上海市嘉定区第一中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（含答案解析）

这是一份上海市嘉定区第一中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（含答案解析），共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1. 与的等差中项为______.
2. 椭圆的长轴长为________．
3. 半径为2的球的表面积为________.
4. 已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是__________.
5. 在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为________．
6. 过点作圆的切线，则切线的一般式方程为______．
7. 已知点在抛物线上，则点到该抛物线焦点的距离为__________．
8. 已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为__________．
9. 等差数列的公差不为0，前项和为，若成等比数列，则__________．
10. 正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为______．
11. 已知圆锥曲线的方程：.当为正整数，且时，存在两条曲线、，其交点与点满足，则满足题意的有序实数对共有__________对.
12. 已知平面向量满足，则的最小值为__________．
二、单选题
13. “”是“成等比数列”的（ ）
14. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ）
15. 已知抛物线，若第一象限的点、在抛物线上，抛物线焦点为，，则直线的斜率为（ ）
16. 设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列．给出下列命题：
（1）若对任意的正整数均有，则数列为和谐数列；
（2）若等差数列为和谐数列，则一定存在最大值；
以下说法正确的是（ ）
三、解答题
17. 已知向量．
(1)若，求的值；
(2)若为钝角，求的取值范围．
18. 设关于的实系数一元二次方程两虚根为．
(1)若，求的取值范围；
(2)设在复平面上对应点为，为坐标原点，且为等腰直角三角形，求的值．
19. 某公司2021年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2022年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2021年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25%.记2021年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润=累计收入-累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为新产品赢利.
(1)试求的表达式；
(2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由.
20. 如图，在四棱锥中，平面，，是棱的中点，．

(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)若点在棱上，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围．
21. 已知椭圆的上顶点，离心率为，过作两条互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点（不与点重合），过点作直线的垂线，垂足为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和的长度；若不存在，请说明理由；
(3)求面积的最大值．
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．（1）错（2）对
B．（1）对（2）错
C．（1）（2）都对
D．（1）（2）都错