河北省唐县第一中学高二下学期4月期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份河北省唐县第一中学高二下学期4月期中考试数学试题（解析版）-A4，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 考试分数：150分
一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 计算的值是（ ）
A. 62B. 102C. 152D. 540
【答案】A
【解析】
【分析】利用组合和排列数公式计算
【详解】
故选：A
2. 将编号为1，2，3，4，5的小球放入编号为1，2，3，4，5的小盒中，每个小盒放一个小球，要使得恰有2个小球与所在盒子编号相同，则有（ ）种不同的放球方法，
A. 60B. 40C. 30D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】利用分步乘法原理，分步求出恰有2个小球与所在盒子编号相同的方法总数即可得解.
【详解】如果有2个小球与所在的盒子的编号相同，
第一步：先从5个小球里选2个编号与所在的盒子相同，有种选法；
第二步：不妨设选的是1、2号球，则再对后面的3，4，5进行排列，
且3个小球的编号与盒子的编号都不相同，则有两种，
所以有2个小球与所在的盒子的编号相同，共有种方法，故D正确.
故选：D.
3. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. 40D. 80
【答案】B
【解析】
【分析】根据多项式乘法可求展开式中的系数.
【详解】因为 ，
故可以来自5个因式的2个因式提供，余下3个因式提供，
或者5个因式的3个因式提供，余下1个因式提供，一个因式提供，
故的系数为，
故选：B.
4. 某校甲、乙、丙、丁4个小组到A，B，C这3个劳动实践基地参加实践活动，每个小组选择一个基地，则每个基地至少有1个小组的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分组分配以及分步乘法技术原理即可求解个数,由古典概型概率公式求解即可.
【详解】每个小组选择一个基地，所有的选择情况有种，
每个基地至少有1个小组的情况有,
故概率为，
故选：C
5. 下列说法中正确的是（ ）
①设随机变量X服从二项分布
②已知随机变量X服从正态分布且，则
③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则
④．
A. ②③④B. ①②③C. ②③D. ①②
【答案】B
【解析】
【分析】根据二项分布的概率公式判断①，根据正态分布的性质判断②，根据条件概率判断③，根据方差的性质判断④.
【详解】对于①：随机变量服从二项分布，
则，故①正确；
对于②：随机变量服从正态分布且，
则，故②正确；
对于③：事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”，
则，，所以，故③正确；
对于④：，故④错误．
故选：B
6. 小明参加户外植树活动，种植了A，B两种树苗各5棵，A种树苗的成活率为0.8，B种树苗的成活率为0.6，记A，B两种树苗最终成活的棵数分别为，，则（ ）
注：设X，Y为两个随机变量，则有.
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项分布的期望性质直接计算即可.
【详解】服从二项分布，.
同理，，
.
故选：C.
7. 某学生进行投篮训练，采取积分制，有7次投篮机会，投中一次得1分，不中得0分，若连续投中两次则额外加1分，连续投中三次额外加2分，以此类推，连续投中七次额外加6分，假设该学生每次投中的概率是，且每次投中之间相互独立，则该学生在此次训练中恰好得7分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，分为连中4次，额外加3分，剩余3次不中、连中3次，额外加2分，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续和有两次连中两回，三类情况，结合独立重复试验的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】根据题意，该学生在此次训练中恰好得7分，可分为三类情况：
①若连中4次，额外加3分，剩余3次不中，满足要求，此时将连中4次看作一个整体，与其他三次不中排序，共有种选择，故概率为，
②若连中3次，额外加2分，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续，故两次不中之间可能为一次中，也可能是三次中，有以下情况：
中中中（不中）中（不中）中，中（不中）中中中（不中）中，中（不中）中（不中）中中中，则概率为，
③若有两次连中两回，中中（不中）中中（不中）中，中（不中）中中（不中）中中，中中（不中）中（不中）中中，满足要求，则概率为，
综上，该生在比赛中恰好得7分的概率为.
故选：B.
8. 甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由三局两胜的比赛制度可得随机变量可能的取值为2和3，分别求出概率，列出分布列，利用离散型随机变量的期望公式计算求得的值．
【详解】随机变量可能的取值为2，3．
，
，
故的分布列为：
故，
由，解得或．
故选：D．
二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分.在给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分.
9. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A. 若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种
B. 若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种
C. 若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种
D. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，定序问题采用倍缩法进行求解；B选项，采用插空法进行求解；C选项，分两种情况，若最左端排乙，最左端不排乙，分别求出两种情况下的排法，相加即可；D选项，使用捆绑法进行求解；
【详解】对于A，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排列有种情况，故A错误；
对于B，先安排丙，丁，戊三人，有种情况，再将甲乙两人插空，则有种情况，故甲乙不相邻的排法种数为种情况，故B正确；
对于C，若最左端排乙，此时其余四人可进行全排列，故有种；若最左端不排乙，则最左端只能从丙，丁，戊选出1人，又乙不能在最右端，则有种情况，则共有种站法，故C错误；
对于D，将甲与乙捆绑，看做一个整体且固定顺序，再与其他三人站成一排，故有种，故D正确；
故选：BD
10. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示，下列说法正确的有（ ）
A B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意得，解得可判断A，代入离散型随机变量的期望与方差公式即可判断BCD．
【详解】由题意可知，，
解得或，
当时，，不符合题意，舍去，
，故A正确；
，故B错误；
当，1，2时，，1，4，
，故C正确；
，故D正确．
故选：ACD．
11. 一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（ ）
A. 经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为
B. 若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手有白红球各1个的概率为
C. 经过6次试验后试验停止的概率为
D. 经过6次试验后试验停止的概率最大
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A、B选项利用条件概率公式计算即可；对于C项，利用二项分布计算；对于D项，设实验次结束的概率为，令，由C项化简得，即得结果.
【详解】记事件“一次实验硬币正面朝上”，则“一次实验硬币反面朝上”，则.
从箱子中不放回地抽球，记“第次抽到白球”，记“第次抽到红球”，“第次硬币正面朝上且抽到白球”，“第次硬币正面朝上且抽到红球”，
对于A项,，
经过两次实验后，实验者手中恰好有2个白球的概率为：，故A正确；
对于B项，已知第一次拿到白球，第二次拿到红球的概率为：,故B正确；
对于C项，实验6次结束，则前5次有4次硬币正面朝上，第6次硬币正面朝上，故其概率为：，故C正确；
对于D项，实验次结束的概率为，则，，
令，得化简可得，解得，即，
所以经过8次或9次实验后小球全部取出的概率最大，故D错误.
故选：ABC
【点睛】关键点睛：本题D选项的解决关键是理解试验停止时的条件，从而求得实验次结束的概率，利用作商法求得中的最大项，从而得解.
三、填空题:本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．
【答案】0.24##
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性求解所求区间的概率即可.
【详解】因为，所以，
因此．
故答案：0.24.
13. 已知能够被15整除，其中，则___________.
【答案】14
【解析】
【分析】根据可得，则要使能够被15整除，只需能够被15整除即可，从而可得出答案.
【详解】解：
，
所以，
因为是的整数倍，
所以能够被15整除，
要使能够被15整除，
只需要能够被15整除即可，
因为，
所以.
故答案为：14.
14. 袋中装有5个相同的红球和2个相同的黑球，每次从中抽出1个球，抽取3次按不放回抽取，得到红球个数记为X，得到黑球的个数记为Y；按放回抽取，得到红球的个数记为.下列结论中正确的是_____________.①；②；③；④.
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据不放回抽取，确定红球个数的可能取值以及黑球个数为的可能取值，求出每个值对应的概率，即可求得，的期望和方差，判断①，②；按放回抽取，可知，求出其期望和方差，即可判断③，④.
【详解】由题意抽取3次按不放回抽取，可得红球个数的可能取值为，黑球个数Y的可能取值为，
则，
，
，
，
由，可得，，，
故，
所以，故①正确；
，
，所以，故②错误；
抽取3次按放回抽取，每次抽取到红球的概率为，得到红球的个数记为，则，
所以，，
所以，，故③④正确.
故答案为：①③④.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答过程应写到答题卡上，写在试卷上的无效.
15. 已知其中，，，，.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大.
（1）求值及二项式系数最大项；
（2）求（用数值作答）；
（3）求的值（用数值作答）.
【答案】（1）；
（2）6561 （3）3281
【解析】
【分析】（1）根据题意结合二项式系数最大时求出的值，再计算即可；
（2）利用赋值法，令，求出即可；
（3）利用赋值法，分别令和，得出两式，相加即可得.
【小问1详解】
因为展开式中仅有第5项的二项式系数最大，
当为偶数时，仅有中间一项的二项式系数最大，即，所以，
故.
即，二项式系数最大项为第5项：；
【小问2详解】
令，得，
所以.
【小问3详解】
令，得，
令，得.
两式相加可得.
16. 有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有大小、形状完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球；乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球．假设试验选到甲袋或乙袋的概率都是．
（1）求从袋子中摸出红球的概率；
（2）求在摸出白球的条件下，该球来自甲袋的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据全概率公式求解；
（2）利用条件概率公式计算可得结果.
【小问1详解】
设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，
“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球"为事件，
∵，
∴，
所以从袋子中摸出红球的概率为．
【小问2详解】
因为是对立事件，，又，
所以，
所以在摸出白球的条件下，该球来自甲袋的概率为.
17. 抽屉里装有5双型号相同的手套，其中2双是非一次性手套，3双是一次性手套，每次使用手套时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性手套或都为非一次性手套），若取出的是一次性手套，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性手套，则使用后经过清洗再次放入抽屉中.
（1）求在第2次取出的是非一次性手套的条件下，第1次取出的是一次性手套的概率;
（2）记取了3次后，取出的一次性手套的双数为X，求X的分布列及数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，1.606
【解析】
【分析】（1）根据条件概率的计算公式，分别求出对应事件的概率，代入计算即可；
（2）根据题意，计算离散型随机变量的概率，得出分布列，计算期望即可.
【小问1详解】
设“第1次取出的是一次性手套”为事件A，“第2次取出的是非一次性手套”为事件B，
则，，
所以在第2次取出的是非一次性手套的前提下，第1次取出的是一次性手套的概率为
.
【小问2详解】
记取出的一次性手套的双数为，则，
，，
则，
则X的分布列为：
数学期望
18. 从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取70后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人.
（1）从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市70后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】（1）分布列见解析，期望1.2
（2）分布列见解析，1.2
【解析】
【分析】（1）由题可知服从超几何分布，的取值为0，1，2，3.则易求的分布列和数学期望；
（2）由题意可知服从二项分布，且，计算即可求得随机变量的分布列和数学期望.
【小问1详解】
由题意知，的值为
， ，
，.
所以的分布列为：
.
【小问2详解】
由题意可知，全市70后打算生二胎概率为，，且.
.
的分布列为：
.
19. 人工智能研究实验室发布了一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话.在测试聊天机器人模型时，如果输入的问题没有语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为；如果输入的问题出现语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为.
（1）在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人模型的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个.以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；
（2）已知输入的问题出现语法错误的概率为.
（i）求聊天机器人模型的回答被采纳的概率；
（ii）若已知聊天机器人模型的回答被采纳，求该输入的问题没有语法错误的概率.
【答案】（1）分布列见解析，
（2）（i）0.815；（ii）
【解析】
【分析】（1）服从超几何分布，直接用公式求解.
（2）利用全概率公式求解聊天机器人模型的回答被采纳的概率；利用条件概率公式求解该问题的输入没有语法错误的概率即可.
【小问1详解】
易知的所有可能取值为，
此时，，
，，
所以的分布列为：
则；
【小问2详解】
（i）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，
记“输入的问题有语法错误”为事件B，
记“聊天机器人模型的回答被采纳”为事件C，
则，，，，
；
（ii）若聊天机器人模型的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率为：
2
3
0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3