河北省高二下学期4月期中数学试题（原卷版）-A4

这是一份河北省高二下学期4月期中数学试题（原卷版）-A4，共15页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
2. 某工厂新生产了20台机器人，其中8台是高性能机器人，12台是普通机器人．现从中随机抽取5台机器人进行检测，则恰好3台高性能机器人被抽到的概率为（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的极大值点是（ ）
A. 1B. 2C. D.
4. 如图是函数及其导函数在同一坐标系中的图象，则图象正确的为（ ）
A. B. C. D.
5. 某疾病在人群中的患病率为．检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为．如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知奇函数的定义域是，对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
8. 柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设离散型随机变量的分布列为
若离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C D.
10. 我们常用以下方法求形如的函数的导数：先两边同取自然对数得：，再两边同时求导得，即，运用此方法可求得函数在下列哪些区间单调递增（ ）
A. B. C. D.
11. 已知三次函数，若不等式的解集为，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 函数的极小值为4
C. 若函数在上既有最大值又有最小值，则
D. 若函数有3个零点，函数有3个零点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知是定义在上可导函数，若，则___________．
13. 春节期间小明一行人去哈尔滨旅游，根据旅游攻略发现有、、三个美食打卡点，已知在三个美食打卡点均有人前往条件下，打卡点恰好有人打卡的概率为___________．
14. 已知函数，若，且，则的最小值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 给定函数．
（1）判断函数单调性，并求出的极值；
（2）求出方程的解的个数．
16. AI的快速发展在某些方面引发了人们对自己所在行业前景的焦虑，某心理辅导机构为了了解人们对于未来行业前景的焦虑是否与性别有关，对某社区居民进行了一次抽样调查，分别抽取男性和女性各50人作为样本，得到如下数据．
（1）根据已知条件，填写上面列联表，并根据小概率值为的独立性检验，能否认为该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关？
（2）现从该样本焦虑的居民中，采用分层随机抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取3人进行心理辅导，设抽取的3人中男性的人数为，求的分布列和数学期望．
附：为样本容量．
17. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；
（2）设函数有两个极值点、．求的最小值．
18. 设，对的一个排列，如果当时，有，则称是排列的一个逆序，数列的所有逆序的总个数称为数列的逆序数，记为．例如：数列2，3，1，4只有两个逆序，分别为（2，1）和（3，1），则数列2，3，1，4的逆序数．特别地，对于数列，将其重新排列后，如果新的数列中所有的项都不在原来的位置上，此时称这样的数列是原数列的一个错排数列．例如：3，1，2是1，2，3的一个错排数列，4，3，2，1是1，2，3，4的一个错排数列．记为数列1，2，3，…，的所有排列中逆序数为的全部排列的个数，记为1，2，3，…，的所有错排数列组成的集合，表示集合中元素的个数．
（1）求、、、的值；
（2）若，求表达式．
19. 已知函数．
（1）当时，恒成立，求实数的最大值；
（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
0
1
2
3
焦虑
不焦虑
合计
男性
10
女性
20
合计