2024-2025学年上海市位育中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市位育中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V(单位：L)与直径d(单位：dm)的关系式为V=πd36，当d=2dm时，气球体积的瞬时变化率为( )
A. 2πB. πC. π2D. π4
2.已知A,B是两个随机事件，且A⊆B，则下列选项中一定成立的是( )．
A. P(A∪B)=P(A)+P(B)B. P(A∩B)=P(A)⋅P(B)
C. PA∪B=1−P(B)D. PA∪B=1−P(B)
3.已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )．
A. 函数y=f(x)在点x=−2处的切线斜率小于零
B. 函数y=f(x)在区间(−1,1)上严格增
C. 函数y=f(x)在x=1处取得极大值
D. 函数y=f(x)在区间(−3,3)内至多有两个零点
4.若曲线f(x)=13cs3x在x=x1与x=x2处的切线互相垂直，且两条切线的交点P在直线y=a上，则a的值可能是( )．
A. π3B. 2πC. πD. 7π6
二、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分。
5.若Cn8−Cn7=0，则n的值为 ．
6.已知函数f(x)=x3−ax+1的一个驻点为x=1，则实数a= ．
7.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有 种.(用具体数字作答)
8.设函数y=f(x)，其中f(x)=sinx，则f′−π4= ．
9.若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用A,B表示，两个女生分别用C,D表示，相应的样本空间为Ω=AB,AC,AD,BC,BD,CD，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为 ．
10.已知函数y=f(x)图像在点P(5,3)处的切线方程是y=−x+8，则limℎ→0f(5+ℎ)−f(5)ℎ= ．
11.若(1−2x)2025=a0+a1x+…+a2025x2025(x∈R)，则a12+a222+…+a202522025= ．
12.设函数f(x)=lnx−2mx(m为实数)，若f(x)在[1,+∞)上单调递减，则实数m的取值范围 ．
13.某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有 种出场顺序．
14.在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙分在不同小组的概率为 ．
15.已知事件A与B互斥，它们都不发生的概率是15.且P(A)=3P(B)，则PA= ．
16.函数y=f(x)，x∈(−2,7)的图像如图所示，设y=f(x)的导函数为y=f′(x)，则f′(x)f(x)>0的解集为 ．
17.抛掷一枚质地均匀的硬币n次(其中n为大于等于2的整数)，设事件A：n次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中至多有一次正面朝上，若事件A与事件B是独立的，则n的值为 ．
18.设函数f(x)=(3−x)ex−tx+5t,t∈R，若有且仅有两个整数xi(i=1,2)满足fxi>0，则实数t的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
在2x3+1x12的二项展开式中
(1)求第5项的系数；
(2)求常数项．
20.(本小题12分)
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为2 3，且点M( 2, 33)在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线y=kx+ 2与椭圆E相交于不同的两点P和Q，当|PQ|= 3时，求实数k的值．
21.(本小题12分)
已知f(x)=2lnx−ax，a∈R．
(1)当a=3时，求函数y=f(x)在x=1处的切线方程；
(2)设g(x)=f(x)−ax2+(2−a)x，若a>1，求1≤x≤e时函数y=g(x)的最大值．
22.(本小题12分)
某中学为期一个月的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小A、高二小B分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP(最有价值球员).以下是他们在各场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率．
现以两人的总投篮命中率(二分球+三分球)较高者评为校MVP(总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数)
(1)小C认为，目测小A的二分球命中率和三分球命中率均高于小B，此次必定能评为校MVP，试通过计算判断小C的想法是否准确？
(2)小D是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小a、小b轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：①游戏中小a的命中率始终为0.4，小b的命中率始终为0.3；②游戏中投篮总次数最多为5次，且同一个游戏人物不允许连续投篮；③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第5次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若小a第一次投篮，试计算小a的获胜概率并判断谁的获胜概率更大．
23.(本小题12分)
对于函数y=f(x)的导函数y′=f′(x)，若在其定义域内存在实数x0和t，使得fx0+t=(t+1)⋅f′x0成立，则称y=f(x)是“跃点”函数，并称x0是函数y=f(x)的“t跃点”．
(1)若函数y=sinx−mx∈R是“π2跃点”函数，求实数m的取值范围；
(2)若函数y=x2−ax+1是定义在(−1,3)上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数a的取值范围；
(3)若函数y=ex+bx(x∈R)是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数b的取值范围．
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.D
5.15
6.3
7.32
8. 22/12 2
9.AC,AD,BC,BD
10.−1
11.−1
12.12,+∞
13.5760
14.35/0.6
15.25/0.4
16.(1,4)∪(6,7)
17.3
18.−e2,−35
19.【详解】(1)由二项式2x3+1x12展开式的通项为：Tr+1=C12r(2x3)12−r(1x)r=212−r⋅C12rx36−4r,r=0,1,2,⋯12，
所以展开式的第5项的系数为28⋅C124=126720．
(2)由(1)展开式的通项为Tr+1=212−r⋅C12rx36−4r,r=0,1,2,⋯12，
令r=9，可得常数项为23⋅C129=1760．

20.【详解】(1)由题意得：2a=2 3，所以a2=3，
点M( 2, 33)在椭圆上，所以23+13b2=1，解得b2=1，
所以椭圆E的方程为：x23+y2=1．
(2)
直线PQ的方程为：y=kx+ 2
联立y=kx+ 2x2+3y2=3，消去y后，得关于x的一元二次方程x2+3(kx+ 2)2=3，
化简得(1+3k2)x2+6 2kx+3=0，
由题意知Δ=6 2k2−4×3×(1+3k2)=36k2−12>0，解得k< − 33或k> 33，
由韦达定理可得x1+x2=−6 2k1+3k2，x1⋅x2=31+3k2，
所以|PQ|= 1+k2x1−x2= 1+k2 72k2(1+3k2)2−121+3k2= 3，
所以(1+k2)⋅36k2−121+3k2=3，化简得9k4+6k2−15=0，解得k2=1，即k=±1，
经检验k=±1符合题意．

21.【详解】(1)f(x)=2lnx−3x，则f′(x)=2x−3，
所以f′(1)=−1,f(1)=0−3=−3，
所以函数y=f(x)在x=1处的切线方程为y−(−3)=−(x−1)，即y=−x−2；
(2)g(x)=2lnx−ax2+(2−2a)x，
则g′(x)=2x−2ax+2−2a=−2ax2+(2−2a)x+2x=−2(ax−1)(x+1)x，1≤x≤e，
因为a>1，则g′(x)0ℎ(−1)=2a+5>0ℎ(3)=−2a+5>0−1