因式分解的关键在于熟练掌握因式分解的两种基本方法：提取公因式法和公式法．因式分解的一般步骤：
题型03 与因式分解有关的探究题
代数式的概念：用基本的________把_____和____________连接起来的式子叫做代数式.代数式的值的概念：一般地，用数值代替__________________，按照代数式中的___________计算得出的结果叫做代数式的值.
1. 代数式中不含有=、<、>、≠等.2. 单独的一个数或一个字母也是代数式.3. 列代数式时注意事项：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【例】（2023吉林长春中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的代数式表示）【对点训练】（2023江苏中考真题）若圆柱的底面半径和高均为a，则它的体积是 （用含a的代数式表示）．
【例】（2023河北中考真题）代数式-7x的意义可以是（ ）A． -7与x的和B．-7与x的差C．-7与x的积D．-7与x的商【对点训练】（2020·内蒙古通辽·中考真题）下列说法不正确的是( )A．2a是2个数a的和B．2a是2和数a的积C．2a是单项式D．2a是偶数
题型02 代数式的实际意义
题型01 判断单项式的系数、次数
题型02 与单项式有关的规律题
通过观察与归纳，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．
题型03 判断多项式的项、项数、次数
1.所有常数项都是同类项.2.“同类项口诀”：①两同两无关，识别同类项: ②一相加二不变，合并同类项.“两同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，这两点也是判断同类项的标准，缺一不可. “两无关”：一是与系数大小无关；二是与所含字母的顺序无关.“一相加”：系数相加作为结果的系数.“二不变”：字母连同字母指数不变. 3.合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式. 4.去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．5.去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误.
题型01 判断同类项
题型03 添（去）括号
【例】（2022·西藏·中考真题）下列计算正确的是（ ）A．2ab﹣ab＝abB．2ab+ab＝2a2b2 C．4a3b2﹣2a＝2a2bD．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2【对点训练】（2022·浙江杭州·校考二模）化简（2a﹣b）﹣（2a+b）的结果为（ ）A．2bB．﹣2bC．4aD．-4a
整式的加减运算的实质就是合并同类项.主要的理论依据是：去括号法则，合并同类项法则，以及分配率.因此关于整式加减的一般步骤为：①列出代数式；②去括号；③找出同类项；④合并同类项.需要注意的是整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止； ②不能出现带分数，带分数要化成假分数.涉及整式加减运算的常见题型还有代数式求值，这类题目的一般步骤：①代数式化简；②代入计算；③对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算.做题时特别要注意的是在整式的加减运算过程中，不多项，不漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换.
题型05 整式加减的应用
1．幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：(a3)2=a6，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“a2”，指数相乘是指“3×2”．2．同底数幂的乘法和幂的乘方在应用时，不要发生混淆．3．式子(a+b)2不可以写成a2 +b2，因为括号内的a与b是“加”的关系，不是“乘”的关系．4．应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式都分别乘方；要特别注意系数及系数符号，对于系数是负数的要多加注意.
题型06 幂的基本运算
题型07 幂的逆向运算
题型08 幂的混合运算
幂的运算首先要熟练掌握幂的四条基本性质，要做到不但会直接套用公式，还要能逆用. 其次要注意要求的代数式与已知条件的联系，没明显关系时常常逆用公式将其分解. 第三幂的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数幂化成常数作为其它幂的系数，然后进行其它运算（例：已知22x+3－22x+1=48，求x的值）. 第四底数不同而指数可变相同的，可通过比较底数确定其大小关系，还可通过积的乘方的逆运算相乘.
整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的.
当我们遇到多项式与多项式相乘或者是单项式与单项式相乘时，字母前的系数可以先进行相乘，然后再把相同的字母进行相乘，这样分类不容易出错，也能提高大家的计算效率.
完全平方公式的几何背景1.意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．2. 常见验证完全平方公式的几何图形
结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
平方差公式的几何背景1.意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．2. 常见验证平方差公式的几何图形
结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
题型11 利用乘法公式计算
1.应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．2.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
题型12 通过对完全平方公式变形求值
乘法公式求值类的题目，关键在于恒等变形，反复利用平方差公式和完全平方公式，结合公式中各项的情况，做出相应的变形.
题型13 乘法公式的几何验证
思路：利用求面积的两种方法（公式法与补割法），列式（公式法求面积=补割法求面积），化简求解.
题型01 直接带入法
直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值.
题型02 间接带入法
间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值.
题型03 整体带入法
整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系. ②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系.③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值．
题型04 赋值求值法
赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值．
解：原式＝a2﹣2ab﹣b2﹣a2+b2＝﹣2ab，当a＝1，b＝﹣2时，原式＝4；
题型05 隐含条件求值法
隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值． 例如：①若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0 ②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值.
题型06 利用“无关”求值
利用“无关”求值：①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0；②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关．
配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果．
解：因为a2+b2+2a-4b+5=0，∴（a2+2a+1）+（b2-4b+4）=0,即（a+1）2+（b-2）2=0，∴a+1=0且b-2=0，∴a=-1且b=2，∴原式=2×（-1）2+4×2-3=7．
平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的符号．
特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单．
设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可．
题型11 利用根与系数的关系求解
利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值．
题型12 利用消元法求值
利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母．
题型13 利用倒数法求值
利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值．
1.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；2.因式分解必须是恒等变形； 3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.4.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
题型01 判断因式分解
题型02 选用合适的方法因式分解
因式分解的关键在于熟练掌握因式分解的两种基本方法：提取公因式法和公式法．因式分解的一般步骤：
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