上海市宝山区上海师范大学附属中学宝山分校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份上海市宝山区上海师范大学附属中学宝山分校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 函数的定义域是______.
【答案】且
【解析】
【分析】根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式组，即可求解.
【详解】由题意，函数有意义，
则，解得且，
所以函数的定义域为且.
故答案为：且.
2. 半径为 2的扇形面积为 8，则其圆心角的弧度数是_____.
【答案】4
【解析】
【分析】直接根据扇形的面积公式和弧长公式求解即可.
【详解】设圆心角的弧度数为，弧长为，半径为，面积为，则.
故答案为：
3. 已知，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】已知等式左边利用诱导公式化简求出的值，原式利用诱导公式化简后把的值代入计算即可求出值．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，熟练掌握诱导公式是解决本题的关键，属于基础题．
4. 方程的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】换元，可得出，解此方程，求出正数的值，即可得出的值.
【详解】令，由，可得，解得或（舍去）.
即，解得.
故答案为.
【点睛】本题考查指数方程的求解，同时也考查了指数式与对数式的互化，解题的关键就是利用换元法将方程变为二次方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.
5. 若，且，，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】由题可得为方程的两个不等根，然后根据韦达定理即得.
【详解】因为，且，，
所以为方程的两个不等根，
所以，
所以.
故答案为：.
6. 函数单调递减区间为_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用反比例函数单调性直接求得答案.
【详解】函数是反比例函数，其单调递减区间是.
故答案为：
7. 关于x不等式的解集为R，则实数a的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】令，通过对的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，可求得 ，依题意，即可求得实数的取值范围.
【详解】令，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，
关于x的不等式的解集为R，.
实数a的取值范围是.
故答案为：.
8. 已知关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意对a进行分类讨论，结合的开口与判别式即可.
【详解】当时，,满足题意；
当时，易得且，即，解得.
综上，实数的取值范围为.
故答案为：
9. 设均为正数，则函数的零点的最小值为_____.
【答案】##
【解析】
【分析】求函数的零点，结合基本不等式分析求解.
【详解】因为均为正数，则，
令，解得，
又因为，当且仅当时，等号成立，
可得，
所以函数的零点的最小值为.
故答案为：.
10. 设点是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆顺时针方向旋转角后到达点，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角到达点，若点的纵坐标是，则点的坐标是__．
【答案】
【解析】
【分析】先确定初始位置所在射线对应的角，由此得到，所在射线对应的角，由三角函数的定义求解即可．
【详解】解：初始位置在的终边上，
所在射线对应的角为，
所在射线对应的角为，
由题意可知，，
又，
则，解得，
所在的射线对应的角为，
由任意角的三角函数的定义可知，点的坐标是，即．
故答案为：．
11. 设，，若函数在定义域上满足：①是非奇非偶函数；②既不是增函数也不是减函数；③有最大值，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】对①：根据奇偶函数的定义可得；对②：分类讨论可得二次项系数小于零，且对称轴为，求出a的取值范围；对③：结合②中所求的范围验证即可.
【详解】对①：∵ ，即，
故不是奇函数；
若是偶函数，则，
可得，即；
故若是非奇非偶函数，则；
对③：若在上有最大值，则有：
当时，则在上单调递减，无最值，不合题意；
当时，则为二次函数且对称轴为，
由题意可得，解得，
故若在上有最大值，则；
对②：若，则开口向下，且对称轴为，
故在上既不是增函数也不是减函数；
综上所述：实数a的取值范围为.
故答案为：.
12. 已知函数，若函数 恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】函数恰有三个不同的零点，令，可以看成函数恰有三个不同的零点，即函数的图像与直线有三个交点．根据函数的单调性和最值，结合函数的图像即可求解．
【详解】当时，函数是对勾函数，
因为，当且仅当，即时，取最小值．
所以函数最小值为2，且在0,1上为减函数，在上为增函数．
当时，是减函数，且，所以为增函数，且，
所以函数为增函数，且，
故函数图像如图所示．
令，函数恰有三个不同的零点，可以看成函数恰有三个不同的零点，
故函数的图像与直线有三个交点．
由图像可知.
故答案为：.
二、选择题 (4 题共 18 分， 131̃4 每题 4 分， 151̃6 每题 5 分)
13. “”是“是第一象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的定义，结合角的概念，即可得答案.
【详解】若，则一定是第一象限角，充分性成立；
若是第一象限角，则，
无法得到一定属于，必要性不成立.
所以“”是“是第一象限角”的充分不必要条件.
故选：A
14. 若，，则下列各是正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先判断，再根据不等式的性质判断选项.
【详解】，，，有可能是正数，负数，0，
，故A正确；
，，故B不正确；
,当时，，故C不正确；
当时，不正确，故D不正确.
故选：．
15. 已知图 对应的函数为 y=fx，则图 对应的函数是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数与图象关于轴对称判断B，判断函数，的奇偶性，再结合其与函数fx的图象关系，判断AC，再根据函数关于原点对称判断D，
【详解】函数的图象与函数y=fx的图象关于轴对称，不满足要求，B错误；
设，由已知函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
当时，函数的图象与函数y=fx的图象相同，且图象关于轴对称，A正确；
设，由已知函数hx的定义域为，定义域关于原点对称，
，
当时，函数的图象与函数y=fx的图象相同，且图象关于轴对称，C错误；
函数的图象与函数y=fx的图象关于原点对称，D错误；
故选：A.
16. 设函数是R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分析可得函数的解析式，结合不等式和二次函数的性质以及函数图象的递减区间，分析可得答案.
【详解】根据题意，设，则，
所以，
因为是定义在上的奇函数，
所以，
所以，
即时，，此时函数在上单调递减，在单调递增；
当时，，此时函数在上单调递增，在单调递减；
所以函数在上单调递减，
若，即，又由，且，必有时，，
解得：，所以不等式的解集为.
故选：.
【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：
（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；
（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.
三、解答题
17. 已知，，且.
（1）求实数a的值；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数关系求解或，结合角所在象限求出，从而得到答案；（2）在第一问的基础上，得到正弦和余弦，进而求出正切和余弦，利用诱导公式求出答案.
【小问1详解】
由题意得：，解得：或
因为，所以，，解得：，综上：.
【小问2详解】
由（1）得：，，故，，故
18. 已知实数满足.
（1）求的取值范围；
（2）若函数，求是大值和最小值，并求此时的值.
【答案】（1）；（2）当或2时，；当时，.
【解析】
【分析】
（1）令，原不等式等价于，解得的范围，进而可得的取值范围；
（2）对函数化简可得，令，由可得，计算二次函数，的最值即可.
【详解】（1）令，则，所以，
解得：，即，解得，
所以的取值范围是，
（2）
令，由可得，则，
所以即时，，
当或即或时，，
综上所述：当或2时，；当时，.
【点睛】关键点点睛：求对数复合型函数值域的关键点是利用换元法令，将原函数转化为关于的一元二次函数，求二次函数的值域即可，注意的取值范围.
19. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一套机器人，包括三个：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.某公益团队计划举办杭州亚运会吉祥物的展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.已知每套吉祥物的进价为元，其中与进货量成反比，当进货1万套时，为9元，据市场调查，当每套吉祥物的售价定为元时，销售量可达到万套，若展销的其他费用为1万元，且所有进货都销售完.
（1）每套吉祥物售价定为70元时，能获得的总利润是多少万元？
（2）当为多少时，每套吉祥物的净利润最大？
【答案】（1）50 （2）90
【解析】
【分析】（1）先根据题目条件得到进货量与的关系式，根据吉祥物售价定为70元时求出销售量，并求出进货单价，求出总利润；
（2）求出每套吉祥物的利润，结合基本不等式求出最值，得到答案.
【小问1详解】
设共进货万套，则，
因为当时，，故，解得，即.
每套吉祥物售价为70元时，销售量为（万套），
此时进货单价为（元），
故总利润为（万元）；
【小问2详解】
根据题意得，进价为（元），
所以每套吉祥物的利润为
当且仅当，即时取等号，
所以当时，每套吉祥物的净利润最大.
20. 已知函数，且不等式的解集为．
（1）求实数的值；
（2）已知，若存在，，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意判断出即是方程的两根，即可求解；
（2）设的值域为，的值域为，判断出，列不等式组，求出的范围.
【小问1详解】
不等式，即，
因为不等式的解集为，即是方程的两根，
将代入方程得，解得，
再由韦达定理得，故.
【小问2详解】
因为存在，，使得成立，
设的值域为，的值域为，则，
的对称轴为，故在上单调递增，
则，即，所以，
当时，，不满足题意；
当时，在上单调递增，
则，即，所以，
由，得，解得；
当时，在上单调递减，
则，即，所以，
由，得，解得，
综上所述，.
21. 已知函数
（1）求不等式 的解集;
（2）设 均为实数，当 时， 的最大值为 1，且满足此条件的任意实数 及 的值，使得关于 的不等式 恒成立，求的取值范围;
（3）设 为实数，若关于 方程 恰有两个不相等的实数根 、 且 ，试将 表示为关于 的函数，并写出此函数的定义域.
【答案】（1）−∞,1
（2）2,+∞ ；
（3），定义域为 .
【解析】
【分析】（1）把转化为或，分别求得不等式组的解集，即可求解；
（2）根据题意求得的范围，把不等式 恒成立，转化为恒恒成立，结合基本不等式，即可求解；
（3）由题意得到，转化为分别是方程的根，且，并求得的范围，进而求得 关于的函数，即可求解.
【小问1详解】
等价 或 ，
即为 或 ，
则不等式的解集为 −∞,1；
【小问2详解】
当 时， 的最大值为1，故 .
要使不等式 3 恒成立，
需要 ，
即 对任意 都成立
，
，则
∵ =4，
∴
故的取值范围是 2,+∞ ；
【小问3详解】
函数，的图象如图所示
当时，，；
当0时，，；
当时，，.
所以
① 若 ，则方程 变为，
即 ，且 ；
② 若 x>1，则方程 变为，
即 ，且 .
于是 分别是方程 的根，且 ，，
此函数的定义域为 .
【点睛】方法点睛：对于非二次不等式恒成立求参问题，一般先分离参数，转化为最值问题，进而可借助函数或基本不等式进行求解；方程解的个数可等价于两个不同函数交点个数，分段函数则需要考虑每一段解析式是否成立.