上海市金山区2021届高三下学期4月质量监控（二模）数学（含答案）

金山区2020学年第二学期质量监控

高三数学试卷

(满分：150分，完卷时间：120分钟) 

（答题请写在答题纸上）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．

1．已知集合，集合，若，则=       ．

2．若关于的二元一次方程组的增广矩阵为，则=       ．

3．不等式≥0的解集为       ．

4．若直线的参数方程为 （t为参数，tR），则在轴上的截距为   ．

5．若（a、bR，i为虚数单位），则a+b =        ．

6．某圆锥的底面积为，侧面积为，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为    ． 

7．若正方形ABCD的边长为1，记，，，则   ．

8．一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球（9个球除颜色外其余完全相同），经充分混合后，从袋中随机摸出3个球，则摸出的3个球中至少有一个是白球的概率为_______（结果用最简分数表示）．

9．若首项为1、公比为的无穷等比数列的各项和为，表示该数列的前项和，则的值为       ．

10．函数（a>1且a≠1）的图像恒过点A，若点A在直线mx+ny+1=0，其中m>0，n>0，则的最小值为       ．

11．若函数，其中≤x≤，则的最大值为       ．

12．已知向量与的夹角为60º，且，若，其中，则向量在上的投影的取值范围为       ．

二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．函数（）的最小正周期为(    )．

(A)           (B)              (C)            (D)

14．下列命题为真命题的是(    )．

(A) 若直线l与平面α上的两条直线垂直，则直线l与平面α垂直

(B) 若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行

(C) 若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直

(D) 若直线l上的不同两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α平行

15．设A、B为圆上的两动点，且∠AOB=120º，P为直线l：3x – 4y – 15=0上一动点，则的最小值为(    )． 

(A) 3            (B) 4              (C) 5              (D) 6

16．已知定义在实数集上的函数满足，则的最大值为(    )．

(A)           (B)          (C)        (D) 

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．(本题满分14分，第1小题满分5分，第2小题满分9分)

    随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线. 如图，A- B- C- A为某区的一条健康步道，AB、AC为线段，是以BC为直径的半圆，AB=km，AC=4km，．

(1) 求的长度；

(2) 为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道A- D- C（B，D在AC两侧），其中AD，CD为线段. 若，求新建的健康步道A- D- C的路程最多可比原有健康步道A- B- C的路程增加多少长度？（精确到）

18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

    在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．

(1) 求棱的长；

(2) 求点到平面的距离．

19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

    已知抛物线的焦点为，半径为1的圆的圆心位于轴的正半轴上，过圆心的动直线与抛物线交于、两点，如图所示．

(1) 若圆经过抛物线的焦点，且圆心位于焦点的右侧，求圆的方程；

(2) 是否存在定点，使得为定值，若存在，试求出该定点的坐标，若不存在，则说明理由．

20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分)

    在数列中，已知，()．

(1) 证明：数列为等比数列；

(2) 记，数列的前项和为. 求使得的整数的最小值；

(3) 是否存在正整数、、，且，使得、、成等差数列？若存在，求出、、的值；若不存在，请说明理由．  

21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分)

    设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”．

(1) 若函数为“函数”，求实数的值；

(2) 若函数为“函数”，求实数的取值范围；

(3) 已知()为“函数”，设.若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值．

金山区2020学年第二学期期中考试高三数学试卷评分参考答案

(满分：150分，完卷时间：120分钟) 

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．

1．4； 2．0； 3．{x|0≤x<1}  {或}； 4．–2； 5．1； 6．；

7．； 8．； 9．； 10．8； 11．22021； 12．．

二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．B； 14．B； 15．C； 16．D．

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．(本题满分14分，第1小题满分5分，第2小题满分9分)

解：(1) 联结，在△ABC中，由余弦定理可得，

，…………………3分

所以=，即的长度为(km)；…………………………………………5分

(2) 记AD=a，CD=b，则在△ACD中，由余弦定理可得：

，即，……………………………………………7分

从而，

所以，，当且仅当时，等号成立；……………………11分

新建健康步道的最长路程为8(km)，又(km),………………13分

故新建的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步道A-B-C的路程增加1.39(km)．…14分

18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

解：(1)设，由题设，………………………………2分

得，即，解得．………………5分

故的长为；……………………………………………………………………………………6分

(2)以点为坐标原点，射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系．

由已知及（1），可知，，，，……………………………9分

设是平面的法向量，则，，

其中，，则由即解得，，取，得平面的一个法向量，且；……………………………………………………12分

在平面A1BC1上取点C1，可得向量，于是点D到平面的距离．………………………………………………………………………………14分

注：若利用体积等积法来解，则相应给分．

19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

解：(1) 抛物线的焦点为，则圆心为，…………………………………………4分

故圆的方程为，……………………………………………………………………6分

(2) 假设存在定点()满足题意，设直线，

联立，消去，得，…………………………………………9分

设、，则， ………………………………………………10分

当且仅当，即时，为定值，……………………13分

故存在，使得为定值．…………………………………………14分

20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分)

(1) 证明：由，得，从而，

，

又，故数列为等比数列； …………………………………………4分

(2) 解：由(1)得，，故，

所以，……………………………………6分

，

令，则，

解得，故使得的整数的最小值为10；……………9分

 (3) 解：假设存在正整数、、满足题意，则，

即，

即  (1)……………………12分

由得，，；

所以为奇数，而、均为偶数，故(1)式不能成立；

即不存在正整数m、n、k，且m<n<k，使得、、成等差数列.……………………16分

21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分)

解：(1) 由为“函数”，得

即，解得，故实数的值为；…………………………4分

(2) 由函数为“G(1)函数”可知，存在实数，使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)，，即；…………………………………6分

由，得, 整理得.

① 当时，，符合题意；

② 当时，由，即，

解得且；……………………………………………………………8分

综上，实数的取值范围是；…………………………………………………9分

(3) 由为“函数”，得，

即，从而，，………………………………………………………10分

不妨设，则由，即，…………………………12分

得，

令，则在区间上单调递增，……………………………………14分

又,……………………………………………………16分

如图，可知，故实数的最大值为1.………………………………………………18分