江苏宿迁市2025-2026学年第一学期高二年级质量监测数学试题（含答案解析）

这是一份江苏宿迁市2025-2026学年第一学期高二年级质量监测数学试题（含答案解析），共10页。试卷主要包含了解答题，填空题，多选题，单选题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1. 已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若方程有两个实数根，证明.
2. 已知椭圆的两个焦点分别为，上顶点为，右顶点为，是边长为2的正三角形，点是椭圆上第一象限内的点，满足，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记过点与PT垂直的直线为，试判断直线与椭圆的位置关系，并说明理由；
(3)点关于原点的对称点为，设M，N是椭圆上异于P，B，D的两个不同的点，直线与线段MN相交于，且满足．判断直线BD和直线MN的位置关系，并说明理由.
3. 某饮料公司计划生产一种容积为500mL的圆柱形易拉罐，其侧面的制造成本为1元／平方厘米，罐顶和罐底的制造成本为2元／平方厘米.设易拉罐底面半径为厘米，高为厘米，制造总成本为元．（立方厘米）
(1)求的表达式；
(2)当易拉罐总制造成本最低时，求底面半径与高的比值.
4. 已知等差数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设函数，证明：对任意的正整数，不等式恒成立.
5. 已知的三个顶点分别为.
(1)若点为线段AB中点，求CM所在直线的方程；
(2)求外接圆的方程.
二、填空题
6. 关于的方程的一个正实数解为______；若该方程只有唯一的正实数解，则的最大整数值是______.
7. 直线被圆所截得的弦长为__________.
8. 设数列是公比为q的等比数列，.若数列的连续四项构成集合，则q的值为________.
三、多选题
9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
10. 已知数列的通项公式为，前项和为，下列说法正确的有（ ）
11. 已知直线，下列说法正确的是（ ）
四、单选题
12. 谢尔宾斯基三角形（Sierpinski triangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.如图1，先取一个面积为1的实心等边三角形，挖去一个“中位三角形”（以原三角形各边的中点为顶点的三角形，即图2中的白色三角形），然后在剩下的每个小三角形中又挖去一个“中位三角形”，用上面的方法可以无限操作下去．操作第1次得到图2，操作第2次得到图3，⋯，若继续这样操作下去后，得到图2025，则在图2025中所有被挖去的白色三角形的面积和是（ ）

13. 设，函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是（ ）
14. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于A，B两点，点在第一象限，有，则直线的斜率是（ ）
15. 在平面直角坐标系中，圆与圆相交于A，B两点，则四边形OACB的面积为（ ）
16. 若直线与直线垂直，则的值为（ ）
17. 已知函数，则的值为（ ）
18. 已知直线经过和两点，则直线的倾斜角为（ ）
19. 抛物线的焦点坐标为（ ）
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
A．是函数的极值点
B．若函数的图象过点存在三条切线，则
C．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为
D．若直线与函数图象有三个交点，依次为M，N，Q，且，则
A．
B．数列为单调递增数列
C．当时，取得最大值
D．当时，数列前项积取得最大值
A．直线过定点
B．直线在轴上的截距为2
C．原点到直线距离的最大值为
D．若直线与直线三条直线有且仅有两个不同的交点，则的值为
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．1
D．
A．-3
B．0
C．3
D．-3或0
A．0
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．