2025--2026学年上海市嘉定区第一中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]

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一、填空题
1. 已知复数（其中是虚数单位），则________
【答案】
【解析】
【分析】根据共轭复数、复数的模等知识求得正确答案.
【详解】依题意，所以.
故答案为：
2. 设向量，若∥，则__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标表示分析求解.
【详解】因为∥，则，解得.
故答案为：2.
3. 现有一组数1、1、2、3、3、5、6、7、9、9，则该组数的第20百分位数为______．
【答案】1.5##
【解析】
【详解】将10个数据从小到大排列，1、1、2、3、3、5、6、7、9、9，
20100×10=2，由于2为整数，所以第百分位数为第个和第数的平均数，
因此第百分位数.
4. 若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据排列数、组合数公式计算可得.
【详解】因为，即，所以，
因为，所以.
故答案为：
5. 物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为______．
【答案】80
【解析】
【分析】由瞬时变化速度计算公式可求当时，物体的瞬时速度.
【详解】因为.
所以该物体时，物体的瞬时速度为.
故答案为：80
6. 已知直线的倾斜角为，请写出直线的一个法向量______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】先求出直线的斜率，再根据垂直关系写出法向量即可.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，
所以直线的一个方向向量为，
所以直线的一个法向量为，（答案不唯一，只要满足与向量垂直即可）.
故答案为：（答案不唯一）
7. 函数满足，当时，，则_______.
【答案】1
【解析】
【分析】由得函数的周期，然后通过周期性和对数的运算性质即可求出的值.
【详解】由得函数的最小正周期为2.
由周期性可得，，
当时，，则.
所以.
故答案为：1.
8. 已知在等比数列中，、分别是函数的两个驻点，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意利用导数及韦达定理可得，的关系，后利用等比数列的性质可得答案.
【详解】由题意可得：，
则、是函数的零点，则，
且为等比数列，设公比为，
可得，解得，
注意到，可得.
故答案为：.
9. 某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点和．某日两个观测点的林场人员都观测到处出现火情．在处观测到火情发生在北偏西方向，而在处观测到火情在北偏西方向．已知在的正东方向处（如图所示），则________. （精确到）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，，，则，
在中，由正弦定理可得，
，
即，
所以，
，
则.
故答案为：
10. 有名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动，共服务两天，每天需要两人参加活动，则恰有人连续参加两天志愿者活动的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】由分布乘法计数原理的知识结合古典概型的概率公式可解.
【详解】每天从5名同学中抽取2名参加志愿者活动，一共有种方式，
恰有一人连续参加两天志愿者活动有种方式，
由古典概型的概率公式可得恰有1人连续参加两天志愿者活动的概率为，
故答案为：.
11. 设圆，直线过，斜率为，且与圆交于，两点.若线段上任意一点，均存在过的两条相互垂直的弦与，使得.则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系求解.
【详解】依题意，要使线段上任意一点，均存在过的两条相互垂直的弦与，
使得.
只需,
所以到直线的距离，且，
即且，
解得，即，
故答案为:.
12. ，，，，任意，，，，满足，求有序数列有_____
【答案】
【解析】
【分析】利用列举法可得，设，列举可得解.
【详解】由题意知，
满足，
不妨设，
则必有，，，，
若，，解得，，，；
若，，解得，，，，
由此可知此时有种情况，
结合任意，，，，共有对，
故答案为：.
二、选择题
13. 下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇偶性和单调性逐项分析判断.
【详解】对于选项A：为定义在上的奇函数且在定义域内单调递增，故A正确；
对于选项B：为定义在上的偶函数，故B错误；
对于选项CD：、均为非奇非偶函数，故CD错误；
故选：A.
14. 空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由空间中线面关系逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，若，，则或，
当时，，则或者与斜交或者，
当时，，则或者与斜交或者，故A错误；
对于B，若，，，可在取作为的法向量，
由于，故，即，则，故B正确；
对于C，若，，，则可能平行可能相交，也可能异面，故C错误；
对于D，若，，，则或，故D错误；
故选：B
15. 有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（）
A. 事件与事件互斥B. 事件与事件相互独立
C. 事件与事件互斥D. 事件与事件相互独立
【答案】B
【解析】
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可．
【详解】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误；
选项B，，，，
，B正确；
选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误；
选项D，，，，
，
与不独立，故D错误．
故选：B．
16. 现定义如下:当时，若，则称为延展函数.已知当时，且，且均为延展函数，则以下结论（）
（1）存在与有无穷个交点
（2）存在与有无穷个交点
A. （1）（2）都成立B. （1）（2）都不成立
C. （1）成立（2）不成立D. （1）不成立（2）成立.
【答案】D
【解析】
【分析】由延展函数的定义分段求出解析式，作出函数图象，数形结合可得.
【详解】当时，，则，
又，则由延展函数定义可得；
同理可得，当，；；
任意，当时，.
当时，，则，则；
同理可得，当时，；；
当时，；
当，；当，；；
则任意时，当.
如图，作出与大致图像，
因为，如图可知，不存在直线与图象有无穷个交点，故（1）不成立；
又因为当，，
故当时，
直线与的图象在区间的函数部分重合，
即有无穷个交点，故（2）成立；
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解决此题目的关键在于理解新定义“延展函数”，能够依次求解出函数在各段的解析式及作出函数图象，数形结合解决函数图象与直线的交点个数问题.
三、解答题
17. 已知数列满足，且（）．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式及数列{an}的前n项和．
【答案】（1）证明见解析
（2），
【解析】
【分析】（1）将题目的条件变形，然后结合等比数列的定义证明即可.
（2）利用等比数列的通项公式结合分组求和即可.
【小问1详解】
由已知，变形得，
又因为，所以，故，故．
又因为，所以，
因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
【小问2详解】
由（1）知数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
所以．因此数列的通项公式为．
数列前n项和：
Sn=a1+a2+⋅⋅⋅+an=2+22+23+⋅⋅⋅+2n−n=21−2n1−2−n=2n+1−2−n.
18. 如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形.
（1）求证：平面平面；
（2）若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据给定条件，利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得.
（2）连接，作于，证明平面，再计算即得.
【小问1详解】
连接，交于点，由为等边三角形，得是的中心，则，
而平面，平面，则，又平面，
因此平面，又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
连接，作于，由（1）知平面，平面，则，
而平面，则平面，
显然，，则，
而，于是≌，因此，
所以点到平面的距离为.
19. 某场篮球比赛中，甲、乙两队各5名队员进行比赛，他们得分的茎叶图如图．已知，且．
（1）若甲队队员得分的极差为32，乙得分的平均值为24，求其中和的值；
（2）从得分在20分及以上的队员中随机抽取2名，求至少有1名来自乙队的概率；
（3）若甲乙两队的队员平均分相等，求的最大值，并写出此时和的值．
【答案】（1），
（2）
（3）时，的最大值是.
【解析】
【分析】（1）由甲队分数为：6，14，28，34，，乙队分数为：12，25，26，，31，分别利用极差和平均数的定义求解；
（2）利用古典概型和对立事件的概率求解；
（3）根据甲乙两队的队员平均分相等，得到，从而得到，再利用对勾函数的性质求解.
【小问1详解】
由茎叶图知：甲队分数为：6，14，28，34，，
乙队分数为：12，25，26，，31，
因为甲队队员得分的极差为32，
所以，解得，
又因为乙得分的平均值为24，
所以，解得.
【小问2详解】
由图知，20分以上的队员中，甲队有28、34、共3人，乙队有25、26、、31共4人，总共7人，
从7人中随机抽取2人，有种，且每种情况等可能，
记“至少有1名来自乙队”为事件A，
其对立事件是“2名都来自甲队”，有种，且每种情况等可能，
所以至少有1名来自乙队的概率为.
【小问3详解】
甲队的平均数为，
又，
因为甲乙两队的队员平均分相等，所以，即，
则，由，解得，
令，由对勾函数的性质得在上递减，在上递增，
又，且，
所以的最大值是，此时，.
20. 已知双曲线，，分别为其左、右焦点．
（1）求，的坐标和双曲线的渐近线方程；
（2）如图，是双曲线右支在第一象限内一点，圆是△的内切圆，设圆与，，分别切于点，，，当圆的面积为时，求直线的斜率；
（3）是否存在过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，且使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）；
（3）存在，．
【解析】
【分析】（1）直接根据题干给的双曲线的标准方程求得答案；
（2）由双曲线的定义以及切线的性质可得圆的半径，再借助于点到直线的距离公式求直线的斜率；
（3）假设存在直线l，由得，取的中点，则，进而得；又利用得，于是联立方程组可得的坐标，从而得到直线的斜率并得出直线的方程.
【小问1详解】
因为双曲线，所以，所以，
即，，
所以双曲线的渐近线方程是；
【小问2详解】
由题意可知，，，
所以，
，即是椭圆右顶点
设圆的半径为，因为圆的面积为，则，即，
，
设直线的斜率为，则直线的方程为，即，
由圆心到直线的距离等于圆的半径，
可得，
解得直线的斜率为
【小问3详解】
假设存在过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，且使得，
设,，,，中点为,，又，，
由，可知△为等腰三角形，，且直线不与轴重合，
于是，即，
因此，，(I)，点，在双曲线上，
所以，
①②化简整理得：，，
则，可得，(II)，
联立（Ⅰ）（Ⅱ）得，，得或（舍），所以，
由，得，所以直线的方程为．
【点睛】关键点点睛：针对类似于的角度问题，一般情况下会转化垂直问题，再结合垂直时的斜率之积为-1即可解决问题.
21. 已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若在区间上单调递减，求的取值范围：
（3）若存在两个极值点，证明：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程；
（2）根据单调性可知在上恒成立，利用分离变量法可得，进而结合对勾函数求解即可；
（3）设，则，将所证不等式转化为，令，利用导数可求得，由此可证得结论.
【小问1详解】
由，则，
而，则，
则曲线在处的切线方程为.
【小问2详解】
，又在区间上单调递减，
在上恒成立，即在上恒成立，
在上恒成立，
因为函数在上单调递增，则，
，即实数的取值范围是.
【小问3详解】
由，，
因为存在两个极值点，
则满足，即，
不妨设，则.
，
则要证，即证，
又，，则，
即证，即证成立.
设函数，，
则，
在单调递减，又，则，
，即.