2025年初中数学中考一轮复习 第02讲 整式与因式分解（练习）

这是一份2025年初中数学中考一轮复习 第02讲 整式与因式分解（练习），共35页。
?题型01 实际问题中的代数式
1．（2024·河南信阳·一模）某商场出售一件商品，在原标价基础上实行以下四种调价方案，其中调价后售价最低的是（ ）
A．先打九五折，再打九五折B．先提价10%，再打八折
C．先提价30%，再降价35%D．先打七五折，再提价10%
2．（2023·安徽池州·一模）某产品的成本价为a元，销售价比成本价增加了14%，现因库存积压，按销售价的八折出售，那么该产品的实际售价为（ ）
A．(1+14%)(1+0.8)a元B．0.8(1+14%)a元
C．(1+14%)(1−0.8)a元D．(1+14%+0.8)a元
3．（2022·贵州贵阳·一模）贵阳市“一圈两场三改”落地，幸福生活近在咫尺．周末，小高同学从家出发步行15min到达附近学校的运动场锻炼，较之前步行去城市运动中心少走了25min．已知小高同学步行的速度为每分钟am，则“一圈两场三改”后，小高同学少走的路程是（ ）
A．amB．10amC．15amD．25am
4．（2024·安徽·模拟预测）公司有330台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共8辆．已知每辆甲种货车一次最多运送机器45台、租车费用为400元，每辆乙种货车一次最多运送机器30台、租车费用为280元．
(1)设租用甲种货车x辆（x为非负整数），试填写下表．
表一：
表二：
(2)给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案，并说明理由．
?题型02 求代数式的值
1．（2024·安徽·模拟预测）已知实数a，b，满足a−b=6，ab=−8，则a2b−ab2的值为 ．
2．（2024·江西·模拟预测）若x+82+y−7=0，则代数式x+y2024的值是 ．
3．（2024·湖南岳阳·模拟预测）若a是16的算术平方根，而b的算术平方根是16，则a+b= ．
4．（2024·湖南·模拟预测）已知2x2−5x+1=0，则6x2−15x+7= ．
5．（2024·北京·模拟预测）已知∶2x2−5x−11=0，求代数式2x+1x−4−2x−32的值．
?题型03 整式的相关概念
1．（2024·内蒙古包头·三模）若单项式−3x2y的系数是m，次数是n，则mn的值为（ ）
A．9B．3C．−3D．−9
2．（2024·云南楚雄·一模）按一定规律排列的单项式：x3，−4x5，9x7，−16x9，……第n个单项式是（ ）
A．−1n−1n2x2n−1B．−1n+1n2x2n+1
C．−1n−1n+12x2n−1D．−1n+1n+12x2n+1
3．（2023·海南·模拟预测）多项式a2+4ab2+1是（ ）
A．三次三项式B．二次三项式C．三次二项式D．二次二项式
4．（2024·江西九江·三模）若关于x，y的多项式x2−2x2y+●y2的各项系数之和是5，则“●”代表的数是 ．
?题型04 整式的加减
1．（2024·重庆渝北·模拟预测）如图1，将边长为m的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“2 ”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（ ）
A．2m−4n B．2m−3n C．4m−8n D．4m−6n
2．（2024·河南周口·三模）如果单项式：2xym与12xny2的和仍为单项式，则−nm= ．
3．（2024·山东临沂·模拟预测）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式串m，n，n−m；
第2次操作后得到整式串m，n，n−m，−m；
第3次操作后…
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是 ．
4．（2024·河北邢台·模拟预测）在计算题：“已知，M=□，N=2x2−4x+3求2M−N”时，嘉琪把“2M−N”看成“M−2N”，得到的计算结果是−x2+4x−4．
(1)求整式M；
(2)若x≠12，请比较2M与N的大小，并说明理由．
5．（2024·河北秦皇岛·一模）已知整式a2+ab−★ab−b2−5，其中“★”处的系数被墨水污染了．当a=3，b=−2时，该整式的值为30．
(1)则★所表示的数字是多少？
(2)嘉淇说该代数式的值一定是正的，你认为嘉淇的说法对吗？说明理由．
?题型05 幂的混合运算
1．（2024·河北·模拟预测）下列运算中，与2a2b⋅−2b2运算结果相同的是（ ）
A．2b⋅2ab2B．−8a2+b3C．−2a2⋅b3D．−2a2b3
2．（2020·四川乐山·中考真题）已知3m=4，32m−4n=2．若9n=x，则x的值为（ ）
A．8B．4C．22D．2
3．（2023·湖北襄阳·模拟预测）a32÷a⋅a3+a2= ．
4．（2024·广东江门·一模）计算：
(1)2024+120240−18⋅cs45°+12−2；
(2)−a22⋅a2⋅−b23+2a3b32．
?题型06 整式的乘除
1．（2024·陕西渭南·模拟预测）下列计算错误的是（ ）
A．2m2m+1=2m3+2m2B．−3m3n2=9m6n2
C．m2n−2mn2=−mnD．m6÷m2=m4
2．（2024·河北·模拟预测）已知一台计算机的运算速度为1.2×109次/秒，这台计算机9×103秒运算的次数用科学记数法表示为（ ）
A．10.8×1012B．1.08×1014C．1.08×1028D．1.08×1013
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）若m×4x2y2=12x2y3−16x3y2，则m=（ ）
A．4x−3yB．−4x+3yC．4x+3yD．−4x−3y
4．（2023·陕西西安·二模）先化简，再求值：x+2yx−2y+x+2y2−2xy÷2x，其中x=5，y=−8．
5．（2024·河北·模拟预测）如图1是一个长为m，宽为n的矩形（m>n）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的32．
(1)求m与n的关系；
(2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积．
?题型07 利用乘法公式变形求解
1．（2024·湖南娄底·模拟预测）已知a+b=7,ab=6，则(a−b)2−6(b−a)+9= ．
2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）若x1，x2是方程x2+2x−1010=0的两个根，则x12+x22= ．
3．（2024·浙江宁波·二模）已知a−b=b−c=−1，a2+b2+c2=103，则ab+bc+ac= ．
4．（2024·河南安阳·模拟预测）阅读与思考：
若m+n=1，mn=−6，则由完全平方公式a+b2=a2+2ab+b2可得：m2+n2=m+n2−2mn=1−2×−6=13．请根据你的理解完成下列计算：
已知1x+1y=3，1xy=2．求代数式1x2+1y2的值．
?题型08 乘法公式的应用
1．（2024·广西南宁·模拟预测）阅读材料：
例：求代数式2x2+4x−6的最小值．
解：2x2+4x−6=2x+12−8．
可知：当x=−1时，2x2+4x−6有最小值，最小值是−8．
根据上面的方法可求多项式a2+b2−4a+6b+18的最小值是 ．
2．（2024·河北唐山·模拟预测）探究活动：
（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 （写成多项式乘法的形式）；
（3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 ．
知识运用：
（4）用合理的方法计算：7.52×1.6−2.52×1.6．
3．（2024·河北石家庄·二模）现有如图1所示的甲、乙、丙三种卡片，卡片的边长如图所示a>b.如图2，用1张甲、1张乙和2张丙卡片可以拼成一个边长为a+b的正方形，用两种方式表示该正方形面积可以得到等式：a+b2=a2+2ab+b2，也就验证了完全平方公式.
【发现】
（1）如图3，嘉淇用这三种卡片拼成一个长为2a+b，宽为a+2b的矩形，仿照例子写出一个关于a，b的等式；
（2）嘉淇还发现拼成矩形所需卡片的张数和整式的乘法计算结果中各项的系数有关.根据嘉淇的发现，若要用这三种卡片拼成一个长为a+2b，宽为a+b的矩形，不画图形，试通过计算说明需要丙种卡片多少张？
【应用】
（3）现用甲种卡片1张，乙种卡片4张，丙种卡片m张（m为正整数），拼成一个矩形，直接写出m所有可能的值.

4．（2023·山东青岛·二模）“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例：
实例一：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之…，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如实例图一），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．他利用直角边为a和b，斜边为c的四个全等的直角三角形拼成如图所示的图形（如实例图一），由S大正方形=4S直角三角形+S小正方形得c2=4×12ab+b−a2，化简得：a2+b2=c2．

实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于x的方程x2+ax=b2的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a2，AC=b，再在斜边AB上载取BD=BC=a2，则AD的长就是该方程的一个正根（如实例图二）．

根据以上阅读材料回答下面的问题：
(1)如图1，请利用图形中面积的等量关系，写出甲图要证明的数学公式是______．乙图要证明的数学公式是______；

(2)如图2，利用欧几里得的方法求方程x2+4x−4=0的一个正根．

(3)如图3，已知⊙O，AB为直径，点C为圆上一点，过点C作CD⊥AB于点D，连接CO，设DA=a，BD=b，请利用图3证明：a+b2≥ab．

?题型09 整式的化简求值-直接代入法
1．（2024·广东汕头·一模）已知1−a+2b−12=0，则2a+4b−7的值为 ．
2．（2024·青海西宁·二模）先化简，再求值：(x−2y)2+2x−yx+y−3xx−2y，其中x=2，y=−1．
3．（2024·吉林长春·三模）先化简，再求值：x+2y2−x+2yx−2y÷4y， 其中x=1，y=5−12．
4．（2024·广东东莞·一模）求代数式2x−y2+−4x3y+6x2y2÷2xy的值，其中x−3+x+y=0
?题型10 整式的化简求值-整体代入法
1．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知a2+3ab=5，则(a+b)(a+2b)−2b2的值为 ．
2．（2023·江苏盐城·模拟预测）若b+a=3，则9−6a+a2−b2的值为 ．
3．（2024·福建福州·模拟预测）若实数m满足m−12+(m−2)2=3，则m−1m−2的值是 ．
4．（2024·江苏徐州·模拟预测）关于x的一元二次方程ax2+bx−3=0的一个根是x=1，则代数式2027−a−b的值为 ．
?题型11 整式的混合运算
1．（2024·河北·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A．a+12=a2+1B．a−12=a2−1
C．a+1+a−1=2aD．a+1a−1=2a−1
2．（2024·广东广州·二模）已知T=2a+3b2a−3b−a3a−b+9b2．
(1)化简T；
(2)若a，b互为相反数，求T的值．
3．（2024·河北邯郸·二模）数学课上，老师给出一个整式ax2+bx−x+1x−1（其中a，b为常数，且表示系数），然后让同学给a，b赋予不同的数值进行探究．
(1)甲同学给出一组数据，最后计算结果为x+12，请分别求出甲同学给出的a，b的值；
(2)乙同学给出了a=5，b=−4，请按照乙同学给出的数值说明该整式的结果为非负数．
4．（2024·河北张家口·三模）如图1，2，约定：上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式．
(1)求代数式M；
(2)嘉嘉说，无论x取什么值，M的值一定大于N的值，嘉嘉的说法是否正确？请通过计算说明．
?题型12 判断因式分解的正误
1．（2024·安徽阜阳·模拟预测）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+1=x+12B．x2+2x−1=x−12
C．2x2−2=2x2−1=2x+1x−1D．x2−x+2=xx−1+2
2．（2022·河北·一模）下列关于4a+2的叙述，错误的是（ ）
A．4a+2的次数是1B．4a+2表示a的4倍与2的和
C．4a+2是多项式D．4a+2可因式分解为4(a+1)
3．（2024·河北秦皇岛·一模）对于①2x−xy=x2−y，②x−32=x2−6x+9，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解
4．（2023·河北石家庄·二模）数学学习中常见互逆运算，例如加法和减法互为逆运算，乘法和除法互为逆运算，分解因式和整式乘法也是互逆运算．请回答下列问题：
(1)①a+b2=a2+2ab+b2，②a2+2ab+b2=a+b2，③x−3xy=x1−3y，④x+3x−1=x2+2x−3是因式分解的_________（在括号内写序号）；
(2)小红是一名密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：a−b，x−y，x2−y2，a2−b2，x+y，a+b分别对应下列六个字：四、爱、学、中、我、十．现将x2−y2a2−x2−y2b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是哪四个字？
?题型13 因式分解
1．（2024·湖北恩施·模拟预测）把a2b−2ab2+b3分解因式正确的是（ ）
A．ba2−2ab+b2B．a2b−b2C．ba−b2D．a+b2
2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）把多项式3a2b−12ab+12b分解因式的结果是 ．
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知x+3x−2+xx−2可因式分解成(ax+b)(2x+c)，其中a，b，c均为整数，求(a+b)c的值．
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）用两种不同的方法计算：a+22−aa+2．（方法一：运用完全平方公式计算；方法二：运用因式分解计算，两种方法都须做）
?题型14 因式分解的应用
1．（2024·山西长治·模拟预测）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式a4−b4因式分解的结果是a−ba+ba2+b2，若取a=8，b=8时，则各个因式的值是：a−b=0，a+b=16，a2+b2=128，把这些值从小到大排列得到016128，于是就可以把“016128”作为一个六位数的密码，对于多项式27a3−3ab2，取a=4，b=1时，请你写出用上述方法产生的密码 ．
2．（2024·四川成都·模拟预测）定义：若4n3−3n−2（n正整数，且00），如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
4．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2−y2（x，y均为自然数）”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：
按上表规律，完成下列问题：
（ⅰ）24=（ ）2−（ ）2；
（ⅱ）4n=______；
(2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，⋯这些形如4n−2（n为正整数）的正整数N不能表示为x2−y2（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容．
5．（2023·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料：
将边长分别为a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．
则S2−S1=(a+b)2−a2
=(a+b)+a⋅(a+b)−a
=(2a+b)⋅b
=b+2ab
例如：当a=1，b=3时，S2−S1=3+23
根据以上材料解答下列问题：
(1)当a=1，b=3时，S3−S2=______，S4−S3=______；
(2)当a=1，b=3时，把边长为a+nb的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出Sn+1−Sn等于多少吗？并证明你的猜想；
(3)当a=1，b=3时，令t1=S2−S1，t2=S3−S2，t3=S4−S3，…，tn=Sn+1−Sn，且T=t1+t2+t3+⋯+t50，求T的值．
一、单选题
1．（2024·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3=x6B．x3·x9=x27C．x23=x5D．x3÷x=x2
2．（2023·江苏南通·中考真题）若a2−4a−12=0，则2a2−8a−8的值为（ ）
A．24B．20C．18D．16
3．（2024·海南·中考真题）下列计算中，正确的是（ ）
A．a8÷a4=a2B．3a2=6a2C．a23=a6D．3a+2b=5ab
4．（2024·四川巴中·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．3a+b=3abB．a3⋅a2=a5
C．a8÷a2=a4a≠0D．a−b2=a2−b2
5．（2023·吉林·中考真题）下列各式运算结果为a⁵的是（ ）
A．a23B．a²+a³C．a²⋅a³D．a10÷a2
6．（2024·云南·中考真题）分解因式：a3−9a=（ ）
A．aa−3a+3B．aa2+9C．a−3a+3D．a2a−9
7．（2023·湖北宜昌·中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（ ）．
A．左上角的数字为a+1B．左下角的数字为a+7
C．右下角的数字为a+8D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
8．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（ ）
A．48、58、68B．58、78、98C．76、156、316D．78、158、318
9．（2024·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，⋯，第n个代数式是（ ）
A．2xnB．n−1xnC．nxn+1D．n+1xn
10．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA=1，则OG=（ ）
A．125564B．12564C．6427D．32327
二、填空题
11．（2023·四川乐山·中考真题）若m、n满足3m−n−4=0，则8m÷2n= ．
12．（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知a+1a=5，则a2+1a2的值是 ．
13．（2024·北京·中考真题）分解因式：x3−25x= .
14．（2023·江苏苏州·中考真题）已知一次函数y=kx+b的图象经过点1,3和−1,2，则k2−b2= ．
15．（2024·四川德阳·中考真题）数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a、b，你认为a可以是 （填上一个数字即可）．
三、解答题
16．（2024·内蒙古通辽·中考真题）先化简，再求值：2a+b2a−b−a+b4a−b，其中a=−2,b=2．
17．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式：32−12=8×1,52−32=8×2,72−52=8×3,92−72=8×4,⋯
(1)写出192−172的结果．
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
18．（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮1000kg，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少100kg，其中“丰收1号”小麦种植在边长为ama>1的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为a−1m的正方形试验田中．
(1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量；
(2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
19．（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示(a>1)．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为S1,S2．
(1)请用含a的式子分别表示S1,S2；当a=2时，求S1+S2的值；
(2)比较S1与S2的大小，并说明理由．
20．（2023·山东青岛·中考真题）如图①，正方形ABCD的面积为1．

(1)如图②，延长AB到A1，使A1B=BA，延长BC到B1，使B1C=CB，则四边形AA1B1D的面积为______；
(2)如图③，延长AB到A2，使A2B=2BA，延长BC到B2，使B2C=2CB，则四边形AA2B2D的面积为______；
(3)延长AB到An，使AnB=nBA，延长BC到Bn，使BnC=nCB，则四边形AAnBnD的面积为______．
?题型01 实际问题中的代数式
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】(1)表一：315，30，45x，−30x+240；表二：1200，400x，1400，−280x+2240
(2)甲种货车6辆，乙种货车2辆
?题型02 求代数式的值
1．【答案】−48
2．【答案】1
3．【答案】260
4．【答案】4
5．解：∵2x2−5x−11=0
∴2x2−5x=11
原式=2x2−8x+x−4−(4x2−12x+9)
=−2x2+5x−13
=−2x2−5x−13
=−11−13
=−24．
?题型03 整式的相关概念
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】6
?题型04 整式的加减
1．【答案】C
2．【答案】1
3．【答案】2n
4．（1）∵M−2N=−x2+4x−4，N=2x2−4x+3，
∴M=−x2+4x−4+2N=−x2+4x−4+22x2−4x+3=3x2−4x+2；
（2）2M>N，
理由：∵M=3x2−4x+2，N=2x2−4x+3，
∴2M−N=23x2−4x+2−2x2−4x+3=4x2−4x+1=2x−12≥0，
∵x≠12，
∴2x−12>0．
∴2M>N．
5．（1）解：将a=3，b=−2代入a2+ab−★ab−b2−5得，
9−6−★−6−4−5=30，
即3+6★+9=30，
解得★=3；
（2）解：嘉淇的说法是正确的，理由如下：
由（1）求得的结果可得该整式为
a2+ab−3ab−b2−5=a2−2ab+b2+5=a−b2+5，
∵a−b2≥0，
∴a−b2+5>0，
∴嘉淇的说法是正确的．
?题型05 幂的混合运算
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】2a2
4．（1）解：原式=1−32×22+4
=1−3+4
=2；
（2）解：原式=−a4⋅a2⋅−b6+4a6b6
=a6b6+4a6b6
=5a6b6．
?题型06 整式的乘除
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】B
4．解：x+2yx−2y+x+2y2−2xy÷2x
=x2−4y2+x2+4xy+4y2−2xy÷2x
=2x2+2xy÷2x
=x+y，
当x=5，y=−8时，原式=5+−8=−3．
5．（1）解：由题意，大矩形的长为m+5n，宽为m+2n，
∵大矩形的长是宽的32，
∴m+5n=32m+2n，
化简，得m=4n；
（2）解：∵大矩形的面积为m+2nm+5n=m2+7mn+10n2，大矩形的面积为18，m=4n，
∴16n2+28n2+10n2=54n2=18，
解得n2=13，
∴阴影部分的面积为18−7mn=18−28n2=263．
?题型07 利用乘法公式变形求解
1．【答案】4或64/64或4
2．【答案】2024
3．解：∵a−b=b−c=−1，
∴a−c=a−b+b−c=−1−1=−2，
∴a−b2+b−c2+a−c2=2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac
=2a2+b2+c2−2ab+bc+ac
∵a2+b2+c2=103
∴1+1+4=2×103−2ab+bc+ac
∴ab+bc+ac=12×203−6=13；
4．解：∵1x+1y2=1x2+1y2+2xy，
∴1x2+1y2=1x+1y2−2xy
=32−2×2
=9−4
=5．
?题型08 乘法公式的应用
1．解：a2+b2−4a+6b+18
= a2−4a+4+b2+6b+9+5
=a−22+b+32+5，
∵a−22≥0,b+32≥0，
∴多项式a2+b2−4a+6b+18的最小值是5，
2．【答案】（1）a2−b2；（2）a+ba−b；（3）a2−b2=a+ba−b；（4）80
3．【答案】（1）2a+ba+2b=2a2+5ab+2b2；（2）需要丙种卡片3张；（3）4或5
4．（1）解：由题意可得：S甲=a+b2，S甲=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2，
∴a+b2=a2+2ab+b2，
S乙=a2，S乙=a−b2+b2+2ba−b，
∴a2=a−b2+b2+2ba−b，即a2−b2=a+ba−b，
∴甲图要证明的数学公式是完全平方公式，乙图要证明的数学公式是平方差公式，
（2）解；如图，由题意可得：x2+4x=4，
∴BC=42=2，AC=2，∠ACB=90°，
∴AB=22+22=22，AD=22−2，
∴方程x2+4x−4=0的一个正根为：22−2；

（3）解：连接AC、BC，∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠CAB=∠BCD，
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ACD∼△CBD，
∴CDBD=ADCD，即CD2=AD⋅BD，
∵DA=a，BD=b，
∴CD=ab，
在Rt△COD中，OC2=CD2+OD2，
∴OC2≥CD2，即OC≥CD，
又∵OC=a+b2，
∴a+b2≥ab．

?题型09 整式的化简求值-直接代入法
1．【答案】−3
2．【答案】2xy+2y2，−2
3．解：x+2y2−x+2yx−2y÷4y
=x2+4xy+4y2−x2−4y2÷4y
=x2+4xy+4y2−x2+4y2÷4y
=4xy+8y2÷4y
=x+2y，
当x=1，y=5−12时，原式=1+2×5−12=1+5−1=5．
4．解：2(x−y)2+(−4x3y+6x2y2)÷2xy
=2(x2−2xy+y2)−2x2+3xy
=2x2−4xy+2y2−2x2+3xy
=2y2−xy，
∵x−3+x+y=0，
∴x−3=0，x+y=0，
解得：x=3，y=−3，
∴当x=3，y=−3时，原式=2×(−3)2−3×(−3)=2×9+9=18+9=27．
?题型10 整式的化简求值-整体代入法
1．【答案】5
2．【答案】0
3．解：∵m−12+(m−2)2=3，
∴m2−2m+1+m2−4m+4=3，即m2−3m=−1，
∴m−1m−2=m2−3m+2=m2−3m+2=−1+2=1．
4．解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx−3=0的一个根是x=1，
∴a+b−3=0，
则a+b=3，
∴2027−a−b=2027−a+b=2027−3=2024
?题型11 整式的混合运算
1．【答案】C
2．（1）T=2a+3b2a−3b−a3a−b+9b2
=(2a)2−(3b)2−3a2+ab+9b2
=4a2−9b2−3a2+ab+9b2
=a2+ab
（2）∵ a，b互为相反数，
∴ b=−a，
∴ T=a2+ab=a2+a(−a)=a2−a2=0．
3．（1）解：由题意，得：ax2+bx−x+1x−1=x+12，
化简，得：ax2+bx−x2+1=x2+2x+1，
即a−1x2+bx+1=x2+2x+1，
∴a−1=1，且b=2，
∴a=2，b=2；
（2）当a=5，b=−4时，
ax2+bx−x+1x−1
=a−1x2+bx+1
=4x2−4x+1
=2x−12≥0，
即该整式的结果为非负数．
4．（1）解：由题意可得：M=2x2−5x+1−x2−3x−2
=2x2−5x+1−x2+3x+2
=x2−2x+3；
（2）嘉嘉的说法正确；理由如下：
由题意可得：N=x−1x+1−2x+1+5
=x2−1−2x−2+5
=x2−2x+2，
∵M−N=x2−2x+3−x2−2x+2
=x2−2x+3−x2+2x−2
=1>0，
∴M>N．
?题型12 判断因式分解的正误
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】C
4．（1）解：②③
（2）解：提取公因式，利用平方差公式得：x2−y2a2−x2−y2b2=x2−y2a2−b2=a+ba−bx+yx−y，
所以对应的四个字可能是“我爱四十”．
?题型13 因式分解
1．【答案】C
2．【答案】3ba−22
3．解：∵x+3x−2+xx−2=x−2x+3+x=x−22x+3，
又x+3x−2+xx−2可因式分解成(ax+b)(2x+c)，
∴a=1,b=−2,c=3，
∴(a+b)c=1−23=−1．
4．解：方法一：a+22−aa+2
=a2+4a+4−a2−2a
=2a+4．
方法二：a+22−aa+2
=a+2a+2−a
=2a+4．
?题型14 因式分解的应用
1．【答案】111213
2．【答案】 5 485
3．解：∵a2c2−b2c2=a4−b4，
∴a4−b4−a2c2+b2c2=0，
∴a4−b4−a2c2−b2c2=0，
∴a2+b2a2−b2−c2a2−b2=0，
∴a2+b2−c2a2−b2=0，
∴a2+b2−c2a+ba−b=0，
∵a+b>0，
则解得：a2+b2=c2或a=b，
即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
4．（1）解: 这两个连续偶数构造的“好数”是4的倍数,理由如下：2k2−2k−22=2k−2k+22k+2k−2=24k−2=42k−1.
∵2k−1为奇数,
∴由这两个连续偶数构造的“好数”为4的倍数.
（2）解：令42k−1=2024,解得：k=253.5.
∵253.5不为整数，
∴2024不是“好数”.
取k=253,代入42k−1得2020,
∴小于2024的最大“好数”是2020．
?题型15 判断整式运算或因式分解的错误步骤
1．解：任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的平方差公式；
任务二：小华（2）的解答是不正确，
(2a−3b)(a+3b)
=2a2+6ab−3ab−9b2
=2a2+3ab−9b2；
任务三：(2a−3b)2
=4a2−12ab+9b2．
2．（1）出现错误的是①，
∵A=a+22−a4−b−9
=a2+4a+4−4a+ab−9
=a2+ab−5
出现错误的是①，
（2）淇淇说得对，
当a与b互为相反数时，
多项式A=a2+ab−5
=a(a+b)−5
=0×a−5
=−5；
当a与b互为倒数时，
多项式A=a2+ab−5
=a2+1−5
=a2−4
淇淇说得对．
3．【答案】（1）0；（2）任务一：①完全平方；②提公因式；任务二：因式分解不彻底（或a2−b2还可以进行因式分解）；任务三：8(a+b)(a−b)
4．（1）解：小禾的解答是从第②步开始出错的，错误的原因是y与−3y合并同类项计算错误；
（2）解：正确的因式分解过程如下：
3x+y2−x+3y2
=3x+x+3y3x+y−x−3y
=4x+4y2x−2y
=8x+yx−y．
?题型16 图形类规律探索
1．【答案】C
2．【答案】22
3．【答案】3n+2/2+3n
4．（1）第1个图案中“☆”的个数为1×2；
第2个图案中“☆”的个数为2×3；
第3个图案中“☆”的个数为3×4；
……
第n个图案中“☆”的个数为nn+1；
即图案5中“☆”的个数为5×6=30
（2）由题知，
第1个图案中“★”的个数为2×32；
第2个图案中“★”的个数为3×42；
第3个图案中“★”的个数为4×52；
……
第n个图案中“★”的个数为(n+1)(n+2)2；
故答案为：(n+1)(n+2)2．
（3）由题知，
(n+1)(n+2)2=23n(n+1)，
解得n=−1或6，
因为n为正整数，
所以n=6．
?题型17 数字类规律探索
1．【答案】−1n4n−3n2+1
2．【答案】6
3．【答案】 9 10 69
4．【答案】(1)4×5×6+1=2×5+12
(2)4×n×n+1+1=2×n+12，证明见详解
?题型18 数式中的新定义问题
1．【答案】A
2．（1）解：A=Fx+2y,x−2y=x+2yx−2y=x2−4y2．
B=F4y,x−2y=4yx−2y=4xy−8y2．
（2）解：A−B=x2−4y2−4xy−8y2=x2−4xy+4y2=x−2y2，
∵x−2y2≥0，
∴A≥B．
3．解：（1）∵23=8，
∴2,8=3，
（2）∵k,9=m,k,27=n,k,243=p，
∴km=9，kn=27，kp=243，
∴km⋅kn=9×27=243，
∴km⋅kn=kp，即km+n=kp，
∴m+n=p．
4．（1）由题意得，
3⊕5=(3+5−1)2−2×3×5
=72−30
=49−30
=19，
即3⊕5的值是19；
（2）m−n的值是否与x的取值无关，
证明：由题意得，
m=x⊕3
=(x+3−1)2−2×x×3
=(x+2)2−6x
=x2+4x+4−6x
=x2−2x+4；
n=1⊕(2−x)
=(1+2−x−1)2−2×1×(2−x)
=(2−x)2−(4−2x)
=x2−4x+4+2x−4
=x2−2x，
∴m−n=(x2−2x+4)−(x2−2x)
=x2−2x+4−x2+2x
=4，
∴m−n的值是否与x的取值无关．
1．【答案】D
2．【答案】 3456 6273
3．【答案】分析问题：方案1：(n−1)d；2k；2(n−1)dk；方案2：2(k−1)dn；方案3：22×(2k−1)nd；解决问题：方案3路径最短。
4．【答案】(1)（ⅰ）7，5；（ⅱ）n+12−n−12；
(2)4k2−m2+k−m
5．【答案】(1)9+23，15+23
(2)猜想结论：Sn+1−Sn=6n−3+23，证明见解析
(3)7500+1003
一、单选题
1．【答案】D
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】D
10．【答案】C
故选C
二、填空题
11．【答案】16
12．【答案】3
13．【答案】xx+5x−5
14．【答案】−6
15．【答案】1或8
三、解答题
16．解：2a+b2a−b−a+b4a−b
=4a2−b2−4a2+ab−4ab+b2
=−3ab，
当a=−2,b=2时，
原式=−3×−2×2=62；
17．（1）192−172=8×9；
（2）(2n+1)2−(2n−1)2=8n；
（3）(2n+1)2−(2n−1)2
=(2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1)
=4n×2
=8n．
18．（1）解：设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为xkg，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为1000−xkg，
由题意得：x=1.21000−x−100，
解得x=500，
则1000−x=1000−500=500，
答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为500kg，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为500kg．
（2）解：由题意得：“丰收1号”小麦试验田的面积为a2−1m2，“丰收2号”小麦试验田的面积为a−12m2，
则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为500a2−1kg，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为500a−12kg，
∵a>1，
∴a2−1−a−12=a2−1−a2−2a+1=2a−2=2a−1>0，
∴a2−1>a−12>0，
∴500a2−1S2，理由见解析
20．【答案】(1)52
(2)5
(3)12n2+2n+2
租用甲种货车的数量 / 辆
3
7
x
租用的甲种货车最多运送机器的数量 / 台
135
租用的乙种货车最多运送机器的数量 / 台
150
租用甲种货车的数量 / 辆
3
7
x
租用甲种货车的费用/ 元
2800
租用乙种货车的费用 / 元
280
（1）计算：(2a−3b)(2a+3b)．
解：原式=(2a)2−(3b)2=4a2−9b2．
（2）计算：(2a−3b)(a+3b)．
解：原式=2a2−(3b)2=2a2−9b2．
A=a+22−a4−b−9. =a2+2a①+4②−4a③+ab④−9
=a2−a+ab−5
小禾的解法：
3x+y2−x+3y2
=3x+y+x+3y3x+y−x−3y①
=4x+4y2x+4y ②
=8x+yx+2y ③
小禾的检验：
当x=0，y=1时，
x+−x+3y2 8x+yx+2y
=12−32 8×1×2
=1−9 =16
∵−8≠16
∴分解因式错误
N
奇数
4的倍数
表示结果
1=12−02
4=22−02
3=22−12
8=32−12
5=32−22
12=42−22
7=42−32
16=52−32
9=52−42
20=62−42
⋯
⋯
一般结论
2n−1=n2−n−12
4n=______
假设4n−2=x2−y2，其中x，y均为自然数．
分下列三种情形分析：
①若x，y均为偶数，设x=2k，y=2m，其中k，m均为自然数，
则x2−y2=2k2−2m2=4k2−m2为4的倍数．
而4n−2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数．
②若x，y均为奇数，设x=2k+1，y=2m+1，其中k，m均为自然数，
则x2−y2=2k+12−2m+12=______为4的倍数．
而4n−2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数．
③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2−y2为奇数．
而4n−2是偶数，矛盾．故x，y不可能一个是奇数一个是偶数．
由①②③可知，猜测正确．
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31