上海市位育中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末试题（含答案解析）

这是一份上海市位育中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末试题（含答案解析），共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1. 用符号表示“直线在平面内”_____.
2. 如图，在棱长为1的正方体中，______．
3. 某个品种的小麦麦穗长度（单位：）的样本数据的茎叶图如图所示，其中整数部分为“茎”，小数部分为“叶”，则这组数据的第百分位数为________.
4. 设一个球的大圆面积为，则该球的表面积为______．
5. 在的二项展开式中，项的系数是______．
6. 若异面直线所成角的大小为，设的一个方向向量为，的一个方向向量为，则的所有可能值为______．
7. 相互独立事件满足，，则______．
8. 若，则______．
9. 将4名程序专家全部分配到1，2，3号3个AI实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，则不同的分配方案共有______种．
10. 马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如表
请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案_______ ．
11. 空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是______.
12. 给定正方体，用、、、、、、、这8个组合数标记顶点，共有种标记方法，其中一种标记方法如图所示．对于第种标记方法，有一质点从点出发，沿棱按最短距离移动到点后立即停止，它经过的组合数之和（含标记点、的组合数）的最小值为，则集合的最大元素为______．
二、单选题
13. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
14. 在以下四图中，直线与直线可能平行的位置关系只能是（ ）
15. 某地2025年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：
若用同一行业中应聘人数和招聘人数的比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ）
16. 已知样本数据的各项均不为0，这组样本数据的方差为，，样本数据的方差为．设甲：，乙：全为正数，或全为负数．则甲是乙的（ ）
三、解答题
17. “人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出人，并将这人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，绘制出如图所示的频率分布直方图．

(1)求的值；
(2)现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取人，再从中选人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率．
18. 某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为20cm，圆柱高为30cm，底面的周长为.
(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）；
(2)现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材料（按实测面积计算）的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到0.1元）
19. 盒中有个红球，个黑球，其中、为正整数．这些球的大小、质地均相同．
(1)若，求在第一次抽取黑球且不放回的条件下，第二次抽取的还是黑色球的概率；
(2)设为正整数．先随机从盒中抽取一个球，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率（用含、、的代数式表示）．
20. 已知正方形，、分别是边、的中点，将沿折起，形成如图的几何体．
(1)证明：平面；
(2)若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求二面角的大小．
21. 规定，其中，是正整数，且，这是组合数（是正整数，且）的一种推广．
(1)求的值，并判断组合数性质是否能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式，并说明理由；若不能，则说明理由．
(2)已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，．
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
x
1
2
3
P()
?
!
?
A．恰好有一个白球与都是红球
B．至多有一个白球与都是红球
C．至多有一个白球与都是白球
D．至多有一个白球与至多一个红球
A．
B．
C．
D．
行业名称
人工智能
生物医药
集成电路
汽车制造
IT服务
应聘人数
215830
200250
154676
74570
65280
行业名称
人工智能
集成电路
生物医药
养老护理
游戏
招聘人数
124620
102935
89115
76516
70436
A．人工智能行业好于游戏行业
B．养老护理行业好于汽车制造行业
C．生物医药行业最紧张
D．集成电路行业比IT服务行业紧张
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件