河北省滦平县第一中学高二下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份河北省滦平县第一中学高二下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由组合数的性质求解．
【详解】依题意，则或，
得或，
故选：D
2. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数运算公式求得函数的导数，令求出，再令即可求解.
【详解】，
令可得解得，
所以，所以，
故选:B.
3. 已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则
A. 2B. 4C. 16D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】利用等比数列性质求出a7，然后利用等差数列的性质求解即可．
【详解】等比数列{an}中，a3a11＝4a7，
可得a72＝4a7，解得a7＝4，且b7＝a7，
∴b7＝4，
数列{bn}是等差数列，则b5+b9＝2b7＝8．
故选D．
【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．
4. 已知函数，则的极小值点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】的定义域为R，求导得，分析的符号，的单调性，极值点，即可得出答案．
【详解】解：的定义域为R，
，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以是的极小值点，
故选：B．
5. 元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（ ）
A. 1280B. 300C. 1880D. 1560
【答案】D
【解析】
【分析】利用先分组再分配的思想结合排列组合的知识求解.
【详解】将6名导游分成四组，各组人数分别为1，1，1，3或1，1，2，2．
当各组人数为1，1，1，3时，共有种安排方法；
当各组人数为1，1，2，2时，共有种安排方法．
故不同安排方法有种．
故选：D.
6. 除以15的余数是（ ）
A. 9B. 8C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】整理可得，结合二项式定理分析求解.
【详解】因为，
对于，
令，可得；
令，可得，
可知除以15的余数是1，
所以除以15的余数是2.
故选：D.
7. 已知函数在区间上是增函数,实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出导函数,利用函数的单调性,推出不等式,利用基本不等式求解函数的最值,即可求得答案.
【详解】函数,
,
函数在区间上是增函数,
可得,在区间上恒成立,
即:在区间上恒成立
,
当且仅当时取等号,
可得.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了根据函数的单调区间求参数范围,解题关键是掌握导数的求法和不等式恒成立求参数的解题步骤,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
8. 已知若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数研究分段函数的性质，作出函数图形，数形结合即可求出结果.
【详解】因为时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；
时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；
作出在上的图象，如图：
由图可知要使有3个不同的实根，则.
故选：D.
二、多选题（本大题共3小题，共18分．在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知数列的前项和为，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据递推公式列出数列的前几项，即可得到数列是以为周期3的周期数列，根据周期性计算可得.
详解】由，，可得
，故A正确；B错误；
对于C，由上可知，数列是以3为周期的周期数列，
则，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：AC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意，利用导数研究函数的单调性，构造函数即可判断AB，构造函数即可判断CD.
【详解】令，则在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，即，故A正确，B错误；
令，所以在上恒成立，
所以在上单调递减，所以当时，，
即，故C错误，D正确.
故选：AD
11. 对于二项式，下列说法正确的是（ ）
A. 其展开式一共有项B. 其展开式的二项式系数和为
C. 其展开式的所有项的系数和为D. 其展开式的第三项为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用二项展开式的项数可判断A选项；利用二项展开式的二项式系数和可判断B选项；在二项式中，令，结合所有项的系数和可判断C选项；利用二项展开式的通项可判断D选项.
【详解】对于A选项，展开式的项数为，A错；
对于B选项，其展开式的二项式系数和为，B对；
对于C选项，其展开式的所有项的系数和为，C对；
对于D选项，其展开式的第三项为，D错.
故选：BC.
三、填空题（本大题共3小题，共15分
12. 在数列中，前项和，若，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得为等差数列，根据，求出公差，即可求出通项公式，再根据等差数列前项和公式计算可得.
【详解】解：因为数列满足，
即，所以为等差数列，
因为，，所以，则，
所以公差，所以，
所以.
故答案为：
13. 已知，则使恒成立的的范围是______ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，构造函数，再求出函数的最大值作答.
【详解】因，令，，依题意，，
当时，，求导得，当时，，当时，，
因此在上单调递增，在上单调递减，当时，，
当时，，求导得，在上单调递减，
，于是得函数在上单调递减，，
因此，则，所以的取值范围是.
故答案：
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.
14. 的展开式中，项的系数为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解.
【详解】由于的展开式通项为，
故的展开式中，含的项为
，
故的系数为，
故答案为：
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 从分别印有数字0，3，5，7，9的5张卡片中，任意抽出3张组成三位数．
（Ⅰ）求可以组成多少个大于500的三位数；
（Ⅱ）求可以组成多少个三位数；
（Ⅲ）若印有9的卡片，既可以当9用，也可以当6用，求可以组成多少个三位数．
【答案】（Ⅰ）36；（Ⅱ）48；（Ⅲ）78．
【解析】
【分析】（Ⅰ）只要首位不小于5，后面随便排数即可；
（Ⅱ）首位不排0，后两位排任意数；
（Ⅲ）分类选了9和没选9，选9的这张可作9也可作6用．
【详解】（Ⅰ）由题意大于500的三位数的个数为；
（Ⅱ）所有三位数个数为；
（Ⅲ）．
【点睛】本题考查排列的应用，数学排列问题，注意首位不能为0．
16. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2．
（1）求n的值；
（2）求含的项的系数；
（3）求展开式中含的项的系数.
【答案】（1）
（2）60 （3）147
【解析】
【分析】（1）利用二项式系数的比值求出n；（2）在第一问求出的n的基础上，写出展开式的通项公式，求出含的项的系数；（3）利用通项公式分别写出与的符合题意得项，相乘再相加即可.
【小问1详解】
∵，
∴．
【小问2详解】
设的展开式的通项为，
则，令．
∴含的项的系数为；
【小问3详解】
由（1）知：
展开式中含项的系数为：
所以展开式中含项的系数为147
17. 已知函数在处取得极小值．
（1）求实数的值；
（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得，可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式；
（2）分析可知，直线与函数的图象有个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为，则，
由题意可得，解得，
当，时，，
显然，函数在处可取得极值.
因此，.
【小问2详解】
解：问题等价于有三个不等的实数根，求的范围.
由，得或，
由，得，
所以在、上单调递增，在上单调递减，
则函数的极大值为，极小值为，如下图所示：
由图可知，当，直线与函数的图象有个交点，
因此，实数的取值范围是.
18. 已知数列的前n项和为，，．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和为；
（3）若对任意恒成立．求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析，；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明，进而写出通项公式；
（2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求；
（3）将问题化为恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围.
【小问1详解】
由，则，又，
所以数列是首项、公差均为的等差数列，则，
所以
【小问2详解】
由，则，
所以，
所以.
【小问3详解】
由（1）（2），则，整理得恒成立，
令，则，
当时，当时，当时，
所以，即的最小值为，
综上，.
19 设函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若已知，且的图象与相切，求b的值；
（3）在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求m的取值范围（不写过程）.
【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为
（2）3 （3）
【解析】
【分析】（1）代入的值，求出的解析式，求出函数的导数，即可求出函数的单调区间；
（2）求出函数的导数，设出求出方程，得到关于的方程，解出即可；
（3）问题转化为，求出函数的单调性和极值，写出的范围即可.
【小问1详解】
当时，，则，
当或时，；当时，，
所以f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为.
【小问2详解】
由，得，
设函数与直线相切的切点是，
因为，所以，
所以有，
可得，
又，相减得，
所以，所以，
解得；
【小问3详解】
时，，
的图象与有三个公共点，即方程有三个实数根，
设函数，则，
时，或；时，，
在和上单调递增，在上单调递减，
时取极大值，时取极小值，
所以的取值范围为.