江苏宿迁市沭阳县2025-2026学年度第一学期期末学业水平质量监测高二数学试题（试卷+解析）

这是一份江苏宿迁市沭阳县2025-2026学年度第一学期期末学业水平质量监测高二数学试题（试卷+解析），共21页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 已知复数，则， “”是“成等比数列”， 过点且与直线垂直的直线方程为， 已知，则， 已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
（本试题共4页满分150分 考试时间120分钟）
一､单项选择题（共8小题满分40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. “”是“成等比数列”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
6. 已知，则（ ）
A. 0B. C. 1D. 2025
7. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C在第一象限内的点，且，点P关于x轴的对称点为Q，若为等边三角形．则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A B. C. D.
二､多项选择题（共3小题满分18分）
9. 设O为坐标原点，已知抛物线焦点为F，C的准线与x轴交于点，过点D的直线l与C交于A，B两点，则（ ）
A. B. 直线l的斜率的取值范围为
C. D.
10. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 的前项和
D. 的前项和
11. 定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（）
A. B.
C. D.
三､填空题（共3小题满分15分）
12. 已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为______.
13. 已知圆：与圆：有3条公切线，则实数的取值是______.
14. 已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______.
四､解答题（共5大题满分77分）
15. 在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若点在线段的延长线上，为的角平分线，，，求的面积．
16. 已知圆经过点和，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）若直线：（）与圆相交于，两点，且，求．
17. 已知递增数列满足，点在函数的图象上.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若，求数列的前项和.
18. 如图，圆的半径为是圆内一个定点，且，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，以线段的中点为原点，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）过上的一点作的切线交圆于不同的两点.
（i）探求点到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；
（ii）求面积的最大值.
19 已知函数，．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，，证明：．
2025-2026学年度第一学期期末学业水平质量监测
高二数学试题
（本试题共4页满分150分 考试时间120分钟）
一､单项选择题（共8小题满分40分）
1 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合交集运算求解即可．
【详解】因为集合，
所以
故选：A．
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其模.
【详解】因为，
所以.
故选：A
3. “”是“成等比数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用推出关系来判断即可.
【详解】当时，如，此时不能成等比数列，故充分性不成立，
当成等比数列，可以推出，故必要性成立，
所以“”是“成等比数列”的必要不充分条件，
故选：B.
4. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出答案.
【详解】因为所求直线与直线垂直，设所求直线的方程为，
将的坐标代入所求直线的方程，得，解得，
故过点且与直线垂直的直线方程为.
故选：A.
5. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将题目所给方程转化为椭圆的标准方程的形式，结合题设条件，列出方程组，即可求解.
【详解】椭圆方程，
上式表示焦点在y轴上的椭圆，
则，解得，
故选：D.
6. 已知，则（ ）
A. 0B. C. 1D. 2025
【答案】B
【解析】
【分析】求导，令，即可得解.
【详解】由，得，
，得.
故选：B.
7. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C在第一象限内的点，且，点P关于x轴的对称点为Q，若为等边三角形．则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用对称性，结合直角三角形边角关系及双曲线定义求出离心率.
【详解】令双曲线的半焦距为c，由关于轴对称，且为等边三角形，得，
由，得，则，
所以双曲线的离心率.
故选：B
8. 设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将方程转化为两个方程或，再由函数图象数形结合可得所求范围.
【详解】由方程变形为，
所以或，
当时，，所以当时，；当时，.
所以函数在上有极大值也是最大值，此时.
画出图像如下：

由图可知与只有一个交点；所以与必有3个交点.
所以，解得.
故选：B
二､多项选择题（共3小题满分18分）
9. 设O为坐标原点，已知抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点，过点D的直线l与C交于A，B两点，则（ ）
A. B. 直线l的斜率的取值范围为
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由题设求参数判断A，再令且，联立抛物线，应用判别式求参数范围，进而确定斜率范围判断B，由向量数量积的坐标表示及韦达公式求判断C，由抛物线的定义及韦达公式求判断D.
【详解】由题设，则，故，A对，
由题意，直线的斜率存在且不为0，令且，联立抛物线得，
所以，则，可得或，
所以或，则直线l的斜率的取值范围为，B错，
由，而，，
所以，
所以，C对，
由，，则，
而，则，D错.
故选：AC
10. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 的前项和
D. 的前项和
【答案】BCD
【解析】
【分析】运用构造法求出数列解析式后，易知其既是正项数列，又是递减数列，其最大项为，再运用分组求和法与裂项相消法分别解决选项C，D中的数列求和问题.
【详解】由题可得，可构造为，
又，因此是以3为首项，3为公比的等比数列.
，得.
对于A：由的解析式，易知其为递减数列，故A错误；
对于B：因为故.又因为为递减数列，其最大项为.故B正确；
对于C：，其前项和.故C正确；
对于D：设.
又注意到，.
因此
因此的前项和
.故D正确.
故选：BCD.
11. 定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】通过构造辅助函数、利用导数符号判断单调性，并结合给定条件分析各选项.
【详解】选项A：由且，得，
由可得在单调递增，
于是，A选项正确；
选项B：令，则单调递增，
故，
取对数得：，B选项错误；
选项C，单调递增，等价于，
又，则，矛盾，
故，C选项错误；
由B选项单调递增，，
需证，设，则证，
因为，故，
又，故，
即，D选项正确.
故选：AD
三､填空题（共3小题满分15分）
12. 已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量垂直求出的值，再通过投影向量计算公式求出对应的投影向量.
【详解】本题考查投影向量，考查数学运算的核心素养.
由，得，解得，所以，
则向量在向量上的投影向量为.
故答案为：
13. 已知圆：与圆：有3条公切线，则实数的取值是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，可得圆与圆外切，再列式求解.
【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
由圆与圆有3条公切线，得圆与圆外切，
则，
即，而，所以
故答案为：
14. 已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】令，可得，原不等式可化为，令，要使对所有恒成立，需满足，进而求出的取值范围.
【详解】由不等式可知，令，
对，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
当时，取得极大值也是最大值，又时，，时，，
所以.
又，
所以原不等式可化为，
令，
则，当时，，单调递减；当时，，单调递增.
又，所以要使对任意成立，则区间不能取得使的值，
由函数性质可知当时会出现负值，故须满足，解得，又，所以，
即实数的取值范围为，
故答案为：.
四､解答题（共5大题满分77分）
15. 在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若点在线段的延长线上，为的角平分线，，，求的面积．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化简结合，利用两角和差公式化简，再利用正切值结合角的范围即可求得；
（2）由面积公式结合角平分线得出，应用余弦定理联立方程得出，最后应用面积公式计算求解.
【小问1详解】
因为，由正弦定理可化为：，
，又因为
即，即，
因为，解得：，且，即；
【小问2详解】
因为及为的角平分线，所以，
由三角形面积公式得，
代入得：，
因为，由余弦定理，
化简得：，即得
解得：或舍去，即，
所以的面积为.
16. 已知圆经过点和，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）若直线：（）与圆相交于，两点，且，求．
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据点在圆上，点到圆心的距离相等建立关于的方程并求解即可；
（2）根据点到直线的距离公式和弦心距建立关于的方程，求解即可.
【小问1详解】
设，因为圆心在直线上，所以．①
因为圆经过点和，所以圆心到点，的距离相等，
所以，展开并化简得．②
联立①②，解得，，所以圆心．
因为圆心和点均在直线上，
所以半径，
所以圆的方程为．
【小问2详解】
设圆心到的距离为，
则，即，得．
由点到直线的距离公式得．
所以，两边平方，整理得，
解得或．
17. 已知递增数列满足，点在函数的图象上.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）将点代入到函数式得递推公式，根据等差数列的定义结合对数的运算即可得结果；
（2）结合（1）中的结论得到数列的通项公式，通过裂项相消法求和即可.
【小问1详解】
因为，
所以当时，
又因为点在函数的图象上，
所以，
所以
，
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列
【小问2详解】
由（1）可知，，
所以，
所以
所以
所以
，
即
18. 如图，圆的半径为是圆内一个定点，且，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，以线段的中点为原点，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）过上的一点作的切线交圆于不同的两点.
（i）探求点到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；
（ii）求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）（i）定值，4；（ii）8
【解析】
【分析】（1）根据题意分析可知，结合椭圆定义即可得方程；
（2）①联立方程，结合相切关系可得和点Q的坐标，进而可得，进而可得结果；②根据垂径定理求面积，结合分析最值即可.
【小问1详解】
由题意可知：，
则，
可知动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，
所以曲线的方程为.
【小问2详解】
（i）联立方程，消去可得，
因为直线与曲线相切，则，
整理可得，则原方程，解得，
将代入直线，可得，
可知，且，
则，为定值；
（ii）由题意可知：圆的圆心为，半径，
因为到直线的距离
，
可得，
因为，则，
可得，
则面积，
可知当，即时，取到最大值8.
方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法
（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．
（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)．
19. 已知函数，．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，，证明：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出直线斜率，进而求出直线方程；
（2）利用恒成立，构造函数，求导，利用导数分析函数单调性，进而求出实数的范围；
（3）转化已知不等式，构造函数，求导，利用导数证明函数单调性．
【小问1详解】
当时，，求导得，
，，
曲线在点处的切线方程为．
【小问2详解】
恒成立，即，即恒成立，
令，则．
令，则，
单调递减，又，
当时，，当时，，
即时，，单调递增；
时，，单调递减.
，故．
【小问3详解】
要证，，
即证，，
令，
则，令，
，
在单调递增，
又，，
，使得，
即，故，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
时，恒成立，得，
，
又，，
故，
，时，．