江苏锡山高级中学实验学校等2025-2026学年七年级下学期期中数学试题（含答案+解析）

这是一份江苏锡山高级中学实验学校等2025-2026学年七年级下学期期中数学试题（含答案+解析），共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.计算(−2a5b)3的结果是( )
A. −6a15b3B. 6a15b3C. 8a15b3D. −8a15b3
3.下列各式计算正确的是( )
A. a3+a3=a6B. a5+a2=a10C. a3÷a3=0D. (a4)2=a8
4.计算(2x−y)2的结果是( )
A. 4x2−4xy+y2B. 4x2+4xy+y2C. 4x2+y2D. 4x2−y2
5.计算−x+yx+y的结果是( )
A. x2−y2B. −x2+y2C. −x2−y2D. x2+y2
6.从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为( )
A. a−b2=a2−b2B. a−b2=a2−2ab+b2
C. a2−b2=a+ba−bD. a+b2=a2+2ab+b2
7.如图，将直角三角形ABC沿边AC的方向平移到三角形DEF的位置，若CD=6，AF=14，则点B与点E的距离为 ( )
A. 8B. 4C. 6D. 3
8.在如图所示的正方形网格中，画出格点△DEF，使得△DEF与△ABC成轴对称，则不同位置的△DEF有( )
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
9.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，点A， C的对应点分别为A′，C′，当点C′恰好落在边AB上时，连接CC′，下列结论一定正确的是( )
A. BC=CC′B. ∠BCC′=∠BC′C
C. BA′//CAD. BC′=12AB
10.将一副三角板如图放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G.∠C=∠EFB=90 ∘，∠A=60 ∘，∠E=45 ∘，现将图中的△ABC绕点F按每秒15 ∘的速度沿逆时针方向旋转180 ∘，在旋转的过程中，△ABC恰有一边所在直线与DE垂直的时间为( )
A. 5秒或9秒B. 3秒或11秒C. 3秒或5秒或11秒D. 3秒或5秒或9秒
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
11.最薄的金箔的厚度为0.000000091m，用科学记数法表示为 m.
12.与单项式3a的积是a3−6a的多项式是 .
13.若多项式x2−10x+m是关于x的完全平方式，则m= .
14.已知a+3b−2=0，则4a⋅43b= .
15.如图，把△DEC沿DE折叠，使点C与点A重合，若BC=10，AD=4，则BD= .
16.如图，将直角三角形ABC沿BF方向平移得到直角三角形DEF，已知BE=4，DF=7，且图中阴影部分的面积为22.则AG= .
17.如图所示，点E，G在长方形纸片ABCD的边AD上，点F，H在长方形纸片ABCD的边BC上，将长方形纸片ABCD分别沿EF，GH对折，得到四边形EFB′A′和四边形GHC′D′，若∠1=70 ∘且EA′//C′D′，则∠2= ∘.
18.如图，在△ABC纸片中，∠BAC=45 ∘，BC=4，且S△ABC=6，P为BC上一点，将纸片沿AP剪开，并将△ABP、△ACP分别沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE，连接DE，则∠DAE= ∘，△ADE面积的最小值为 .
三、计算题：本大题共1小题，共16分。
19.计算：
(1)−22×20250+3−2
(2)a3⋅a⋅a4+−3a42
(3)x(x+7)−(x−3)(x+2)
(4)(a−b+2)(a+b−2)
四、解答题：本题共7小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
先化简，再求值：2a+b2−4a+ba−b−5b2，其中a=−1，b=2.
21.(本小题10分)
已知x+y=5，xy=3求下列各式的值：
(1)x2+y2
(2)(x−2)(y−2)
22.(本小题12分)
如图，在正方形网格中有△ABC，直线m，n互相垂直，垂足为O.
(1)请画出将△ABC先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后的△A1B1C1；
(2)请画出△ABC以点O为对称中心的对称图形△A2B2C2；
(3)△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？若是，画出它们的对称中心M(保留作图痕迹)；若不是，说明理由．
23.(本小题8分)
将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，如图．
(1)若∠B=70 ∘，则∠DEF= 度；
(2)若△ABC的周长为15，AD=2，求四边形ABFD的周长．
24.(本小题10分)
如图所示，某地区有一块长为2a+3b米，宽为2a−b米的长方形地块，角上有四个边长均为a−b米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．
(1)用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？
(2)若a=20，b=10，求出绿化面积．
25.(本小题10分)
若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P，到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b，定义：若数K=a2+b2−ab，则称数K为“尼尔数”，例如：若P所表示的数为3，则a=2，b=4，那么K=22+42−2×4=12，若P所表示的数为12，则a=11，b=13，那么K=132+112−13×11=147，所以12，147是“尼尔数”．
(1)请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；
(2)已知两个“尼尔数”的差是315，求这两个“尼尔数”．
26.(本小题12分)
对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示．
(1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： .
(2)图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： (结果为最简)
(3)根据上面两个结论，解决下面问题：
①在直角△ABC中，∠C=90 ∘，三边长分别为a、b、c，已知ab=14，c=6，求a+b的值．
②如图3，四边形ABCD中，对角线AC，BD互相垂直，垂足为O，AC=BD=2，在直角△BOC中，OB=x，OC=y，若△BOC的周长为2，则△AOD的面积=.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】本题重点考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可．
【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意；
B.不是轴对称图形，不符合题意；
C.是轴对称图形，符合题意；
D.不是轴对称图形，不符合题意.
2.【答案】D
【解析】原式=−23a5×3b3=−8a15b3.
3.【答案】D
【解析】根据合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方，逐一判断选项即可；
【详解】解：A：a3+a3=2a3≠a6，A错误；
B：a5与a2不是同类项，不能合并，B错误；
C：a3÷a3=a0=1≠0，C错误；
D：a42=a8，计算正确．
4.【答案】A
【解析】利用完全平方公式展开计算即可得到结果．
【详解】解：2x−y2=2x2−2⋅2x⋅y+y2=4x2−4xy+y2.
5.【答案】B
【解析】首先将算式变换形式，然后利用平方差公式即可得解.
【详解】−x+yx+y=−x−yx+y=−x2+y2
故选：B.
6.【答案】C
【解析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案．
【详解】解：图甲中阴影部分的面积为a2−b2，图乙中阴影部分是由四个相同的等腰梯形拼成的平行四边形，根据平行四边形面积公式：平行四边形面积=底×高，观察图形可知，该平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，即a+b，高为大正方形边长与小正方形边长之差，即a−b，得阴影部分的面积为a+ba−b，
∵甲乙两图中阴影部分的面积相等，
∴a2−b2=a+ba−b，
∴可以验证成立的公式为a2−b2=a+ba−b.
故选：C.
7.【答案】B
【解析】解：设BE=x，
∵将直角△ABC沿边AC的方向平移到△DEF的位置，
∴BE=AD=CF=x，
∵CD=6，AF=14，
∴x+6+x=14，
解得：x=4，
∴点B与点E的距离为4.
故选B.
8.【答案】D
【解析】解：如下所示：
所以△DEF有6种不同的位置．
故选：D.
根据图形特点先确定对称轴，再根据对称轴找出相应的三角形．
此题考查了轴对称图形，关键是正确确定组成图形的关键点对称点的位置．
9.【答案】B
【解析】解：∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，
∴∠CBC′=∠ABA′，BC=BC′，
∴∠BCC′=∠BC′C，
所以B选项符合题意;
只有当∠ABC=60∘时，BC=CC′=12AB，所以A选项和D选项不符合题意;
只有当∠A=∠ABC时，∠A=∠ABA′，则BA′//CA，所以C选项不符合题意;
故选B.
10.【答案】D
【解析】根据旋转的性质，垂线的性质，分三种不同的情况讨论解答即可．
【详解】解：由题意知，分以下几种情况讨论：
①如图，当A′B′⊥DE时，设DE与A′B′交点为H，AB与A′B′交点为K，
∵∠A=60 ∘，∠EBF=45 ∘，∠C=∠EFB=90 ∘，
∴∠ABC=90 ∘−∠A=30 ∘，
∴∠EBK=∠EBF−∠ABC=15 ∘，
∵A′B′⊥DE，
∴∠HKB=90 ∘−∠EBK=75 ∘，
∴旋转时间为75 ∘15 ∘=5s；
②如图，当B′C′⊥DE时，设DE与B′C′交点为H，
∵∠FHB=90 ∘，∠HBF=45 ∘，
∴∠HFB=45 ∘，
∴旋转时间为45 ∘15 ∘=3s；
③如图，当A′C′⊥DE时，设DE与A′C′交点为H，BF与A′H交点为K，
∴∠HKB=90 ∘−∠EBF=45 ∘，
∵∠HKB=∠FKC′，B′C′⊥A′H，
∴∠KFC′=45 ∘，
∴∠CFC′=180 ∘−∠KFC′=135 ∘，
∴旋转时间为135 ∘15 ∘=9s，
综上所述，△ABC恰有一边所在直线与DE垂直的时间为3秒或5秒或9秒．
11.【答案】9.1×10−8
【解析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000000091m用科学记数法表示为9.1×10−8m.
故答案为9.1×10−8.
12.【答案】13a2−2
【解析】解：a3−6a÷3a
=a3÷3a−6a÷3a
=13a2−2.
13.【答案】25
【解析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式的定义即可得到答案．
【详解】解：∵x2−10x+m是关于x的完全平方式，
∴m=(102)2=25.
故答案为：25.
14.【答案】16
【解析】利用同底数幂乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：由于a+3b−2=0，则a+3b=2，
因此，4a⋅43b=4a+3b=42=16.
15.【答案】6
【解析】由折叠的性质可得AD=CD=4，即可求解．
【详解】解：由折叠的性质得：AD=CD=4，
∵BC=10，
∴BD=BC−CD
=10−4
=6.
16.【答案】3
【解析】根据平移的性质可得：AC=DF=7，BE=CF=4，S△ABC=S△DEF，即可得S阴影=S梯形DFCG=22，求出CG，即可解答；
【详解】解：根据平移的性质可得：AC=DF=7，BE=CF=4，S△ABC=S△DEF，
∴S△ABC−S△GEC=S△DEF−S△GEC，
∴S阴影=S梯形DFCG=22，
∴(GC+DF)×CF2=22，即CG+7×42=22，解得：GC=4，
∴AG=AC−GC=7−4=3.
17.【答案】65
【解析】延长C′D′，交AD于点P，则C′P//A′E，求出∠D′PD=40 ∘，求出∠D′GP=50 ∘，得∠D′GD=130 ∘，由∠DGB=∠D′GB可得结论．
【详解】解：延长C′D′，交AD于点P，则C′P//A′E，如图，
∴∠C′PD=∠A′ED，
由折叠得：∠FEA′=∠1=70 ∘，∠DGB=∠D′GB，∠GD′C′=∠D=90 ∘，
∴∠A′ED=180 ∘−2∠1=40 ∘，
∴∠D′PD=40 ∘，
∵∠GD′C′=90 ∘，
∴∠GD′P=90 ∘
∴∠D′GP=90 ∘−∠D′PG=50 ∘，
∴∠D′GD=180 ∘−∠D′GP=180 ∘−50 ∘=130 ∘，
∵∠DGB=∠D′GB，
∴∠DGB=12∠DGD′=12×130 ∘=65 ∘，即∠2=65 ∘
18.【答案】90
92

【解析】先利用翻折的性质，得出AP=AD=AE，∠BAP=∠BAD，∠CAP=∠CAE，再利用两角的和结合∠BAC=45 ∘，证得∠DAE=90 ∘，然后根据三角形面积公式，得到S△ADE=12AD⋅AE=12AP2，当AP⊥BC时，AP最小，则△ADE的面积最小，先求出AP，再求出△ADE面积的最小值即可．
【详解】解：由翻折得：△ABP≌△ABD，△ACP≌△ACE，
∴AP=AD=AE，∠BAP=∠BAD，∠CAP=∠CAE，
∵∠BAC=45 ∘，∠BAP+∠CAP=∠BAC，
∴∠DAE=∠DAB+∠PAB+∠CAP+∠CAE=90 ∘，
∴S△ADE=12AD⋅AE=12AP2，
要使AP最小，当AP⊥BC时，AP最小，则△ADE的面积最小，
∵S△ABC=6，
∴12BC⋅AP=6，
∵BC=4，
∴AP=3，
∴S△ADE=12×32=92.
19.【答案】【小题1】
解：−22×20250+3−2
=4×1+19
=419；
【小题2】
解：a3⋅a⋅a4+−3a42
=a8+9a8
=10a8；
【小题3】
解：x(x+7)−(x−3)(x+2)
=x2+7x−x2+2x−3x−6
=x2+7x−x2−2x+3x+6
=8x+6；
【小题4】
解：(a−b+2)(a+b−2)
=[a−(b−2)][a+(b−2)]
=a2−b−22
=a2−(b2−4b+4)
=a2−b2+4b−4.

【解析】1. 详细解答和解析过程见【答案】
2. 详细解答和解析过程见【答案】
3. 详细解答和解析过程见【答案】
4. 详细解答和解析过程见【答案】
20.【答案】解：2a+b2−4a+ba−b−5b2
=4a2+4ab+b2−4(a2−b2)−5b2
=4a2+4ab+b2−(4a2−4b2)−5b2
=4a2+4ab+b2−4a2+4b2−5b2
=4ab，
当a=−1，b=2时，原式=4×(−1)×2=−8.

【解析】利用完全平方公式、平方差公式化简式子，将a=−1，b=2代入化简后的式子进行计算即可．
21.【答案】【小题1】
解：x2+y2=x+y2−2xy=52−2×3=19；
【小题2】
解：(x−2)(y−2)
=xy−2x−2y+4
=xy−2(x+y)+4
=3−2×5+4
=−3.

【解析】1.
利用完全平方公式得到x2+y2=x+y2−2xy，据此计算即可；
2.
先将式子展开，再利用完全平方公式化简展开式进行计算即可．
22.【答案】【小题1】
解：如图，△A1B1C1即为所求；
【小题2】
解：如图，△A2B2C2即为所求；
【小题3】
解：△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称．如图点M即为所求

【解析】1.
先根据平移的规律找到点A1,B1,C1，再依次连接得△A1B1C1，即可作答；
2.
先根据中心对称的性质找到点A2,B2,C2，再依次连接得△A2B2C2，即可作答；
3.
观察△A1B1C1与△A2B2C2，得出△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称，再连接A1A2,B1B2,C1C2，它们相交于一点，即为对称中心M.
23.【答案】【小题1】
70
【小题2】
解：由平移的性质知：DF=AC，CF=AD，
∵△ABC的周长为15，
∴AB+BC+AC=15，
即AB+BC+DF=15，
又∵AD=2，
四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD
=15+2+2
=19.

【解析】1.
根据平移的性质解答即可；
【详解】解：∵△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，∠B=70 ∘，
∴∠DEF=∠B=70 ∘；
2.
由平移的性质可得DF=AC，CF=AD，再由三角形周长计算公式可推出AB+BC+DF=15，据此求解即可．
24.【答案】【小题1】
绿化的面积是：2a−b2a+3b−4a−b2
=4a2+6ab−2ab−3b2−4a2−2ab+b2
=4a2+4ab−3b2−4a2+8ab−4b2
=12ab−7b2(平方米)，
答：绿化的面积是12ab−7b2平方米；
【小题2】
当a=20，b=10时，
原式=12×20×10−7×102
=1700(平方米)，
答：绿化面积为1700平方米．

【解析】1.
此题考查整式的混合运算，
根据矩形和正方形的面积公式列式计算即可得到结论；
2.
把a=20，b=10代入(1)的结果计算即可得到结论．
熟练掌握运算法则是解题的关键．
25.【答案】【小题1】
解：设点P表示的数为x≥0，则a=x−1，b=x+1，
数K=a2+b2−ab=(x−1)2+(x+1)2−x−1x+1=x2+3.
令x2+3=6，
∵x≥0，
∴x= 3，
∵ 3不能被3整除，
∴6不是“尼尔数”；
令x2+3=39，
∵x≥0，
∴x=6，
∵6是能被3整除的自然数，
∴39是“尼尔数”；
令x=3n(n是自然数)，
∵x2+3=(3n)2+3=9n2+3，
而9n2+3÷9=n2⋯3，
∴所有“尼尔数”一定被9除余3；
【小题2】
解：设这两个“尼尔数”分别是9m2+3，9n2+3(m、n都是自然数)，
根据题意，得9m2+3−9n2+3=315，
整理，得m2−n2=35.
∵m、n都是自然数，
∴m+n=35m−n=1，或m+n=7m−n=5，
解得m=18n=17，或m=6n=1，
当m=18n=17时，9m2+3=2919，9n2+3=2604，
当m=6n=1时，9m2+3=327，9n2+3=12.
故这两个“尼尔数”是2919，2604或327，12.

【解析】1.
本题考查了因式分解的应用，学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，理解“尼尔数”的定义是解题的关键．
根据“尼尔数”的定义，设点P表示的数为x≥0，则a=x−1，b=x+1，数K=a2+b2−ab=(x−1)2+(x+1)2−x−1x+1=x2+3，令x2+3=6，解方程，如果x的解中有能被3整除的自然数，那么6是“尼尔数”，否则不是；同理可判断39是不是“尼尔数”；令x=3n(n是自然数)，然后证明(3n)2+3被9除余3即可；
2.
设这两个“尼尔数”分别是9m2+3，9n2+3(m、n都是自然数)，根据两个“尼尔数”的差是315列出方程9m2+3−9n2+3=315，整理，得m2−n2=35，根据m、n都是自然数，求出m、n的值，进而求解即可．
26.【答案】【小题1】
(a+b)2=a2+2ab+b2
【小题2】
a2+b2=c2
【小题3】
解：①在直角△ABC中，∠C=90 ∘，三边长分别为a、b、c，且c=6，
由(2)知a2+b2=c2，
∴a2+b2=62=36，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=36+2×14=64，
∵a，b为三角形ABC边长，
∴a+b>0，
∴a+b=8；
②∵三角形BOC的周长为2，OB=x，OC=y，
∴BC=2−x−y，
在直角三角形BOC中，∠BOC=90 ∘，
∴OB2+OC2=BC2，
即x2+y2=(2−x−y)2，
∴xy=2x+2y−2，
∵AC=BD=2，
∴OA=2−y，OD=2−x，
∴S三角形AOD=12OA⋅OD
=12(2−y)(2−x)
=12(4−2x−2y+xy)
=12(4−2x−2y+2x+2y−2)
=12×2
=1.

【解析】1.
利用“等面积法”解答即可；
解：大正方形边长为a+b，整体面积为a+b2；
将正方形分割成四个部分的面积和为：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
因此得到等式：(a+b)2=a2+2ab+b2；
2.
利用“等面积法”得到等式，再利用单项式乘多项式的运算规则进行化简即可；
解：整体计算直角梯形的面积为12a+b⋅a+b
将直角梯形分割成四个部分的面积和为12ab+12ab+12c2
因此得到等式：12a+b⋅a+b=12ab+12ab+12c2
整理得：a2+b2=c2；
3.
①由(2)知a2+b2=c2，进而得到(a+b)2=64，结合a，b为三角形ABC边长，进行求解即可；
②根据题意得到BC=2−x−y，根据OB2+OC2=BC2得到xy=2x+2y−2，进而利用三角形面积公式进行计算即可．