2025年中考数学专项复习第02讲 整式与因式分解(练习)(解析版)

这是一份2025年中考数学专项复习第02讲 整式与因式分解(练习)(解析版)，共62页。
\l "_Tc182386186" ?题型01 实际问题中的代数式
\l "_Tc182386187" ?题型02 求代数式的值
\l "_Tc182386188" ?题型03 整式的相关概念
\l "_Tc182386189" ?题型04 整式的加减
\l "_Tc182386190" ?题型05 幂的混合运算
\l "_Tc182386191" ?题型06 整式的乘除
\l "_Tc182386192" ?题型07 利用乘法公式变形求解
\l "_Tc182386193" ?题型08 乘法公式的应用
\l "_Tc182386194" ?题型09 整式的化简求值-直接代入法
\l "_Tc182386195" ?题型10 整式的化简求值-整体代入法
\l "_Tc182386196" ?题型11 整式的混合运算
\l "_Tc182386197" ?题型12 判断因式分解的正误
\l "_Tc182386198" ?题型13 因式分解
\l "_Tc182386199" ?题型14 因式分解的应用
\l "_Tc182386200" ?题型15 判断整式运算或因式分解的错误步骤
\l "_Tc182386201" ?题型16 图形类规律探索
\l "_Tc182386202" ?题型17 数字类规律探索
\l "_Tc182386203" ?题型18 数式中的新定义问题
\l "_Tc182386204"
\l "_Tc182386205"
?题型01 实际问题中的代数式
1．（2024·河南信阳·一模）某商场出售一件商品，在原标价基础上实行以下四种调价方案，其中调价后售价最低的是（ ）
A．先打九五折，再打九五折B．先提价10%，再打八折
C．先提价30%，再降价35%D．先打七五折，再提价10%
【答案】D
【分析】本题考查了代数式，打折，有理数大小比较，准确列出符合题意的代数式，设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可．
【详解】解：设原件为x元，
选项A：∵先打九五折，再打九五折，
∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元，
选项B：∵先提价10%，再打八折，
∴调价后的价格为1+10%x×0.8=1.1x×0.8=0.88x元，
选项C：∵先提价30%，再降价35%，
∴调价后的价格为=1+30%x×1-35%=1.3x×0.65=0.845x元，
选项D：∵先打七五折，再提价10%，
∴调价后的价格为0.75x×1+10%=0.75x×1.1=0.825x元，
∵0.825xN，
理由：∵M=3x2-4x+2，N=2x2-4x+3，
∴2M-N=23x2-4x+2-2x2-4x+3=4x2-4x+1=2x-12≥0，
∵x≠12，
∴2x-12>0．
∴2M>N．
5．（2024·河北秦皇岛·一模）已知整式a2+ab-★ab-b2-5，其中“★”处的系数被墨水污染了．当a=3，b=-2时，该整式的值为30．
(1)则★所表示的数字是多少？
(2)嘉淇说该代数式的值一定是正的，你认为嘉淇的说法对吗？说明理由．
【答案】(1)★=3；
(2)嘉淇的说法是正确的，理由见解析．
【分析】（1）把a=3，b=-2代入整式得9-6-★-6-4-5=30，解之即可求解；
（2）把（1）中所得的结果代入整式，化简后再利用完全平方公式即可求解；
本题考查了整式的运算，完全平方公式，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：将a=3，b=-2代入a2+ab-★ab-b2-5得，
9-6-★-6-4-5=30，
即3+6★+9=30，
解得★=3；
（2）解：嘉淇的说法是正确的，理由如下：
由（1）求得的结果可得该整式为
a2+ab-3ab-b2-5=a2-2ab+b2+5=a-b2+5，
∵a-b2≥0，
∴a-b2+5>0，
∴嘉淇的说法是正确的．
?题型05 幂的混合运算
1．（2024·河北·模拟预测）下列运算中，与2a2b⋅-2b2运算结果相同的是（ ）
A．2b⋅2ab2B．-8a2+b3C．-2a2⋅b3D．-2a2b3
【答案】A
【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项、积的乘方，根据同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项、积的乘方的运算法则逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：2a2b⋅-2b2=2a2b⋅4b2=8a2b3，
A、2b⋅2ab2=2b⋅4a2b2=8a2b3，故A符合题意；
B、-8a2和b3不是同类项，故不能直接相加，故B不符合题意；
C、-2a2⋅b3=4a2⋅b3=4a2b3，故C不符合题意；
D、-2a2b3=-8a6b3，故D不符合题意；
故选：A．
2．（2020·四川乐山·中考真题）已知3m=4，32m-4n=2．若9n=x，则x的值为（ ）
A．8B．4C．22D．2
【答案】C
【分析】逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由32m-4n=3m÷9n2即可解答．
【详解】∵32m-4n=32m-2n=3m-2n2=3m÷9n2，
依题意得：4x2=2，x>0．
∴4x=2，
∴x=22，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变形．
3．（2023·湖北襄阳·模拟预测）a32÷a⋅a3+a2= ．
【答案】2a2
【分析】先根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算，再根据同底数幂的除法进行计算，最后合并同类项即可．
【详解】解：a32÷a⋅a3+a2
=a6÷a2+a2
=a2+a2
=2a2
故答案为：2a2．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
4．（2024·广东江门·一模）计算：
(1)2024+120240-18⋅cs45°+12-2；
(2)-a22⋅a2⋅-b23+2a3b32．
【答案】(1)2
(2)5a6b6
【分析】本题主要考查了整式的运算，实数混合运算；
（1）先计零指数幂，化简二次根式，负整数幂，代入三角函数值，再计算加减即可；
（2）先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式=1-32×22+4
=1-3+4
=2；
（2）解：原式=-a4⋅a2⋅-b6+4a6b6
=a6b6+4a6b6
=5a6b6．
?题型06 整式的乘除
1．（2024·陕西渭南·模拟预测）下列计算错误的是（ ）
A．2m2m+1=2m3+2m2B．-3m3n2=9m6n2
C．m2n-2mn2=-mnD．m6÷m2=m4
【答案】C
【分析】本题主要考查单项式乘多项式、幂的运算、合并同类项，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据单项式乘多项式、积的乘方、合并同类项及同底数幂的除法运算法则逐一判断即可．
【详解】解：A、2m2(m+1)=2m3+2m2，故本选项不符合题意；
B、(-3m3n)2=9m6n2，故本选项不符合题意；
C、m2n-2mn2，不是同类项，不能合并，故本选项符合题意；
D、m6÷m2=m4，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（2024·河北·模拟预测）已知一台计算机的运算速度为1.2×109次/秒，这台计算机9×103秒运算的次数用科学记数法表示为（ ）
A．10.8×1012B．1.08×1014C．1.08×1028D．1.08×1013
【答案】D
【分析】此题考查了科学记数法，单项式的乘法以及同底数幂的乘法．根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可．
【详解】解：计算机工作9×103秒运算的次数为：
1.2×109×9×103
=1.2×9×(109×103)
=10.8×1012
=1.08×1013．
故选：D．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）若m×4x2y2=12x2y3-16x3y2，则m=（ ）
A．4x-3yB．-4x+3yC．4x+3yD．-4x-3y
【答案】B
【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据一个因数等于积除以另一个因数，即可解答．
【详解】解：∵m×4x2y2=12x2y3-16x3y2，
∴m=12x2y3-16x3y2÷4x2y2=3y-4x=-4x+3y，
故选：B．
4．（2023·陕西西安·二模）先化简，再求值：x+2yx-2y+x+2y2-2xy÷2x，其中x=5，y=-8．
【答案】x+y，-3
【分析】先利用完全平方公式，平方差公式与单项式乘多项式运算法则去掉括号，然后再合并同列项计算，最后代入x，y计算即可．
【详解】解：x+2yx-2y+x+2y2-2xy÷2x
=x2-4y2+x2+4xy+4y2-2xy÷2x
=2x2+2xy÷2x
=x+y，
当x=5，y=-8时，原式=5+-8=-3．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则．
5．（2024·河北·模拟预测）如图1是一个长为m，宽为n的矩形（m>n）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的32．
(1)求m与n的关系；
(2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积．
【答案】(1)m=4n
(2)263
【分析】本题考查列代数式、整式的加减、多项式乘多项式、代数式求值，看懂图形，正确列出代数式是解答的关键．
（1）先根据图形，用m、n表示出矩形的长、宽，再根据长和宽的关系可得结论；
（2）根据图形，用m、n表示出大矩形的面积，进而求得n2，进而可得阴影面积的值．
【详解】（1）解：由题意，大矩形的长为m+5n，宽为m+2n，
∵大矩形的长是宽的32，
∴m+5n=32m+2n，
化简，得m=4n；
（2）解：∵大矩形的面积为m+2nm+5n=m2+7mn+10n2，大矩形的面积为18，m=4n，
∴16n2+28n2+10n2=54n2=18，
解得n2=13，
∴阴影部分的面积为18-7mn=18-28n2=263．
?题型07 利用乘法公式变形求解
1．（2024·湖南娄底·模拟预测）已知a+b=7,ab=6，则(a-b)2-6(b-a)+9= ．
【答案】4或64/64或4
【分析】先根据完全平方公式求出a-b的值，再将要求的代数式利用完全平方公式变形，最后代入求值即可．
本题考查了代数式求值，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：∵a+b=7,
∴a+b²=49,
即a2+2ab+b2=49,
∵ab=6,
∴a2+12+b2=49,
∵a2+b2=37,
∴a-b2+2ab=37,
∴a-b2+12=37,
∴a-b2=25,
∴a-b=±5,
∴a-b2-6b-a+9
=a-b2+6a-b+9
=a-b+32,
当a-b=5时，原式=5+32=64，
当a-b=-5时，原式=-5+32=4，
综上，a-b2-6b-a+9的值为4或64，
故答案为：4或64．
2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）若x1，x2是方程x2+2x-1010=0的两个根，则x12+x22= ．
【答案】2024
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，则x1+x2=-ba、x1⋅x2=ca.
根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=-2、x1⋅x2=-1010，然后根据完全平方公式变形求解即可．
【详解】解：∵x1，x2是方程x2+2x-1010=0的两个根，
∴x1+x2=-ba=-21=-2、x1⋅x2=ca=-10101=-1010，
∴x12+x22=x1+x22-2x1⋅x2=-22-2×-1010=2024．
故答案是：2024．
3．（2024·浙江宁波·二模）已知a-b=b-c=-1，a2+b2+c2=103，则ab+bc+ac= ．
【答案】13
【分析】本题考查完全平方公式，根据a-b=b-c=-1，推出a-c=-2，求出a-b2+b-c2+a-c2，结合a2+b2+c2=103，即可得出结果．
【详解】解：∵a-b=b-c=-1，
∴a-c=a-b+b-c=-1-1=-2，
∴a-b2+b-c2+a-c2=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac
=2a2+b2+c2-2ab+bc+ac
∵a2+b2+c2=103
∴1+1+4=2×103-2ab+bc+ac
∴ab+bc+ac=12×203-6=13；
故答案为：13．
4．（2024·河南安阳·模拟预测）阅读与思考：
若m+n=1，mn=-6，则由完全平方公式a+b2=a2+2ab+b2可得：m2+n2=m+n2-2mn=1-2×-6=13．请根据你的理解完成下列计算：
已知1x+1y=3，1xy=2．求代数式1x2+1y2的值．
【答案】5
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是关键，根据完全平方公式得出1x+1y2=1x2+1y2+2xy，代入已知数据进行计算即可．
【详解】解：∵1x+1y2=1x2+1y2+2xy，
∴1x2+1y2=1x+1y2-2xy
=32-2×2
=9-4
=5．
?题型08 乘法公式的应用
1．（2024·广西南宁·模拟预测）阅读材料：
例：求代数式2x2+4x-6的最小值．
解：2x2+4x-6=2x+12-8．
可知：当x=-1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8．
根据上面的方法可求多项式a2+b2-4a+6b+18的最小值是 ．
【答案】5
【分析】本题考查配方法求多项式的最值，读懂题意，利用完全平方公式配方将多项式化为a-22+b+32+5，利用代数式的非负性即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键．
【详解】解：a2+b2-4a+6b+18
= a2-4a+4+b2+6b+9+5
=a-22+b+32+5，
∵a-22≥0,b+32≥0，
∴多项式a2+b2-4a+6b+18的最小值是5，
故答案为：5．
2．（2024·河北唐山·模拟预测）探究活动：
（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 （写成多项式乘法的形式）；
（3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 ．
知识运用：
（4）用合理的方法计算：7.52×1.6-2.52×1.6．
【答案】（1）a2-b2；（2）a+ba-b；（3）a2-b2=a+ba-b；（4）80
【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
（1）根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积差即可求解；
（2）分别表示出阴影部分的长和宽，由面积公式就可求出面积即可；
（3）根据阴影部分的面积相等建立等式即可；
（4）根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：根据阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，即a2-b2，
故答案为：a2-b2．
（2）解：由图可知矩形的长是a+b，宽是a-b，所以面积是a+ba-b，
故答案为：a+ba-b．
（3）解：根据阴影部分面积相等可得：a2-b2=a+ba-b，
故答案为：a2-b2=a+ba-b．
（4）解：7.52×1.6-2.52×1.6
=7.52-2.52×1.6
=7.5-2.57.5+2.5×1.6
=5×10×1.6
=80．
3．（2024·河北石家庄·二模）现有如图1所示的甲、乙、丙三种卡片，卡片的边长如图所示a>b.如图2，用1张甲、1张乙和2张丙卡片可以拼成一个边长为a+b的正方形，用两种方式表示该正方形面积可以得到等式：a+b2=a2+2ab+b2，也就验证了完全平方公式.
【发现】
（1）如图3，嘉淇用这三种卡片拼成一个长为2a+b，宽为a+2b的矩形，仿照例子写出一个关于a，b的等式；
（2）嘉淇还发现拼成矩形所需卡片的张数和整式的乘法计算结果中各项的系数有关.根据嘉淇的发现，若要用这三种卡片拼成一个长为a+2b，宽为a+b的矩形，不画图形，试通过计算说明需要丙种卡片多少张？
【应用】
（3）现用甲种卡片1张，乙种卡片4张，丙种卡片m张（m为正整数），拼成一个矩形，直接写出m所有可能的值.

【答案】（1）2a+ba+2b=2a2+5ab+2b2；（2）需要丙种卡片3张；（3）4或5
【分析】此题考查多项式的乘法与图形的面积，数形结合是解题的关键.
（1）由图3，用两种方法表示矩形的面积，即可得到答案；
（2）由a+2ba+b=a2+3ab+2b2及每张丙种卡片的面积为ab，即可得到答案；
（3）甲卡片面积为a2，系数为1，乙种卡片4张，面积为4b2，系数为4，丙种卡片m张，即ab的系数为m,分两种情况进行解答即可.
【详解】（1）嘉淇用这三种卡片拼成一个长为2a+b，宽为a+2b的矩形，则面积表示为2a+ba+2b，还可以看作2张甲、2张乙和4张丙卡片拼成的，则面积表示为2a2+5ab+2b2，
∴2a+ba+2b=2a2+5ab+2b2；
（2）由题意可知矩形的面积为a+2ba+b=a2+3ab+2b2，
∵每张丙种卡片的面积为ab，
∴需要丙种卡片3张；
（3）甲种卡片1张，乙种卡片4张，丙种卡片m张（m为正整数），拼成一个矩形，可知，甲卡片面积为a2，系数为1，乙种卡片4张，面积为4b2，系数为4，丙种卡片m张，即ab的系数为m,
∴矩形的面积为：①a2+mab+4b2=a+2b2=a2+4ab+4b2，即m=4，
②a2+mab+4b2=a+ba+4b=a2+5ab+4b2，即m=5，
综上可知，m所有可能的值为4或5.
4．（2023·山东青岛·二模）“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例：
实例一：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之…，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如实例图一），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．他利用直角边为a和b，斜边为c的四个全等的直角三角形拼成如图所示的图形（如实例图一），由S大正方形=4S直角三角形+S小正方形得c2=4×12ab+b-a2，化简得：a2+b2=c2．

实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于x的方程x2+ax=b2的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a2，AC=b，再在斜边AB上载取BD=BC=a2，则AD的长就是该方程的一个正根（如实例图二）．

根据以上阅读材料回答下面的问题：
(1)如图1，请利用图形中面积的等量关系，写出甲图要证明的数学公式是______．乙图要证明的数学公式是______；

(2)如图2，利用欧几里得的方法求方程x2+4x-4=0的一个正根．

(3)如图3，已知⊙O，AB为直径，点C为圆上一点，过点C作CD⊥AB于点D，连接CO，设DA=a，BD=b，请利用图3证明：a+b2≥ab．

【答案】(1)完全平方公式，平方差公式
(2)22-2
(3)证明过程见解析
【分析】（1）利用面积法解决问题即可；
（2）如图2，由勾股定理求得AB的长，即可求得AD的长，即可解决问题；
（3）如图3，证明△ACD∼△CBD，可得CD2=AD⋅BD，再由勾股定理可得OC2≥CD2，即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意可得：S甲=a+b2，S甲=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2，
∴a+b2=a2+2ab+b2，
S乙=a2，S乙=a-b2+b2+2ba-b，
∴a2=a-b2+b2+2ba-b，即a2-b2=a+ba-b，
∴甲图要证明的数学公式是完全平方公式，乙图要证明的数学公式是平方差公式，
故答案为：完全平方公式，平方差公式；
（2）解；如图，由题意可得：x2+4x=4，
∴BC=42=2，AC=2，∠ACB=90°，
∴AB=22+22=22，AD=22-2，
∴方程x2+4x-4=0的一个正根为：22-2；

（3）解：连接AC、BC，∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠CAB=∠BCD，
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ACD∼△CBD，
∴CDBD=ADCD，即CD2=AD⋅BD，
∵DA=a，BD=b，
∴CD=ab，
在Rt△COD中，OC2=CD2+OD2，
∴OC2≥CD2，即OC≥CD，
又∵OC=a+b2，
∴a+b2≥ab．

【点睛】本题考查完全平方公式、平方差公式、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，理解题意，学会利用面积法解决问题，学会用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
?题型09 整式的化简求值-直接代入法
1．（2024·广东汕头·一模）已知1-a+2b-12=0，则2a+4b-7的值为 ．
【答案】-3
【分析】本题考查了算术平方根以及平方的非负性，已知字母的值求代数式的值，据此列式1-a=0，2b-1=0，算出a，b的值，再代入2a+4b-7，进行计算，即可作答．
【详解】解：∵1-a+2b-12=0，
∴1-a=0，2b-1=0，
∴a=1，b=12，
则2a+4b-7=2×1+4×12-7=2+2-7=-3，
故答案为：-3．
2．（2024·青海西宁·二模）先化简，再求值：(x-2y)2+2x-yx+y-3xx-2y，其中x=2，y=-1．
【答案】2xy+2y2，-2
【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．首先根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项完成化简，然后将x=2，y=-1代入求值即可．
【详解】解：原式=x2-4xy+4y2+2x2-2y2-3x2+6xy
=2xy+2y2，
当x=2，y=-1时，
原式=2×2×-1+2×-12
=-4+2
=-2．
3．（2024·吉林长春·三模）先化简，再求值：x+2y2-x+2yx-2y÷4y， 其中x=1，y=5-12．
【答案】x+2y，5
【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值，先根据混合运算顺序和运算法则化简原式，再代入求解即可．
【详解】解：x+2y2-x+2yx-2y÷4y
=x2+4xy+4y2-x2-4y2÷4y
=x2+4xy+4y2-x2+4y2÷4y
=4xy+8y2÷4y
=x+2y，
当x=1，y=5-12时，原式=1+2×5-12=1+5-1=5．
4．（2024·广东东莞·一模）求代数式2x-y2+-4x3y+6x2y2÷2xy的值，其中x-3+x+y=0
【答案】2y2-xy，27
【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，绝对值和算术平方根的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．
先利用完全平方公式，多项式除以单项式的法则进行计算，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：2(x-y)2+(-4x3y+6x2y2)÷2xy
=2(x2-2xy+y2)-2x2+3xy
=2x2-4xy+2y2-2x2+3xy
=2y2-xy，
∵x-3+x+y=0，
∴x-3=0，x+y=0，
解得：x=3，y=-3，
∴当x=3，y=-3时，原式=2×(-3)2-3×(-3)=2×9+9=18+9=27．
?题型10 整式的化简求值-整体代入法
1．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知a2+3ab=5，则(a+b)(a+2b)-2b2的值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查整式的化简求值，把要求的式子展开化简后，利用整体思想求值即可．
【详解】∵a2+3ab=5，
∴(a+b)(a+2b)-2b2=a2+2ab+ab+2b2-2b2=a2+3ab=5．
故答案为：5．
2．（2023·江苏盐城·模拟预测）若b+a=3，则9-6a+a2-b2的值为 ．
【答案】0
【分析】本题考查了完全平方公式以及已知式子的值，求代数式的值，先整理9-6a+a2-b2得出a-32-b2，再把b+a=3代入计算，即可作答．
【详解】解：9-6a+a2-b2
=a2-6a+9-b2
=a-32-b2
∵b+a=3
∴a-3=-b
把a-3=-b代入a-32-b2，
得-b2-b2=0
故答案为：0
3．（2024·福建福州·模拟预测）若实数m满足m-12+(m-2)2=3，则m-1m-2的值是 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，正确运用整式的混合运算法则对代数式进行变形成为解题的关键．
由m-12+(m-2)2=3可得m2-3m=-1，再计算m-1m-2并将m2-3m=-1整体代入即可解答．
【详解】解：∵m-12+(m-2)2=3，
∴m2-2m+1+m2-4m+4=3，即m2-3m=-1，
∴m-1m-2=m2-3m+2=m2-3m+2=-1+2=1．
故答案为1．
4．（2024·江苏徐州·模拟预测）关于x的一元二次方程ax2+bx-3=0的一个根是x=1，则代数式2027-a-b的值为 ．
【答案】2024
【分析】此题考查了一元二次方程的解和代数式求值，根据一元二次方程解的定义得到a+b=3，再整体代入即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx-3=0的一个根是x=1，
∴a+b-3=0，
则a+b=3，
∴2027-a-b=2027-a+b=2027-3=2024
故答案为：2024
?题型11 整式的混合运算
1．（2024·河北·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A．a+12=a2+1B．a-12=a2-1
C．a+1+a-1=2aD．a+1a-1=2a-1
【答案】C
【分析】本题考查整式的乘法公式及加减运算，根据完全平方公式和平方差公式及整式加减运算法则逐一计算判断即可．
【详解】解：A．a+12=a2+2a+1，原式计算错误，不符合题意；
B．a-12=a2-2a+1，原式计算错误，不符合题意；
C．a+1+a-1=2a，原式计算正确，符合题意；
D．a+1a-1=a2-1，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
2．（2024·广东广州·二模）已知T=2a+3b2a-3b-a3a-b+9b2．
(1)化简T；
(2)若a，b互为相反数，求T的值．
【答案】(1)a2+ab
(2)0
【分析】本题主要考查整式的化简以及求值，熟练掌握平方差公式，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的规则是解题的关键．
（1）利用平方差公式，单项式乘以多项式规则展开后，合并同类项即可；
（2）根据a，b互为相反数，得b=-a，代入第（1）问化简的式子即可求解．
【详解】（1）T=2a+3b2a-3b-a3a-b+9b2
=(2a)2-(3b)2-3a2+ab+9b2
=4a2-9b2-3a2+ab+9b2
=a2+ab
（2）∵ a，b互为相反数，
∴ b=-a，
∴ T=a2+ab=a2+a(-a)=a2-a2=0．
3．（2024·河北邯郸·二模）数学课上，老师给出一个整式ax2+bx-x+1x-1（其中a，b为常数，且表示系数），然后让同学给a，b赋予不同的数值进行探究．
(1)甲同学给出一组数据，最后计算结果为x+12，请分别求出甲同学给出的a，b的值；
(2)乙同学给出了a=5，b=-4，请按照乙同学给出的数值说明该整式的结果为非负数．
【答案】(1)a=2，b=2
(2)证明见解析
【分析】本题考查了整式混合运算，熟练掌握整数的混合运算步骤，特别是公式法是解题的关键．
（1）根据题意得出ax2+bx-x+1x-1=x+12，化简再利用待定系数法求解即可；
（2）代入化简，然后配方成完全平方式证明即可．
【详解】（1）解：由题意，得：ax2+bx-x+1x-1=x+12，
化简，得：ax2+bx-x2+1=x2+2x+1，
即a-1x2+bx+1=x2+2x+1，
∴a-1=1，且b=2，
∴a=2，b=2；
（2）当a=5，b=-4时，
ax2+bx-x+1x-1
=a-1x2+bx+1
=4x2-4x+1
=2x-12≥0，
即该整式的结果为非负数．
4．（2024·河北张家口·三模）如图1，2，约定：上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式．
(1)求代数式M；
(2)嘉嘉说，无论x取什么值，M的值一定大于N的值，嘉嘉的说法是否正确？请通过计算说明．
【答案】(1)x2-2x+3
(2)嘉嘉的说法正确，理由见解析；
【分析】本题考查的是整式的混合运算，平方差公式的应用，理解题意是关键；
（1）根据加法的意义列式计算即可；
（2）先求解N，再计算M-N与0比较大小，从而可得答案．
【详解】（1）解：由题意可得：M=2x2-5x+1-x2-3x-2
=2x2-5x+1-x2+3x+2
=x2-2x+3；
（2）嘉嘉的说法正确；理由如下：
由题意可得：N=x-1x+1-2x+1+5
=x2-1-2x-2+5
=x2-2x+2，
∵M-N=x2-2x+3-x2-2x+2
=x2-2x+3-x2+2x-2
=1>0，
∴M>N．
?题型12 判断因式分解的正误
1．（2024·安徽阜阳·模拟预测）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+1=x+12B．x2+2x-1=x-12
C．2x2-2=2x2-1=2x+1x-1D．x2-x+2=xx-1+2
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义及方法逐项分析即可．本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
【详解】解：选项A，B中的等式不成立；
选项C中，2x2-2=2x2-1=2x+1x-1，正确．
D选项中，多项式x2-x+2在实数范围内不能因式分解；
故选C．
2．（2022·河北·一模）下列关于4a+2的叙述，错误的是（ ）
A．4a+2的次数是1B．4a+2表示a的4倍与2的和
C．4a+2是多项式D．4a+2可因式分解为4(a+1)
【答案】D
【分析】根据多项式的项、次数及多项式的因式分解的条件即可得出答案．
【详解】解：A.4a+2的次数是1，故答案正确；
B .4a+2表示a的4倍与2的和，故答案正确；
C. 4a+2是多项式，故答案正确；
D. 4a+2进行因式分解为：2(2a+1)，故答案错误；
故选D．
【点睛】本题考查了多项式项、次数及多项式的因式分解，熟知多项式的项和次数，多项式可因式分解的条件是解题的关键．
3．（2024·河北秦皇岛·一模）对于①2x-xy=x2-y，②x-32=x2-6x+9，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【分析】此题考查了因式分解和整式乘法的概念，熟练掌握有关概念是解题的关键．
根据因式分解和整式乘法的有关概念，对式子进行判断即可．
【详解】解：①2x-xy=x2-y，从左向右的变形，将和的形式转化为乘积的形式，为因式分解；
②x-32=x2-6x+9，从左向右的变形，由乘积的形式转化为和的形式，为乘法运算；
故选：C．
4．（2023·河北石家庄·二模）数学学习中常见互逆运算，例如加法和减法互为逆运算，乘法和除法互为逆运算，分解因式和整式乘法也是互逆运算．请回答下列问题：
(1)①a+b2=a2+2ab+b2，②a2+2ab+b2=a+b2，③x-3xy=x1-3y，④x+3x-1=x2+2x-3是因式分解的_________（在括号内写序号）；
(2)小红是一名密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：a-b，x-y，x2-y2，a2-b2，x+y，a+b分别对应下列六个字：四、爱、学、中、我、十．现将x2-y2a2-x2-y2b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是哪四个字？
【答案】(1)②③
(2)我爱四十
【分析】（1）根据因式分解的定义即可求解；
（2）观察式子特点，首先提取公因式将待求式变形，接下来根据平方差公式进行分解因式，将结果与已知中所表示的意义相结合即可解答本题．
【详解】（1）解：②③
（2）解：提取公因式，利用平方差公式得：x2-y2a2-x2-y2b2=x2-y2a2-b2=a+ba-bx+yx-y，
所以对应的四个字可能是“我爱四十”．
【点睛】本题主要考查了因式分解法的应用，掌握公式法分解因式是解题的关键．
?题型13 因式分解
1．（2024·湖北恩施·模拟预测）把a2b-2ab2+b3分解因式正确的是（ ）
A．ba2-2ab+b2B．a2b-b2C．ba-b2D．a+b2
【答案】C
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式分解因式得到结果，即可做出判断．
【详解】解：原式=b(a2-2ab+b2)
=b(a-b)2．
故选：C
2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）把多项式3a2b-12ab+12b分解因式的结果是 ．
【答案】3ba-22
【分析】题目主要考查利用提公因式法及公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解方法是解题关键．
先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：3a2b-12ab+12b=3b(a2-4a+4)=3b(a-2)2，
故答案为：3ba-22．
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知x+3x-2+xx-2可因式分解成(ax+b)(2x+c)，其中a，b，c均为整数，求(a+b)c的值．
【答案】-1
【分析】本题考查因式分解，将(x+3)(x-2)+x(x-2)进行因式分解后，求出a,b,c的值，代入代数式计算即可．
【详解】解：∵x+3x-2+xx-2=x-2x+3+x=x-22x+3，
又x+3x-2+xx-2可因式分解成(ax+b)(2x+c)，
∴a=1,b=-2,c=3，
∴(a+b)c=1-23=-1．
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）用两种不同的方法计算：a+22-aa+2．（方法一：运用完全平方公式计算；方法二：运用因式分解计算，两种方法都须做）
【答案】2a+4
【分析】本题考查了完全平方公式，提公因式法进行因式分解等知识．熟练掌握完全平方公式，提公因式法进行因式分解是解题的关键．
根据完全平方公式，提公因式法进行因式分解，求解作答即可．
【详解】解：方法一：a+22-aa+2
=a2+4a+4-a2-2a
=2a+4．
方法二：a+22-aa+2
=a+2a+2-a
=2a+4．
?题型14 因式分解的应用
1．（2024·山西长治·模拟预测）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式a4-b4因式分解的结果是a-ba+ba2+b2，若取a=8，b=8时，则各个因式的值是：a-b=0，a+b=16，a2+b2=128，把这些值从小到大排列得到016128，于是就可以把“016128”作为一个六位数的密码，对于多项式27a3-3ab2，取a=4，b=1时，请你写出用上述方法产生的密码 ．
【答案】111213
【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键．
由题意知，27a3-3ab2=3a9a2-b2=3a-b⋅3a⋅3a+b，然后代值求解并作答即可．
【详解】解：27a3-3ab2=3a9a2-b2=3a-b⋅3a⋅3a+b，
当a=4，b=1时，3a-b=12-1=11，3a=12，3a+b=12+1=13，
∴密码为111213，
故答案为：111213．
2．（2024·四川成都·模拟预测）定义：若4n3-3n-2（n正整数，且00)，
∴4n3-3n-2=m(m+2)，
∴m2+2m-4n3-3n-2=0，
利用求根公式得：m=4n3-3n-1-1或m=-4n3-3n-1-10
∴抛物线开口向上，且对称性为y轴，当p>0时，n随p的增大而增大，
∵p为正整数
∴当p=1时，n有最小值为n=4p2+1=5，此时4n3-3n-2=483=21×23
∵当p=10时，n=401(不符合题意，舍去)，当p=11时，n=485，当p=12时，n=577，
∵0k≥3，d>0），如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
【答案】分析问题：方案1：(n-1)d；2k；2(n-1)dk；方案2：2(k-1)dn；方案3：22×(2k-1)nd；解决问题：方案3路径最短，理由见解析
【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求解；方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为d2+d22=2d2，根据题意得一共有2n列，2k行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有2k-1个，即可得出总路径长；
解决问题：利用作差法比较三种方案即可．
题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键．
【详解】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d，
∴每行铲的路径长为(n-1)d，
∵每列有k个籽，呈交错规律排列，
∴相当于有2k行，
∴铲除全部籽的路径总长为2n-1dk，
故答案为：(n-1)d；2k；2(n-1)dk；
方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d，
∴每列铲的路径长为(k-1)d，
∵每行有n个籽，呈交错规律排列，，
∴相当于有2n列，
∴铲除全部籽的路径总长为2(k-1)dn，
故答案为：2(k-1)dn；
方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为d2+d22=2d2，
根据题意得一共有2n列，2k行，
斜着铲相当于有n条线段长，同时有2k-1个，
∴铲除全部籽的路径总长为：22×(2k-1)nd；
解决问题
由上得：2n-1dk-2k-1dn=2ndk-2dk-2ndk+2dn=2dn-k>0，
∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长；
2k-1dn-22×2k-1dn=[2-2k-2+22]dn，
∵n>k≥3，
当k=3时，
2-2×3-2+22=4-522>0，
2k-1dn-22×2k-1dn>0，
∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗．
4．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2-y2（x，y均为自然数）”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：
按上表规律，完成下列问题：
（ⅰ）24=（ ）2-（ ）2；
（ⅱ）4n=______；
(2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，⋯这些形如4n-2（n为正整数）的正整数N不能表示为x2-y2（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容．
【答案】(1)（ⅰ）7，5；（ⅱ）n+12-n-12；
(2)4k2-m2+k-m
【分析】（1）（ⅰ）根据规律即可求解；（ⅱ）根据规律即可求解；
（2）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可；
本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键．
【详解】（1）（ⅰ）由规律可得，24=72-52，
故答案为：7，5；
（ⅱ）由规律可得，4n=n+12-n-12，
故答案为：n+12-n-12；
（2）解：假设4n-2=x2-y2，其中x，y均为自然数．
分下列三种情形分析：
①若x，y均为偶数，设x=2k，y=2m，其中k，m均为自然数，
则x2-y2=2k2-2m2=4k2-m2为4的倍数．
而4n-2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数．
②若x，y均为奇数，设x=2k+1，y=2m+1，其中k，m均为自然数，
则x2-y2=2k+12-2m+12=4k2-m2+k-m为4的倍数．
而4n-2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数．
③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2-y2为奇数．
而4n-2是偶数，矛盾．故x，y不可能一个是奇数一个是偶数．
由①②③可知，猜测正确．
故答案为：4k2-m2+k-m．
5．（2023·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料：
将边长分别为a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．
则S2-S1=(a+b)2-a2
=(a+b)+a⋅(a+b)-a
=(2a+b)⋅b
=b+2ab
例如：当a=1，b=3时，S2-S1=3+23
根据以上材料解答下列问题：
(1)当a=1，b=3时，S3-S2=______，S4-S3=______；
(2)当a=1，b=3时，把边长为a+nb的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出Sn+1-Sn等于多少吗？并证明你的猜想；
(3)当a=1，b=3时，令t1=S2-S1，t2=S3-S2，t3=S4-S3，…，tn=Sn+1-Sn，且T=t1+t2+t3+⋯+t50，求T的值．
【答案】(1)9+23，15+23
(2)猜想结论：Sn+1-Sn=6n-3+23，证明见解析
(3)7500+1003
【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；
（2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；
（3）结合题意利用（2）中结论求解即可．
【详解】（1）解：S3-S2=(a+2b)2-(a+b)2
=a2+4ab+4b-(a2+2ab+b)
=a2+4ab+4b-a2-2ab-b
=2ab+3b
当a=1，b=3时，
原式=23+9；
S4-S3=(a+3b)2-(a+2b)2
=a2+6ab+9b-(a2+4ab+4b)
=a2+6ab+9b-a2-4ab-4b
=2ab+5b
当a=1，b=3时，
原式=23+15；
（2）猜想结论：Sn+1-Sn=6n-3+23
证明：Sn+1-Sn=(1+n3)2-1+(n-1)32
=2+(2n-1)3×3
=3(2n-1)+23
=6n-3+23；
（3）T=t1+t2+t3+⋯+t50
=S2-S1+S3-S2+S4-S3+⋯+S51-S50
=S51-S1
=(1+503)2-1
=7500+1003．
【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键．
一、单选题
1．（2024·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3=x6B．x3·x9=x27C．x23=x5D．x3÷x=x2
【答案】D
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、x3+x3=2x3，故此选项不符合题意；
B、x3·x9=x12，故此选项不符合题意；
C、x23=x6，故此选项不符合题意；
D、x3÷x=x2，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（2023·江苏南通·中考真题）若a2-4a-12=0，则2a2-8a-8的值为（ ）
A．24B．20C．18D．16
【答案】D
【分析】根据a2-4a-12=0得到a2-4a=12，再将整体代入2a2-8a-8中求值．
【详解】解：a2-4a-12=0，
得a2-4a=12，
2a2-8a-8变形为2(a2-4a)-8，
原式=2×12-8=16．
故选：D．
【点睛】本题考查代数式求值，将2a2-8a-8变形为2(a2-4a)-8是解题的关键．
3．（2024·海南·中考真题）下列计算中，正确的是（ ）
A．a8÷a4=a2B．3a2=6a2C．a23=a6D．3a+2b=5ab
【答案】C
【分析】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方计算，同底数幂除法计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、a8÷a4=a4，原式计算错误，不符合题意；
B、3a2=9a2，原式计算错误，不符合题意；
C、a23=a6，原式计算正确，符合题意；
D、3a与2b不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
4．（2024·四川巴中·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．3a+b=3abB．a3⋅a2=a5
C．a8÷a2=a4a≠0D．a-b2=a2-b2
【答案】B
【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘除法，完全平方公式式．根据合并同类项，同底数幂的乘除法，完全平方公式式逐项计算，即可判断．
【详解】解：3a和b不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；
a3⋅a2=a5，故B选项符合题意；
a8÷a2=a6≠a4a≠0，故C选项不符合题意；
a-b2=a2-2ab+b2≠a2-b2，故D选项不符合题意．
故选：B．
5．（2023·吉林·中考真题）下列各式运算结果为a⁵的是（ ）
A．a23B．a²+a³C．a²⋅a³D．a10÷a2
【答案】C
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，根据以上运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：A．a23=a6，故该选项不符合题意；
B．a2和a3不是同类项不能合并，故该选项不符合题意；
C．a2⋅a3=a5，故该选项符合题意；
D．a10÷a2=a8，故该选项不符合题意；
故选：C
6．（2024·云南·中考真题）分解因式：a3-9a=（ ）
A．aa-3a+3B．aa2+9C．a-3a+3D．a2a-9
【答案】A
【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键．
将a3-9a先提取公因式，再运用平方差公式分解即可．
【详解】解：a3-9a=aa2-9=aa+3a-3，
故选：A．
7．（2023·湖北宜昌·中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（ ）．
A．左上角的数字为a+1B．左下角的数字为a+7
C．右下角的数字为a+8D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
【答案】D
【分析】根据日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三个数，表达规律即可．
【详解】解：日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，
任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则有：
左上角的数字为a-1，故选项A错误，不符合题意；
左下角的数字为a+6，故选项B错误，不符合题意；
右下角的数字为a+7，故选项C错误，不符合题意；
把方框中4个位置的数相加，即：a-1+a+a+6+a+7=4a+12=4a+3，结果是4的倍数，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
8．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（ ）
A．48、58、68B．58、78、98C．76、156、316D．78、158、318
【答案】D
【分析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可
【详解】解：∵3×2+2=8，
8×2+2=18，
18×2+2=38，
∴第5个数为38×2+2=78，
第6个数为78×2+2=158，
第7个数为158×2+2=318，
故选：D．
9．（2024·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，⋯，第n个代数式是（ ）
A．2xnB．n-1xnC．nxn+1D．n+1xn
【答案】D
【分析】本题考查了数列的规律变化，根据数列找到变化规律即可求解，仔细观察和总结规律是解题的关键．
【详解】解：∵按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，⋯，
∴第n个代数式是n+1xn，
故选：D．
10．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA=1，则OG=（ ）
A．125564B．12564C．6427D．32327
【答案】C
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解∠BOA=∠BOC=⋯=360°12=30°，可得OAOB=OBOC=OCOD=⋯=cs30°=32，再进一步探究即可；
【详解】解：∵12个相似的直角三角形，
∴∠BOA=∠BOC=⋯=360°12=30°，
OAOB=OBOC=OCOD=⋯=cs30°=32，
∵OA=1，
∴OB=233=1×233，
OC=43=1×2332，
OD=1×2333=893，⋯
∴OG=1×2336=6427，
故选C
二、填空题
11．（2023·四川乐山·中考真题）若m、n满足3m-n-4=0，则8m÷2n= ．
【答案】16
【分析】先将已知3m-n-4=0变形为3m-n=4，再将8m÷2n变形为23m-n，然后整体代入即可．
【详解】解：∵3m-n-4=0
∴3m-n=4
∴8m÷2n=23m÷2n=23m÷2n=23m-n=24=16
故答案为：16．
【点睛】本题考查代数式值，幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法法则是解题的关键．
12．（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知a+1a=5，则a2+1a2的值是 ．
【答案】3
【分析】根据a+1a=5，通过平方变形可以求得所求式子的值．
【详解】解：∵a+1a=5，
∴a+1a2=5，
∴a2+1a2+2=5，
∴a2+1a2=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式．
13．（2024·北京·中考真题）分解因式：x3-25x= .
【答案】xx+5x-5
【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．
【详解】x3-25x=xx2-52=xx+5x-5．
故答案为：xx+5x-5．
14．（2023·江苏苏州·中考真题）已知一次函数y=kx+b的图象经过点1,3和-1,2，则k2-b2= ．
【答案】-6
【分析】把点1,3和-1,2代入y=kx+b，可得k+b=3k-b=-2，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过点1,3和-1,2，
∴k+b=3-k+b=2，即k+b=3k-b=-2，
∴k2-b2=k+bk-b=3×-2=-6；
故答案为：-6
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键．
15．（2024·四川德阳·中考真题）数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a、b，你认为a可以是 （填上一个数字即可）．
【答案】1/8
【分析】本题考查了数字规律，理解题意是解题的关键．由于两个中心圆圈有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，否则不满足任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入，故中心圆圈只能是1或者8．
【详解】解：∵ 两个中心圆圈分别有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入．
∴ 位于两个中心圆圈的数字a、b，只可能是1或者8．
故答案为：1（或8）．
三、解答题
16．（2024·内蒙古通辽·中考真题）先化简，再求值：2a+b2a-b-a+b4a-b，其中a=-2,b=2．
【答案】-3ab，62
【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算整式的乘法运算，再合并同类项，最后代入计算即可；
【详解】解：2a+b2a-b-a+b4a-b
=4a2-b2-4a2+ab-4ab+b2
=-3ab，
当a=-2,b=2时，
原式=-3×-2×2=62；
17．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式：32-12=8×1,52-32=8×2,72-52=8×3,92-72=8×4,⋯
(1)写出192-172的结果．
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】(1)8×9
(2)(2n+1)2-(2n-1)2=8n
(3)见解析
【分析】（1）根据题干的规律求解即可；
（2）根据题干的规律求解即可；
（3）将(2n+1)2-(2n-1)2因式分解，展开化简求解即可．
【详解】（1）192-172=8×9；
（2）(2n+1)2-(2n-1)2=8n；
（3）(2n+1)2-(2n-1)2
=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)
=4n×2
=8n．
【点睛】此题考查数字的变化规律，因式分解，整式乘法的混合运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的变化规律．
18．（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮1000kg，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少100kg，其中“丰收1号”小麦种植在边长为ama>1的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为a-1m的正方形试验田中．
(1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量；
(2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【答案】(1)种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为500kg，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为500kg
(2)“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；a+1a-1倍
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的性质、分式除法的应用，正确建立方程和熟练掌握分式除法的应用是解题关键．
（1）设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为xkg，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为1000-xkg，根据题意建立一元一次方程，解方程即可得；
（2）先分别求出两块试验田的面积，再求出单位面积产量，然后根据不等式的性质和分式的除法求解即可得．
【详解】（1）解：设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为xkg，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为1000-xkg，
由题意得：x=1.21000-x-100，
解得x=500，
则1000-x=1000-500=500，
答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为500kg，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为500kg．
（2）解：由题意得：“丰收1号”小麦试验田的面积为a2-1m2，“丰收2号”小麦试验田的面积为a-12m2，
则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为500a2-1kg，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为500a-12kg，
∵a>1，
∴a2-1-a-12=a2-1-a2-2a+1=2a-2=2a-1>0，
∴a2-1>a-12>0，
∴500a2-11)．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为S1,S2．
(1)请用含a的式子分别表示S1,S2；当a=2时，求S1+S2的值；
(2)比较S1与S2的大小，并说明理由．
【答案】(1)S1=a2+3a+2，S2=5a+1，当a=2时，S1+S2=23
(2)S1>S2，理由见解析
【分析】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到S1,S2，S1+S2，将a=2代入用=a2a表示S1+S2的等式中求值即可；
（2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可．
【详解】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：S甲=a2，S乙=a，S丙=1，
∴S1=S甲+3S乙+2S丙=a2+3a+2，S2=5S乙+S丙=5a+1，
∴S1+S2=a2+3a+2+5a+1=a2+8a+3，
∴当a=2时，S1+S2=22+8×2+3=23；
（2）S1>S2，理由如下：
∵S1=a2+3a+2，S2=5a+1
∴S1-S2=a2+3a+2-5a+1=a2-2a+1=a-12
∵a>1，
∴S1-S2=a-12>0，
∴S1>S2．
【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解题的关键．
20．（2023·山东青岛·中考真题）如图①，正方形ABCD的面积为1．

(1)如图②，延长AB到A1，使A1B=BA，延长BC到B1，使B1C=CB，则四边形AA1B1D的面积为______；
(2)如图③，延长AB到A2，使A2B=2BA，延长BC到B2，使B2C=2CB，则四边形AA2B2D的面积为______；
(3)延长AB到An，使AnB=nBA，延长BC到Bn，使BnC=nCB，则四边形AAnBnD的面积为______．
【答案】(1)52
(2)5
(3)12n2+2n+2
【分析】（1）由正方形ABCD的面积为1则边长AB=BC=CD=AD=1，根据已知A1B=BA=BC=B1C=CB=1，所以BB1=2，根据SAA1B1D=S△ABB1+S梯形AA1B1D，因为S△ABB1=12A1B·BB1，S梯形AA1B1D=12BB1+AD·AB，列式计算即可；
（2）与（1）相似，由正方形ABCD的面积为1，则边长AB=BC=CD=AD=1，根据已知A2B=2BA=2BC=B2C=2，所以BB1=3，根据S四边形AA2B2D=S△ABB2+S梯形ABB2D，因为S△ABB2=12A2B·BB2，S梯形ABB2D=12BB2+AD·AB，列式计算即可；
（3）由正方形ABCD的面积为1，则边长AB=BC=CD=AD=1，根据已知AnB=2BA=2BC=BnC=2，所以BBn=3，根据S四边形AAnBnD=S△ABBn+S梯形ABBnD，因为S△ABBn=12AnB·BBn，S梯形ABBnD=12BBn+AD·AB，列式计算即可．
【详解】（1）解：∵正方形ABCD的面积为1，
∴AB=BC=CD=AD=1，
∵A1B=BA，B1C=CB，
∴BB1=BC+CB1=2，A1B=1，
∵A1B⊥BB1，
∴S△ABB1=12A1B·BB1=12×1×2=1，
∵AD⊥AB，
∴S梯形AA1B1D=12BB1+AD·AB=12×1+2×1=32，
∵S四边形AA1B1D=S△ABB1+S梯形ABB2D，
∴S四边形AA1B1D=1+32=52；
故答案为：52；
（2）∵正方形ABCD的面积为1，
∴AB=BC=CD=AD=1，
∵A2B=2BA=2，B2C=2CB=2，
∴BB2=BC+CB2=2+1=3，A2B=2，
∵A2B⊥BB2，
∴S△ABB2=12A2B·BB2=12×2×2+1=3，
∵AD⊥AB，
∴S梯形ABB2D=12BB2+AD·AB=12×2+1+1×1=2，
∵S四边形AA2B2D=S△ABB2+S梯形ABB2D，
∴S四边形AA2B2D=3+2=5，
故答案为：5；
（3）∵正方形ABCD的面积为1，
∴AB=BC=CD=AD=1，
∵AnB=nBA=n，BnC=nCB=n，
∴BBn=BC+CBn=n+1，AnB=n，
∵AnB⊥BBn，
∴S△ABBn=12AnB·BBn=12×nn+1=12nn+1，
∵AD⊥AB，
∴S梯形ABBnD=12×BBn+AD·AB=12×n+1+1×1=12×n+2，
∵S四边形AAnBnD=S△ABBn+S梯形ABBnD，
∴S四边形AAnBnD=12nn+1+12n+2=12n2+2n+2，
故答案为：12n2+2n+2．
【点睛】本题考查了列代数式及代数式的求值，组合图形面积的计算，三角形的面积公式，梯形的面积公式，掌握相关知识是解决问题的关键．
租用甲种货车的数量 / 辆
3
7
x
租用的甲种货车最多运送机器的数量 / 台
135
租用的乙种货车最多运送机器的数量 / 台
150
租用甲种货车的数量 / 辆
3
7
x
租用甲种货车的费用/ 元
2800
租用乙种货车的费用 / 元
280
（1）计算：(2a-3b)(2a+3b)．
解：原式=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2．
（2）计算：(2a-3b)(a+3b)．
解：原式=2a2-(3b)2=2a2-9b2．
A=a+22-a4-b-9. =a2+2a①+4②-4a③+ab④-9
=a2-a+ab-5
小禾的解法：
3x+y2-x+3y2
=3x+y+x+3y3x+y-x-3y①
=4x+4y2x+4y ②
=8x+yx+2y ③
小禾的检验：
当x=0，y=1时，
x+-x+3y2 8x+yx+2y
=12-32 8×1×2
=1-9 =16
∵-8≠16
∴分解因式错误
N
奇数
4的倍数
表示结果
1=12-02
4=22-02
3=22-12
8=32-12
5=32-22
12=42-22
7=42-32
16=52-32
9=52-42
20=62-42
⋯
⋯
一般结论
2n-1=n2-n-12
4n=______
假设4n-2=x2-y2，其中x，y均为自然数．
分下列三种情形分析：
①若x，y均为偶数，设x=2k，y=2m，其中k，m均为自然数，
则x2-y2=2k2-2m2=4k2-m2为4的倍数．
而4n-2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数．
②若x，y均为奇数，设x=2k+1，y=2m+1，其中k，m均为自然数，
则x2-y2=2k+12-2m+12=______为4的倍数．
而4n-2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数．
③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2-y2为奇数．
而4n-2是偶数，矛盾．故x，y不可能一个是奇数一个是偶数．
由①②③可知，猜测正确．
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31