上海市交大附属中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷及答案

这是一份上海市交大附属中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷及答案，共29页。试卷主要包含了填空题，选择题等内容，欢迎下载使用。
（本试卷满分150分，考试时间120分钟，答案一律写在答题纸上.）
命题：崔文鑫 审核：杨逸峰
一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分）
1. 已知，不等式的解集为_____.
2. 已知数列是等差数列，且，则其前7项和_________．
3. 已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为___________
4. 函数的单调递减区间是_____________
5. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则______．
6. 直线的倾斜角的大小为_____.
7. 过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为_____.
8. 下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____，
9. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，且满足，倾斜角为锐角的渐近线与线段交于点，且，则的值为______.
10. 在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则在方向上的数量投影的取值范围_____.
11. 已知实数，满足，则的取值范围是______.
12. 若直线交椭圆（，且、为整数）于点、．设为椭圆的上顶点，而的重心为椭圆的右焦点，则椭圆的方程为______．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. 已知a，，，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
14. 如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（ ）

A. 4B. 3C. D.
15. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（ ）

A. B. C. D.
16. 已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”．
则（ ）
A. ①是假命题，②是真命题B. ①是真命题，②是假命题
C. ①②都是假命题D. ①②都是真命题
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤.
17. 已知数列，其前项和.数列满足，.
（1）求数列、通项公式；
（2）若数列满足，求数列前项和.
18. 如图，已知是正三角形，都垂直于平面，且是的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面.
19. 已知函数的最小正周期为π．
（1）求的单调递减区间；
（2）先将图象上所有点横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
20. 已知动圆过定点，且与直线相切，其中.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）设，是轨迹上异于原点的两个不同点，若以为直径的圆恰好过点，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标；
（3）设，是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当时，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标.
21. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆上有两点关于原点对称，动点与两点的连线分别交椭圆于点，满足，.
（1）求椭圆方程；
（2）求动点的轨迹方程；
（3）过点作椭圆的两条切线（与坐标轴不垂直），试探究两切线斜率乘积是否为定值？
参考答案及解析：
2025-2026学年度第一学期
高二数学期中考试卷
（本试卷满分150分，考试时间120分钟，答案一律写在答题纸上.）
命题：崔文鑫 审核：杨逸峰
一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分）
1. 已知，不等式的解集为_____.
【答案】
【解析】
【分析】转化一元二次不等式求解可得.
【详解】，解得，
所以，原不等式的解集为.
故答案为：
2. 已知数列是等差数列，且，则其前7项和_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用公式法可求.
【详解】设等差数列的公差为，则，
故，
故，
故答案为：
3. 已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为___________
【答案】4
【解析】
【分析】依题意，虚数和都是此实系数一元二次方程的根，结合韦达定理求出的值.
【详解】虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，
则有，得，
方程的另一个虚数根为，所以.
故答案为：4
4. 函数的单调递减区间是_____________
【答案】和
【解析】
【分析】根据题意整理的解析式可得，据此作出函数图像，利用图象分析函数的单调区间.
【详解】由题意可知：的定义域为，
可得，
作出的图象，

由图象可知函数的单调递减区间是和.
故答案为：和.
5. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理进行角换边，再利用余弦定理和同角三角函数关系即可得到答案.
【详解】由正弦定理知，所以，
则，又，所以.
故答案为：.
6. 直线的倾斜角的大小为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，先求出直线的斜率，根据的符号判断斜率的正负，进而确定倾斜角的范围，最后利用反正切函数表示出倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，
由，得，所以，又，所以，
所以.
故答案为：.
7. 过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】画出图象，结合直线与半圆的位置关系求得正确答案.
【详解】对于曲线，两边平方并化简得，
所以曲线表示以原点为圆心，半径为圆在轴下方的半圆，
画出图象如下图所示，
依题意可知，直线的斜率存在，设斜率为，
则直线的方程为，即，
令原点到直线距离，整理得，
解得或.
过和两点的直线的斜率为，
过和两点的直线的斜率为，
结合图象可知，要使直线与曲线有且仅有两个不同的交点，
直线的斜率的取值范围是.
故答案为：
8. 下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____，
【答案】①②③
【解析】
【分析】根据线线平行得出四点共面分别判定①②③，根据异面直线判定④.
【详解】
在①中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，
所以，因为，所以是平行四边形，
所以，
所以，∴四点共面．
在②中，
取的中点N，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，
可得交于直线延长线上一点，
∴四点共面，设为，
在正方体中：，∴四点共面，设为.
∵都经过不共线的三点，∴与重合，∴四点共面．
在③中，分别是所在棱的中点，所以，所以，
∴四点共面．
在④中，
连接，如图，∵平面平面且，
∴直线与为异面直线．∴四点不共面．
故答案为：①②③
9. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，且满足，倾斜角为锐角的渐近线与线段交于点，且，则的值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】双曲线C的半焦距为c，根据给定条件求出点P、Q坐标，再由点Q在渐近线上求出a，b的关系，然后结合双曲线定义计算作答.
【详解】设双曲线C的半焦距为c，即有，
因，则，
即直线与双曲线C交于点P，且点P在第一象限，
由得点，由，
而，得，
代入得：，即，不妨，则，
故，则，因此.
故答案为：.
10. 在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则在方向上的数量投影的取值范围_____.
【答案】
【解析】
【分析】设，，，由题意点A,B分别在两个圆上运动，作，由数量投影的定义，分为锐角、钝角时讨论，先固定点，移动点A，再固定点，移动点，由图可得取最值时的情况，由几何关系求解即可.
【详解】由题可设，，，
则可得在以为圆心，3为半径的圆上，
B在以为圆心，1为半径的圆上，
如图所示，作，垂足为，当为锐角时，在方向上的数量投影为，
先固定点，移动点A，当变小时，变大，变大，
则当直线与圆相切时，最大；
再固定点，移动点，则当与圆N相切时最大；
此时，，，则，
作，垂足为，连接，
则，
故在方向上的数量投影最大为；

当为钝角时，在方向上的数量投影为，
则越大，数量投影越小，
先固定点，移动点A，当变大时，变小，数量投影变小，
则当直线与圆相切时，数量投影最小；
再固定点，移动点，当与圆N相切时最大，数量投影最小；
此时，，，
则，
作，垂足为，
则，
则在方向上的数量投影最小为.
故答案为：.
11. 已知实数，满足，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】分情况讨论可作曲线，再根据双曲线的渐近线，结合目标函数的几何意义及曲线的几何性质可得解.
【详解】因为实数，满足，
当，时，方程为，图象为椭圆在第一象限的部分；
当，时，方程为，图象为双曲线在第四象限的部分；
当，时，方程为，图象为双曲线在第二象限的部分；
当，时，方程为，图象不存在，
在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，
根据双曲线的方程可知，两条双曲线的渐近线方程都是，
令，即直线与渐近线平行，
当最大时，为图中①的情况，即直线与椭圆相切，
联立方程组，
可得，
当直线与椭圆相切时，则有，
解得，
又因为椭圆的图象只有第一象限的部分，
故，
当最小值时，恰在图中②的位置，且取不到这个最小值，
此时，则，
综上可得，的取值范围为，
所以的取值范围为，
即的取值范围是．
故答案为：
12. 若直线交椭圆（，且、为整数）于点、．设为椭圆的上顶点，而的重心为椭圆的右焦点，则椭圆的方程为______．
【答案】
【解析】
【详解】设，，
由题意的重心为椭圆的右焦点，整理得，．
由，在直线上，得到．
由，在椭圆上，得到，．
两式相减并整理得，
整理得． ①
因为，在直线上，
所以有，．
将，代入得，
整理得． ②
联立①②，且注意到、为整数，解得，，．
故所求的椭圆方程为．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. 已知a，，，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式性质可判断A，B；举反例可判断C；根据指数函数的单调性判断D.
【详解】对于A，B，a，，，则,一定成立；
对于C，取，满足，则，
当时，，故C中不等式不一定成立；
对于D，由，由于在R上单调递增，则成立，
故选：C
14. 如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（ ）

A. 4B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的定义，可求两线段的长度之比.
详解】对抛物线，焦点，准线：.
如图：

过向准线作垂线，垂足为，交轴于，根据抛物线定义，得，所以；
过向准线作垂线，垂足为，交轴于，根据抛物线定义，得，所以.
所以，所以.
故选：B
15. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意先求得短半轴长，再根据正弦定理求得，进而根据离心率的公式求解即可
【详解】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，
由图可知，椭圆的短半轴长，
中，，
由正弦定理得：
，
所以，

故选：D.
16. 已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”．
则（ ）
A. ①是假命题，②是真命题B. ①是真命题，②是假命题
C. ①②都是假命题D. ①②都是真命题
【答案】B
【解析】
【分析】设出椭圆、双曲线方程及点的坐标，结合三角形重心坐标公式利用点的坐标求出直线方程，再与椭圆或双曲线方程联立，判断是否有两个不同解即得.
【详解】椭圆是“自稳定曲线”.
设椭圆方程为，令，则，设，
由是的重心，知，直线过点，

当时，若，直线与椭圆有两个交点，符合题意，
若，直线与椭圆有两个交点，符合题意，
则当，即时，存在两点，使得的重心为原点，
同理，当，即时，存在两点，使得的重心为原点，
当时，，两式相减得，
直线的斜率，方程为，即，
由消去并整理得：，
，即直线与椭圆交于两点，且是的重心，
即当时，对于点，在椭圆上都存在两点，使得为的重心，
综上，椭圆上任意点，在椭圆上都存在两点，使得为重心，①为真命题；
双曲线不是“自稳定曲线”.
由对称性，不妨令双曲线方程为，令，则，设，
假设是的重心，则，直线过点，
当时，直线或直线与双曲线都不相交，因此，
，两式相减得，
直线的斜率，方程为，即，
由消去并整理得：，
，即直线与双曲线不相交，
所以不存在双曲线，其上点及某两点，为的重心，②是假命题.
故选：B
【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端点坐标，代入曲线方程作差求解，还要注意验证.
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤.
17. 已知数列，其前项和为.数列满足，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）若数列满足，求数列前项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用化简求解，验证是否适合，从而求解，利用累加法求解数列的通项公式即可；
（2）先求得，然后利用错位相减法求和即可.
【小问1详解】
当时，.
又满足，所以.
由题意
，经检验也满足，所以.
【小问2详解】
，，
，①
②.
①-②得
，
所以.
18. 如图，已知是正三角形，都垂直于平面，且是的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面.
【答案】(1)见解析；（2）见解析
【解析】
【详解】（1） 取AB的中点M,连FM,MC，
∵ F、M分别是BE、BA的中点，
∴ FM∥EA, FM＝EA，
∵ EA、CD都垂直于平面ABC，
∴ CD∥EA∴ CD∥FM又 DC＝a，∴ FM＝DC
∴ 四边形FMCD是平行四边形，∴ FD∥MC，
∴ FD∥平面ABC．
（2）∵M是AB的中点，△ABC是正三角形，
∴CM⊥AB，又CM⊥AE，AB∩AE＝A，
∴CM⊥面EAB，CM⊥AF，FD⊥AF，
∵F是BE的中点, EA＝AB，
∴AF⊥EB，
∴AF⊥平面EDB．
19. 已知函数的最小正周期为π．
（1）求的单调递减区间；
（2）先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1），．
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据周期公式求出的值，进而得到函数的表达式，再根据正弦函数的单调性求出的单调递减区间；
（2）然后根据三角函数图象的伸缩和平移变换规则求出的表达式，最后通过求解不等式恒成立问题，确定实数m的取值范围．
【小问1详解】
因为的最小正周期为，所以，
所以．
令，，得，，
故的单调递减区间为，．
【小问2详解】
由题可知将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，
得函数，再将所得图象向左平移个单位长度，
得到函数，
令，
令，，则，
因为，
所以当时，取得最大值，
所以，解得或，
故实数m的取值范围为．
20. 已知动圆过定点，且与直线相切，其中.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）设，是轨迹上异于原点的两个不同点，若以为直径的圆恰好过点，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标；
（3）设，是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当时，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标.
【答案】（1）；
（2）证明见详解，定点坐标为；
（3）证明见详解，定点坐标为.
【解析】
【分析】（1）设动圆圆心为，则，由此能导出所求动圆圆心的轨迹的方程．
（2）设出直线方程，联立抛物线方程消元，利用韦达定理代入整理可得；
（3）设，，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由得，由此能求出直线过定点坐标．
【小问1详解】
设动圆圆心为，依题意可得，
整理得，
所求动圆圆心的轨迹的方程是.
【小问2详解】
易知直线的斜率不为0，设其方程为，，，
联立，得，
则，，
由题意知，，
即，
利用韦达定理代入得，整理得，
因为直线不过原点，故，所以，
即直线方程为，过定点.
【小问3详解】
证明：设，，由题意得（否则，且，，
所以直线的斜率存在，设其方程为，
显然，．即，，
把代入得，
由韦达定理知，，，
由得
韦达定理代入上式，整理化简得，，
此时，直线的方程可表示为：，即，
令，解得，
直线恒过定点．
21. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆上有两点关于原点对称，动点与两点的连线分别交椭圆于点，满足，.
（1）求椭圆的方程；
（2）求动点的轨迹方程；
（3）过点作椭圆的两条切线（与坐标轴不垂直），试探究两切线斜率乘积是否为定值？
【答案】（1）
（2）
（3）为定值，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的性质并结合题意建立方程，求出基本量，进而得到椭圆方程即可.
（2）结合题意，设出点的坐标，利用得到，利用得到，再将两式相加即可.
（3）设出切线方程并联立方程组得到，再结合判别式得到，最后利用韦达定理求解即可.
【小问1详解】
因为椭圆的短轴长为2，离心率为，所以，，
由椭圆的性质得，且，解得，，
则椭圆的方程为.
【小问2详解】
设，
而关于原点对称，则，可得，，
因为，所以，解得，
可得，因为在椭圆上，所以其坐标满足，
则，化简得，
而，，
因为，所以，
解得，则，
因为在椭圆上，所以其坐标满足，
则，化简得，
两式相加可得，即.
【小问3详解】
如图，作出符合题意的图形，
由题设，切线的斜率必定存在，设斜率为，得到切线方程为，
联立方程组，
得到，
因为直线与椭圆相切，所以，
可得，
化简得，
设过的两条切线的斜率分别为，
因为的轨迹方程为，所以解得，
由韦达定理得.