2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高二上学期期中数学试题

一、填空题

1．一个正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的体积为________．

【答案】16

【分析】根据棱柱的体积公式直接计算即可.

【详解】由题可得该正四棱柱的体积为.

故答案为：16.

2．已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是______．

【答案】

【分析】求得圆锥的底面半径和母线长，由此求得圆锥的表面积.

【详解】解：设圆锥的底面半径为，则高为，母线长为.

依题意，解得或（舍去），

所以圆锥的底面半径为，高为，母线长为.

所以圆锥的表面积为.

故答案为：

3．已知四面体中，、、分别为、、的中点，且异面直线与所成的角为，则_________.

【答案】或

【分析】根据，，结合异面直线夹角的定义求解即可.

【详解】如图，因为、、分别为、、的中点，故，，故与所成的角即与所成的角为，且与相等或者互补，故或.

故答案为：或

4．正四棱柱的底面边长，若直线与底面所成的角的大小为，则正四棱柱的侧面积为________

【答案】32

【分析】根据线面垂直关系、线面角的定义可知，从而得到，根据底面边长可求得侧棱长，进而得到所求的侧面积.

【详解】

四棱柱为正四棱柱

四边形为正方形，平面

直线与底面所成角为    

正四棱柱的侧面积：

故答案为

【点睛】本题考查棱柱侧面积的求解，关键是能够根据线面角的定义确定线面角的具体位置，从而得到长度关系，属于基础题.

5．已知异面直线a，b所成角为70°，过空间定点P与a，b成55°角的直线共有____________条．

【答案】3

【解析】根据条件先将直线平移至过点，然后根据直线所成角的角平分线以及直线所在平面的垂线分析与直线所成角均为的直线的条数.

【详解】将直线平移，使两直线经过点，如下图所示：

设直线所成角的角平分线为，过点垂直于直线所在平面的直线为，

因为所成角为，当直线经过点且直线在直线所在平面内且垂直于直线，

此时与直线所成角均为；

当直线在直线所在平面内时，若绕着点旋转，此时与直线所成角相等，

且所成角从变化到，再从变化到，所以此时满足条件的有条，

综上所述：过空间定点与成角的直线共有条，

故答案为：.

【点睛】结论点睛：已知异面直线所成角为，过空间任意一点作直线，使得与成等角：

（1）当时，此时不存在；

（2）当时，此时有一条；

（3）当，此时有两条；

（4）当时，此时有三条；

（5）当时，此时有四条.

6．圆锥轴截面的顶角为，母线长为2，则过任意两条不重合的母线的截面面积的取值范围为_________.

【答案】

【分析】设为圆锥的任意两条母线，，则有，然后利用三角形的面积公式表示出，从而可求出其范围.

【详解】设为圆锥的任意两条母线，，

则由题意得，，

，

因为，所以，

所以过任意两条母线的截面面积的取值范围为，

故答案为：

7．在空间中，已知一个正方体是12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于，则______．

【答案】

【分析】画出几何图形,可知面与12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于,在可求得.

【详解】

画出几何图形,可知面与12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于

正方体

面,

与面所成的角为

不妨设正方体棱长为,故

在中由勾股定理可得:

故答案为:.

【点睛】本题考查了线面角求法,根据体积画出几何图形,掌握正方体结构特征是解本题的关键.属于基础题.

8．下列命题中正确的命题为__________.

①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线；

②若三条直线互相平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面；

③若直线异面，异面，则异面；

④若，则.

【答案】①②

【分析】根据三点共线和共面的性质、异面直线的性质、垂直的性质逐一判断即可.

【详解】对于①，设平面平面，因为，所以平面，

所以，同理，，故三点共线，①正确；

对于②，因为，所以可以确定一个平面，

因为所以，所以，又，

所以，因为，所以或，又，

所以不成立，所以，即这四条直线共面，所以②正确；

对于③，直线异面，异面，但是平行，所以③错误，如下右图；

对于④，，但，所以④错误，如下左图.

故正确的命题为①②.

故答案为：①②

9．是半径为2的球O表面上三个点，的外接圆面积为，则球心O 到平面的距离为____________.

【答案】

【分析】由的外接圆面积为可求得其外接圆半径，又因为球的半径，则可求得球心O 到平面的距离.

【详解】的外接圆面积为，

外接圆半径，

又球的半径，

球心O 到平面的距离为.

故答案为：.

10．设正四面体的棱长为a，P是棱上的任意一点，且P到面､的距离分别为､，则___________.

【答案】

【分析】求得四面体的高，利用，代入棱锥的体积公式可得的值．

【详解】解：如图平面，，，

因为，

在正四面体中，，

，

．

故答案为：；

11．在长方体中，棱，，点是线段上的一动点，则的最小值是___________

【答案】

【分析】将△沿为轴旋转至于平面共面，可得△，利用求解即可．

【详解】解：将△沿为轴旋转至于平面共面，可得△

则，

故，

当且仅当为与的交点时取等号，

所以的最小值是．

故答案为：．

12．如图，在长方体中，

分别为的中点.点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是______・

【答案】

【分析】利用线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，确定在直线，再根据时线段最短即可求解.

【详解】解：如图，连结，

∵分别为的中点，

∴平面，平面，

∴平面

∵平面，平面，

∴平面，

∵，∴平面平面，

∵平面，

∴点在直线上，在中，，

∴当时，线段的长度最小，最小值为＝.

故答案为：.

二、单选题

13．如图，绕虚线旋转一周形成的几何体是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据旋转体的定义，即可求解.

【详解】由题意，题设中图形是直角梯形，

根据旋转体的定义，可得绕其长底边旋转一周后得到的几何体是圆锥与圆柱的组合体，

只有选项D适合．

故选：D.

14．已知直二面角，直线在平面上，直线在平面上，且直线与直线不垂直，直线与直线不垂直，则以下判断正确的是（    ）

A．与可能垂直，但不可能平行

B．与可能垂直，也可能平行

C．与不可能垂直，但可能平行

D．与不可能垂直，也不可能平行

【答案】C

【分析】利用空间中两直线的位置关系求解．

【详解】解：是直二面角，直线在平面内，直线在平面内，且、与均不垂直，

当，且时，由平行公理得，即，可能平行，故与错误；

当，垂直时，则与在内的射影垂直，由于二面角是直二面角，在内的射影即为，则可证得，与已知矛盾，

与不可能垂直，有可能平行．

故选：C．

15．三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为，，，则三棱锥的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据三棱锥的侧棱两两垂直，推出三个侧面都是直角三角形，根据直角三角形的面积公式和三棱锥的体积公式可求出结果.

【详解】因为三棱锥的侧棱两两垂直，所以三个侧面都是直角三角形，

设三条侧棱长分别为，则，所以，

所以三棱锥的体积.

故选：C

16．已知两个平面和三条直线,若,且,设和所成的一个二面角的大小为,直线和平面所成的角的大小为,直线所成的角的大小为,则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】在一个平行六面体中,对三个角进行比较,即可选出正确答案.

【详解】如图,在平行六面体中,

不妨设面 为,面 为,.则,

此时,由图可知,.只有C选项符合.

故选:D.

【点睛】本题考查了线面角,考查了面面角的概念.一般情况下,涉及到线面角和面面角问题时可借助空间向量进行求解.但在本题中,没有具体的几何体,因此,我们可以采取举实例的方法,在一个具体地几何体中探究角的大小关系.

三、解答题

17．如图，已知平面，，且.若梯形中，，且，.求证：，l共点（相交于一点）.

【答案】证明见解析.

【分析】利用平面公理2可以证明三线共点：设直线直线，先证明M为的公共点，再证明，从而可以证明，l共点.

【详解】因为梯形中，，所以是梯形的两腰.

所以直线必相交于一点.

设直线直线.

又因为，所以.

所以.

又因为，所以，

即，l共点（相交于一点）.

18．（1）请用文字语言叙述平面与平面平行的判定定理；

（2）把（1）中的定理写成“已知：⋯⋯ ，求证： ⋯⋯ ”的形式， 并用反证法证明．

【答案】（1）答案见解析 ；（2）答案见解析 ．

【分析】（1）直接写出平面与平面平行的判定定理；（2）利用线面平行的性质定理进行反证.

【详解】（1）平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与一个平面平行，

则这两个平面平行．

（2）已知，求证：．

下面利用反证法证明：如图，

假设与相交，设交线为，

因为，所以，

因为，所以，

由平行公理得，与矛盾，

所以假设错误，故．

19．如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．

（1）求证：平面；

（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的大小．（结果用反三角函数值表示）

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）证明面，可得，结合，由线面垂直的判定定理即可求证；

（2）由题意可得，根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，即可求解.

【详解】（1）因为是圆柱的底面圆的直径，所以，即，

因为是圆柱的母线，则面，

因为面，所以，

因为，平面，平面，

所以平面；

（2）三棱锥体积为，

要使得三棱锥体积最大，只需的面积最大，

即点到的距离最大，此时，

设底面圆的圆心为，连接，则，

由面，面，可得，

因为，所以 面，所以，

因为，，取的中点，连接，则，

作，连接，则为的中点，

由，，，

则面，所以，

可得即为二面角的平面角，

因为，

所以，，，

在中，，

所以，所以，

故二面角的平面角为.

【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：

（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；

（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.

20．如图所示，四边形为菱形，，二面角为直二面角，点是棱的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．

【分析】（Ⅰ）设点是棱的中点，连接，根据面面垂直的性质定理，得到平面，进而得到，再由，结合线面垂直的判定定理，即可求解；

（Ⅱ）解法一：设点是与的交点，证得为二面角的平面角，结合解三角形的知识，即可求解；解法二：设点是与的交点，以所在直线为轴所在直线为轴，过点垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，可得平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】（Ⅰ）如图所示，

设点是棱的中点，连接，

由及点是棱的中点，可得，

又二面角为直二面角，故平面，

又因为平面，所以，  

又因为四边形为菱形，所以，

而是的中位线，所以，可得，       

又由，且平面，平面，

所以平面， 又因为平面，

所以．  

（Ⅱ）解法一：设点是与的交点，连接PG

由（Ⅰ）可知平面，

又均在平面内，从而有，

故为二面角的平面角，   

因为，所以为等边三角形．

不妨设菱形的边长为．

则在中，，

于是    

在中，，

故，

整理得，．    

因为平面，所以为直线与平面所成的角．

则，

所以直线与平面所成的角为.

解法二：设点是与的交点，

以所在直线为轴所在直线为轴，

过点垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系．如图所示：

设，则，，  

则，

设平面的法向量为，

则，即，

取，得，

又因为平面的一个法向量为，

则，解得，  

则，，

则，

则直线与平面所成的角为．

【点睛】本题考查了线面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

21．如图，在棱长为的正方体中，分别是和的中点.

(1)求异面直线与所成角的余弦值；

(2)在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为?若存在，求出的长，若不存在，请说明理由；

(3)求异面直线与之间的距离.

【答案】(1)

(2)存在，

(3)

【分析】(1)做出异面直线所成的角，解三角形求解即可；

(2)假设存在，利用二面角的大小为求解即可；

(3)利用线面垂直，找到公垂线，然后借助相似来计算即可.

【详解】（1）取的中点，因为是的中点，

所以，又，所以，

所以异面直线与所成角也就是与所成角，

由正方体得平面，平面，

所以，，

所以，，

所以异面直线与所成角的余弦值为.

（2）假设存在点符合题意，连接与交于点，

所以，因为是正方体，所以，

又是的中点，所以，

所以就是二面角的平面角，

故假设成立，存在这样的点.

又因为，，

，所以.

（3）连接，因为是的中点，

所以，如图第一个，

又因为平面，平面，所以，

即，又，所以平面，

又平面，所以，

接着取的中点，连接，延长交延长线于点，

连接，交于点，交于点，

过作的平行线交于点，连接，如下图，

由，得为与的公垂线，

易得与相似，又因为是中点，

则是的中点，所以，

所以，又，所以.