2025-2026学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.“直线上有两点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
2.若m为直线，α，β为两个平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若m/​/α，n⊂α，则m/​/nB. 若m⊥α，m⊥β，则α⊥β
C. 若m/​/α，m⊥β，则α⊥βD. 若m⊂α，α⊥β，则m⊥β
3.如图，位于上海外滩的海关大楼上方的建筑体可以看成一个正四棱柱.这个正四棱柱的每个侧面上各有一个时钟，相邻侧面上的两个时钟的时针在每天的0点到12点(含0点不含12点)内一共能够相互垂直( )次．
A. 0B. 2C. 4D. 12
4.过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD所成的角为75°，这样的截面有( )
A. 6个B. 12个C. 16个D. 18个
二、填空题：本题共12小题，共42分。
5.“直线l在平面α上”用集合符号语言可以表示为______．
6.在空间直角坐标系中，点(1,3,5)关于xOz平面的对称点的坐标是______．
7.若一个球的体积为32π3，则该球的表面积为______．
8.将长为3，宽为2的矩形绕着较短边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为______．
9.若空间向量a=(1,2,3),b=(4,2,1),c=(x,-2,-7)共面，则实数
x= ______．
10.如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'O'=O'B'=1，B'C'=1，则四边形ABCD的周长为______．
11.将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为______．
12.三棱柱的5个面无限延展后把空间分成______个部分．
13.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则圆台的高为______．
14.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，AA1=6，点M为线段CC1上的动点，则线段B1M+AM的最小值为______．
15.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在底面ABCD内，若直线D1P与平面A1BC1无公共点，则线段D1P的最小值为______．
16.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，P是正方体ABCD-A1B1C1D1表面上一动点.设Ω是以P为球心，半径为1的动球在运动过程中经过区域的全体，则Ω的体积为______．
三、解答题：本题共5小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
用文字语言表述“线面平行的判定定理”，写出已知、求证并证明．
18.(本小题8分)
如图，在四面体ABCD中，AB=CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点
(1)求证：直线EF和AB为异面直线．
(2)求直线EF和AB所成角的大小．
19.(本小题8分)
如图为正四棱锥P-ABCD，O为底面ABCD的中心．
(1)若AP=5，AD=3 2，求△POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若AP=AD，E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小．
20.(本小题10分)
如图，在四面体ABCD中，AB=BD=CD=3，AB⊥平面BCD，CD⊥BD，点M为AD上一点，且AM=2MD，连接BM，CM．
(1)BM⊥CD；
(2)求二面角M-BC-D的大小．
21.(本小题10分)
如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在线段BB1上，且EB1=1，D、F、G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
(1)求证：平面EGF/​/平面ABD；
(2)线段B1C上是否存在一点P？使得点P到平面ABD的距离为 2，若存在，请说明点P的位置．
参考答案
1.C
2.C
3.B
4.D
5.l⊂α
6.(1,-3,5)
7.16π
8.18π
9.5
10.10
11. 33π
12.21
13.3
14.3 13
15. 6
16.80+31π3
17.解：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行；
已知：a⊄α，b⊂α，a/​/b，求证a/​/α；
证明如下：

假设a∩α=A，由于a/​/b，则A∉b，
则在平面α内过点A作一条直线c，使得c/​/b，
由于a/​/b，则a/​/c，这与a∩c=A相矛盾，
所以假设不成立，即a/​/α，
故原命题得证．
18.
(1)证明：因为E∈BC，BC⊂平面ABC，
所以E∈平面ABC，又AB⊂平面ABC，E∉AB，
又F∈AD，AD∩平面ABC=A，所以F∉平面ABC，
所以直线EF和AB为异面直线；
(2)取AC中点G，连接EG、FG，由于E、F分别为BC、AD的中点，
所以EG/​/AB，EG=12AB，FG//CD，FG=12CD，
所以直线EF和AB所成角为∠FEG或其补角，
因为AB⊥CD，所以EG⊥FG，又AB=CD，
所以EG=FG，所以∠FEG=π4，
所以直线EF和AB所成角为π4．
19.解：(1)因为P-ABCD是正四棱锥，
所以底面ABCD是正方形，且OP⊥底面ABCD，
因为AD=3 2，
所以AO=OD=OB=OC=3，
因为AP=5，
所以PO= AP2-AO2=4，
所以△POA绕OP旋转一周形成的几何体是以3为底面半径，4为高的圆锥，
所以V圆锥=13Sh=13π×32×4=12π；
(2)如图建立空间直角坐标系，

因为AP=AD，由题知P-ABCD是正四棱锥，所以该四棱锥各棱长相等，
设AB= 2a，
则AO=OD=OB=OC=a，PO= AP2-AO2=a，
则O(0,0,0)，P(0,0,a)，A(0,-a,0)，B(a,0,0)，C(0,a,0)，D(-a,0,0)，E(a2,0,a2)，
故BD=(-2a,0,0)，AC=(0,2a,0)，AE=(a2,a,a2)，
设n=(x1,y1,z1)为平面AEC的法向量，
则n⋅AC=0n⋅AE=0，即2a⋅y1=0a2⋅x1+a⋅y1+a2⋅z1=0，令x1=1，则y1=0，z1=-1，
所以n=(1,0-1)，
则cs〈n,BD〉=n⋅BD|n|⋅|BD|=-2a|2a|⋅| 2|=- 22，
设直线BD与面AEC所成角为θ，
因为sinθ=|cs〈n,BD〉|= 22，
θ∈[0,π2]，
则θ=π4，
故直线BD与平面AEC所成角的大小为π4．
20.(1)证明：因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD，
因为CD⊥BD，AB∩BD=B，AB，BD⊂平面ABD，
所以CD⊥平面ABD，因为BM⊂平面ABD，
所以BM⊥CD；
(2)解：取BC的中点N，连接DN，
过M作MH⊥BD于H，过H作HE⊥BC于E，连接ME，

因为在平面ABD中，AB⊥BD，MH⊥BD，所以MH//AB，
由(1)知AB⊥CD，所以MH⊥CD，
因为CD∩BD=D，CD，BD⊂平面BCD，所以MH⊥平面BCD，
因为BC⊂平面BCD，所以MH⊥BC，
因为HE⊥BC，MH∩HE=H，MH，HE⊂平面MEH，
所以BC⊥平面MEH，
因为ME⊂平面MEH，所以BC⊥ME，
所以∠MEH为二面角M-BC-D的平面角，
因为AM=2MD，AB=BD=CD=3，
所以MH=13AB=1,HE=23DN=23×3×sin45°=2× 22= 2，
在Rt△MHE中，ME= MH2+EH2= 3，
所以cs∠MEH=HEME= 2 3= 63，
所以∠MEH=arccs 63，
所以二面角M-BC-D的大小为arccs 63．
21.
(1)证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，
则直线BA，BC，BB1两两垂直，
以点B为坐标原点，以BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，设AB=2a，
则B(0,0,0)，A(2a,0,0)，C(0,2,0)，B1(0,0,4)，
D(0,2,2)，E(0,0,3)，F(0,1,4)，G(a,1,4)，
则B1D=(0,2,-2),BA=(2a,0,0),BD=(0,2,2)，
可得B1D⋅BA=0,B1D⋅BD=4-4=0，
因此B1D⊥BA，B1D⊥BD，
而BA∩BD=B，BA，BD⊂平面ABD，则B1D⊥平面ABD；
又EF=(0,1,1),EG=(a,1,1)，
则B1D⋅EF=0,B1D⋅EG=0，即B1D⊥EF，B1D⊥EG，
而EF∩EG=E，EF，EG⊂平面EGF，则B1D⊥平面EGF，
又点E∉平面ABD，
所以平面EGF/​/平面ABD；
(2)解：假设存在点P到平面ABD的距离为 2，
设B1P=λB1C=(0,2λ,-4λ)，0≤λ≤1，
可得P(0,2λ,4-4λ)，则BP=(0,2λ,4-4λ)，
由(1)知，B1D=(0,2,-2)是平面ABD的一个法向量，
所以点P到平面ABD的距离|BP⋅B1D|B1D||=|12λ-82 2|= 2，
整理得|3λ-2|=1，解得λ=1或λ=13，
所以当P为靠近B1的三等分点或与C重合时，满足要求．