上海市金山区2021届高三上学期期末质量监控（一模）（12月）数学试题 Word版含答案

金山区2020学年第一学期期末考试高三数学试卷评分参考答案

(满分：150分，完卷时间：120分钟) 

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．

1．；2．1；3．1；4．2；5．；6．20；7．0.3；8．45；9．；10．6；11．2；12．6．

二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．B；14．B；15．C；16．D.

17．解：(1) 在中，由余弦定理得，，………………………………2分

        即， ………………………………………………………………4分

整理，得，…………………………………………………………………………6分

解得； …………………………………………………………………………………………7分

        (2) 在中，由余弦定理得，，……………………………………9分

得，……………………………………………………………………………………11分

. ……………………………………………………………………14分

18．解：(1) 底面，

为侧棱与底面所成的角，即，…………………………………………2分

.

又，……………………………………………………………………4分

故，………………………………………………………………6分

即三棱锥的体积为；………………………………………………………………7分

(2) 取中点，连结，，则∥，

就是异面直线与所成的角(或其补角)，………………………………………9分

，.  

因为底面，底面.

在直角三角形中，，

所以，  ……………………………………………13分

所以异面直线与所成角的大小为．…………………14分

19．解：(1) 任取，且，…………………………………………………………………1分

则，，，

于是，………………………………4分

即，故函数在上单调递减. ……………………………………6分

(2) 任取，则，………………………………………7分

故为奇函数，从而，………………………9分

由(1)知，函数在上单调递减，……………………………………………………………11分

故，即对于任意恒成立，………………………………12分

由，得，即实数的取值范围是． ………………………14分

20．解：(1) 设点的坐标为，

则，解得或，………………………………3分

即点的坐标为或； ………………………………………………………4分

(2) 当点的坐标为，且时，，………………6分

在直角三角形中，，且，…………………………7分

同理，，且，…………………………………………………………8分

从而；……………………………9分

(3) 由题意知切线、的斜率均存在且不为零，设切线方程为，……10分

由，得，

记切线、的斜率分别为、，则，………………………………12分

由于切线、的方程分别为、，

联立，消去，得，

设、，则，故，

同理，，………………………………………………………………………………14分

于是,

即的取值范围是.………………………………………………………………………16分

21．(1) 解：由，得，故实数的取值范围是； …………………………4分

(2) 解：由为数列，得，…………………………………………………6分

① 当时，，

故，

从而，，所以当q>1时，t≥q；…………………………………9分

② 当时，，

故，

从而，，所以当0<q<1时，t≥1；………………………………………11分

(3) 证明：(必要性)当为数列时，，故数列的所有项都同号，……12分

由，得，即，………………………………………………………13分

若,不妨设，，

则当充分大时，，与数列的所有项都同号矛盾,故，

综上；……………………………………………………………………………………14分

（充分性）当时，由，得,

故数列的所有项都同号，且，…………………………………………………………15分

故，即，

于是，……………………………………………………………16分

另一方面，，…………………………………………………………17分

故，即为数列.………………………………………………………………18分