新高考数学二轮压轴题圆锥曲线专题练习 第一讲：弦长问题（2份，原卷版+解析版）

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基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，弦长公式的推导过程；
应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的弦长公式的应用，并能够熟练使用弦长公式求解长度；
拓展目标：能够熟练应用基本不等式等方法，求解圆锥曲线弦长等最值.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
1、弦长公式
设，根据两点距离公式．
（1）若在直线上，代入化简，得;
（2）若所在直线方程为，代入化简，得
（3）抛物线的弦长公式：
若直线不过焦点，与双曲线相交于两点，弦长，若直线过焦点，与双曲线相交于两点，则弦长.
2、基本不等式
（1）（），当且仅当时，等号成立；
（2），当且仅当时，等号成立.
【考点剖析】
考点一：求弦长
例1．椭圆C：左右焦点为，，离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)经过点，倾斜角为直线与椭圆交于两点，求．
【答案】(1)；(2)
解析：（1）由题意得，解得，
又因为点在椭圆C上，
带入得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）易得直线l的解析式为，
设，联立椭圆的方程
得
，
所以．
例2．设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线的方程；
(2)若直线：与双曲线相交于两点，求.
【答案】(1)；(2)
解析：（1）抛物线的焦点为，所以，即，，又点，，是等腰直角三角形的三个顶点，所以，即，又，所以，所以双曲线方程为.
（2）依题意设，，由消去整理得，由，所以，，所以.
例3．已知抛物线的焦点为，第四象限的一点在上，且.
(1)求的方程和的值；
(2)若直线交于两点，且线段中点的坐标为，求直线的方程及线段的长.
【答案】(1)，；(2)，
解析：(1)抛物线的准线方程为，
由抛物线定义得，，
解得，所以抛物线C的方程为.
将代入C的方程得，，解得，
因为点P在第四象限，所以.
(2)由题意易知直线l的斜率显然存在，设直线l的斜率为k，，，
则有两式作差得，则，
因为线段AB中点的坐标为，所以，所以，
所以直线l的方程为，即，
联立得，
则，，
所以.
变式训练1：已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为且过点，
(1)求椭圆的标准方程；
(2)倾斜角为45°的直线过椭圆的右焦点交椭圆于､两点，求
【答案】(1)；(2).
解析：（1）因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上，
所以设椭圆的标准方程为：，
因为椭圆的离心率为且过点，
所以，所以椭圆的标准方程为：；
（2）由（1）可知：，
所以直线的方程为：，代入椭圆方程中，得
，设，
所以，
因此.
变式训练2：已知双曲线的渐近线方程为，且过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长．
【答案】(1)；(2).
解析：（1）由双曲线方程知：渐近线斜率，又渐近线方程为，；双曲线过点，；由得：，双曲线的方程为：；
（2）由（1）得：双曲线的焦点坐标为；若直线过双曲线的左焦点，则，由得：；设，，则，；由双曲线对称性可知：当过双曲线右焦点时，；综上所述：.
变式训练3：已知抛物线的准线方程为，点是抛物线的焦点.
(1)求抛物线的方程；
(2)斜率为的直线过点，且与交于，两点，求线段的长.
【答案】(1);(2)10
解析：(1)由准线方程可得，即，所以抛物线的方程为
(2)由题得：直线的方程为，设，，
联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，
所以，
由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以弦长
考点二：已知弦长求直线
例1．已知椭圆过椭圆右焦点，且垂直于轴的直线与椭圆在第一象限交于点，已知椭圆的左焦点为，的面积是．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线与椭圆交与、两点，当时，求直线的方程．
【答案】(1)；(2)或或或.
解析：（1）根据题意，椭圆的左焦点为，
联立，解得，
则过椭圆右焦点且垂直于轴的直线与椭圆在第一象限交于点，可得，
因为的面积是，即，解得，
所以，，所以，因此，椭圆的标准方程为.
（2）设、，
由得，解得，，
所以，，整理可得，
解得或.
因此，直线的方程为或或或.
例2.已知双曲线，直线l与交于P、Q两点．
(1)若点是双曲线的一个焦点，求的渐近线方程；
(2)若点P的坐标为，直线l的斜率等于1，且，求双曲线的离心率．
【答案】(1)；(2)或
解析：(1)∵点是双曲线的一个焦点，∴，
又∵且，解得，∴双曲线方程为，
∴的渐近线方程为：；
(2)设直线的方程为，且，，
联立，可得，
则，∴，即，
∴，
解得或，即由可得或，
故双曲线的离心率或.
例3．已知抛物线C：上一点到焦点的距离为．
(1)求实数的值；
(2)若直线过的焦点，与抛物线交于两点，且，求直线的方程．
【答案】(1)2；(2)或．
解析：(1)抛物线焦点为，准线方程为，
因为点到焦点F距离为2，所以，解得．
(2)抛物线C的焦点坐标为，
当斜率不存在时，可得不满足题意，
当斜率存在时，设直线l的方程为．
联立方程，得，
显然，设，，则，
所以，解得
所以直线l的方程为或
变式训练1：椭圆C的方程为，右焦点为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与圆相切，与椭圆交于两点，且，求直线的方程．
【答案】(1)；(2)或
解析：（1）由椭圆C的方程为，右焦点为，离心率为，可得半焦距且，解得，又由，所以椭圆方程为.
（2）由（1）得，圆的方程为，设，
当直线的斜率不存在时，，不合题意；
当直线的斜率存在时，设直线，
由直线与曲线相切可得，所以，
联立方程组，可得，
所以，，
所以
， 解得或，
所以直线或.
变式训练2：已知双曲线的离心率为，实轴长为2.
(1)求双曲线的焦点到渐近线的距离；
(2)若直线被双曲线截得的弦长为，求的值.
【答案】(1)；(2)
解析：（1）双曲线离心率为，实轴长为2，
，，解得，，
，
所求双曲线C的方程为；
∴双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，即为，
∴双曲线的焦点到渐近线的距离为.
（2）设,,
联立，，，
，．
，
，
解得．
变式训练3：已知抛物线，其通径为4．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线焦点作直线，使得直线与抛物线交于两点，且满足弦长，求直线斜率．
解析：(1)由题意知：抛物线通径为，即，
所以，抛物线的标准方程为．
(2)由（1）知：抛物线焦点，
①当时，显然不满足，
②当时，设直线l方程为，联立，
得，
，则，．
所以，，即，
考点三：弦长最值
例1．已知椭圆的焦距为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，求的最大值.
【答案】(1)；(2).
解析：（1）由题设，且，故，，则，
所以椭圆的方程为.
（2）设直线为，联立椭圆并整理得：，
所以，可得，且，，
所以且，
故当时，.
例2.已知双曲线经过点，它的两条渐近线分别为和.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线的左､右焦点分别为､，过左焦点作直线交双曲线的左支于两点，求周长的取值范围.
【答案】(1)；(2)
解析：（1）设双曲线C的方程为，
代入点，得，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）双曲线C的左焦点为，
设､，
①若直线l的斜率不存在，则，得A､B的坐标分别为和，
此时的周长为.
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
由得，
因为直线l交双曲线的左支于A､B两点，
所以，
得
设的周长为z，
，
设，由，得，
，，
所以，
综上，由①②可得的周长的取值范围.
例3．已知动圆过定点，且截轴所得弦长为，设圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若为曲线上的两个动点，且线段的中点到轴距离，求的最大值，并求此时直线方程．
【答案】(1)；(2)12，
解析：(1)设动圆圆心，则，
化简整理；得，故曲线的轨迹方程为；
(2)设直线方程为，
由消去得，
所以，
，
，
，．
，
当且仅当，即（满足）时，|AB|取得最大值12，
此时，，直线AB方程为：.
变式训练1：在直角坐标系xOy中，已知点，，M是平面内一动点，且，记M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)设直线l与圆相切于点A，与C相切于点B，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)因为，
所以点M的轨迹为焦点为，，长轴长为4的椭圆．
故曲线C的方程为．
(2)因为，所以直线l的斜率一定存在，可设l的方程为．
因为l与圆相切，所以圆心到l的距离，即．
联立方程组，整理得．
因为l与C相切于点B，所以，整理得，
则B的坐标为．
由题可知OA⊥AB，所以
．
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，故的取值范围为．
变式训练2：直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，且．
（1）求与满足的关系；
（2）求证：点到直线的距离是定值，并求的最小值．
【答案】（1）；（2）证明见解析，
解析：（1）设点A,B,联立消得,
∴,
由得
代入化简可得和满足的关系为:;
（2）由点到直线的距离公式可得:,由(1)得
代入可解得为定值;
由直线与双曲线交点弦弦长公式可得:
,令(t≤3)
化简可得,
由t≤3可得当,t=3时.
变式训练3：．已知动圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)已知直线交轨迹于两点，，且中点的纵坐标为，则的最大值为多少？
【答案】(1)；(2)
解析：（1）由题设点到点的距离等于它到的距离，
点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所求轨迹的方程为；
（2）由题意易知直线的斜率存在，
设中点为，直线的方程为，
联立直线与抛物线，得，，
且，，
又中点为，即，，
故恒成立，
，，
所以，
当时，取最大值为.
考点四：双弦长、交线段长
例1．已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与轴交于点，当时，求的值．
【答案】(1)；(2)
解析：（1）依题意可得，，又，
所以，所以椭圆方程为；
（2）依题意过点的直线为，设、，不妨令，
由，消去整理得，
所以，解得，
所以，，
直线的方程为，令，解得，
直线的方程为，令，解得，
所以
，
所以，
即
即
即
整理得，解得
例2．如图，已知抛物线的焦点为椭圆：（）的右焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交抛物线于，两点，交椭圆于，两点（，，，依次排序），且，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由抛物线可知：，
故由得： ,故 ，则 ，
则对于有： ，解得，
故椭圆方程为：；
(2)过点的直线 的斜率不存在时，则有不符合题意，
故设直线 的斜率为k，则直线方程为 ，
联立抛物线方程： ，整理得： ，
设 ，则，
故 ，
联立，整理得： ，
设,则，
则
，
又,故，
即，整理得 ，
解得 ，
由题中所给图可知， ，故，
故直线的方程为.
例3．已知圆，点是圆上任意一点，在轴上的射影为，点满足，记点的轨迹为．
(1)求曲线的方程；
(2)已知，过的直线与曲线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)设点，由，得，
由点在圆上，所以，整理得，所以曲线的方程是
(2)当直线的斜率为时，，，，
当直线的斜率不存在时，，，，
当直线的斜率存在且不为时，设：，则：
点到直线的距离，所以，
将代入曲线的方程，整理得
，设，
则，，则，
所以，
令，则，
令，，则，所以在上单调递减，
所以，即．
综上所述，的取值范围是．
变式训练1：在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是动点，且直线与的斜率之积等于.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设是曲线的左焦点，过点的直线与曲线相交于，两点，过，分别作直线的垂线与轴相交于，两点.若，求此时直线的斜率.
【答案】（1）；（2）.
解析：（1）设，则，
所以可得动点P的轨迹C的方程为
（2）可得，设直线l的方程为，
联立可得
所以
因为过A，B分别作直线l的垂线与x轴相交于M，N两点
所以
所以直线的方程为，令可得，同理可得
所以
所以
解得，所以
变式训练2：已知椭圆，左焦点为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)若直线和椭圆交于两点，设点为线段的中点，为坐标原点，求线段长度的取值范围．
【答案】(1)；(2)
解析：（1）左焦点为， ①又点在椭圆上， ②椭圆中 ③由①②③可得： 故椭圆的标准方程为：
（2）设的坐标分别为，则有①，②，，由①-②可得：，即，将条件及，带入上式可得点的轨迹方程为，所以，所以 所以线段长度的取值范围为
变式训练3：在平面直角坐标系中，动点，满足，记点的轨迹为．
(1)请说明是什么曲线，并写出它的方程；
(2)设不过原点且斜率为的直线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与交于两点，，请判断与的关系，并证明你的结论．
【答案】(1)椭圆，；(2)
解析：(1)设，，则因为，满足，即动点表示以点，为左、右焦点，长轴长为4，焦距为的椭圆，其轨迹的方程为；
(2)可以判断出，
下面进行证明：
设直线的方程为，，，
由方程组，得①，
方程①的判别式为，由，即，解得且．
由①得，，
所以点坐标为，直线方程为，
由方程组，得，，
所以．
又
．
所以.
考点五：弦长比值（定值）
例1．如图,椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点，的最大值为的最小值是，满足:
（1）求该椭圆的离心率；
（2）设线段的中点为的垂直平分线与轴交于点，求的值.
【答案】（1）；（2）
解析：（1） 设，则根据椭圆性质得
，而，
所以有，即，即，
所以离心率
（2）由（1）可得，又，所以令，则，，所以椭圆方程为，
根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为，
并设，，，，
则由直线与椭圆方程，消去并整理得，
从而有，，
所以
，
所以，．
因为，所以，所以．所以
所以
例2．已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过原点的直线交椭圆于两点.若，求证：为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析
解析：（1）因为椭圆的一个顶点为，离心率为
可得，且，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）证明：当直线的斜率不存在时，可得，则；
当直线的斜率存在时，依题意知，
则直线的方程为，直线的方程为，
设，
联立方程组，整理得，
则，
所以
又由，可得，则，
所以，
所以，
综上可得：.
例3.．已知椭圆：的离心率为，且经过点.
(1)求的方程；
(2)设的右焦点为F，过F作两条互相垂直的直线AB和DE，其中A，B，D，E都在椭圆上，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由题意知的离心率为，整理得，
又因为经过点，所以，解得，
所以，
因此，的方程为.
(2)由已知可得，
当直线AB或DE有一条的斜率不存在时，可得，或，，
此时有或.
当AB和DE的斜率都存在时且不为0时，设直线：，直线：，
，，，
由得，
所以，，
所以，
用替换可得.
所以，
综上所述，的取值范围为.
变式训练1：已知椭圆C：的长轴长为4，过C的一个焦点且与x轴垂直的直线被C截得的线段长为3．
(1)求C的方程；
(2)若直线：与C交于A，B两点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，且，求m的值．
【答案】(1)；(2).
解析：(1)由题意知，，则，令，可得，
由题设有，则，
所以C的方程为．
(2)联立方程得：，
由，得．
设，，则，，
所以，
另一方面，，即线段AB的中点为，
所以线段AB的中垂线方程为．
令，联立方程得：．
同理求法，可得：，即．
因此，解得，故．
变式训练2：．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为1的直线l与抛物线交于A，B两点.
(1)证明以为直径的圆与直线相切；
(2)求的值.
【答案】(1)证明见解析；(2)1.
解析：(1)抛物线的焦点，准线方程：，则直线l的方程为：，
由消去y并整理得：，设，则有，，
弦AB中点，，
以为直径的圆的圆心为点M，半径为4，而点M到直线的距离为4，
所以以为直径的圆与直线相切.
(2)由(1)知，，，，
所以的值是1.
变式训练3：已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线交于，两点，为坐标原点，.
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求证：为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：(1)抛物线的焦点坐标为，将代入，得，
所以点和点的坐标为，.
所以，
所以，所以（舍去）.
所以的方程为.
(2)证明：由（1）知，，由于直线，均与交于两点，
所以直线，斜率存在且不为0.
设直线的方程为，，，
联立得，
恒成立.
所以，
所以.
因为，所以将换成，得，
所以，
所以为定值.
【当堂小结】
1、知识清单：
（1）椭圆，双曲线，抛物线弦长公式；
（2）弦长最值的基本不等式求解；
（3）交点坐标的求解和非弦长的计算；
2、易错点：弦长公式的计算，基本不等式的应用；
3、考查方法：基本不等式，数形结合思想，数与形的转化；
4、核心素养：数学运算，数学抽象.
【过关检测】
1．已知椭圆的离心率为，上顶点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由离心率，则，
又上顶点，知，又，可知，，
∴椭圆E的方程为；
(2)设直线l：，设，，
则，整理得：，
，即，
∴，，
∴，
即，解得：或（舍去）
∴
2．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，点在抛物线C上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若求直线l的方程．
【答案】(1)；(2)或
解析：(1)因为抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，所以设抛物线方程为
又因为点在抛物线C上，所以，解得，
所以抛物线的方程为；
(2)抛物线C的焦点为，
当直线l的斜率不存在时，，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
设直线l交抛物线的两点坐标为，，
由得，，，，
由抛物线得定义可知，
所以，解得，即，
所以直线l的方程为或．
3．已知椭圆，点M在线段上，且，直线的斜率为．
(1)求椭圆E的离心率；
(2)若直线l与椭圆E交于C，D两点，弦的中点为，且，求椭圆E的方程．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)设，因为，且，
所以，解得，
因为直线的斜率为，
所以，即，
所以椭圆E的离心率是；
(2)由（1）知：椭圆方程为，易知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为，
与椭圆方程联立，消去y得，
设，
则，
因为弦的中点为，
所以，即，解得，
则，
所以，
解得，
所以椭圆E的方程为 .
4．已知椭圆的上顶点与椭圆的左，右顶点连线的斜率之积为．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，，求椭圆C的标准方程．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由题意可知，椭圆上顶点的坐标为，左右顶点的坐标分别为、，
∴，即，则．
又，∴，所以椭圆的离心率；
(2)设，，由得：，
∴，，，
∴，
解得，∴，满足，
∴，∴椭圆C的方程为．
5．已知双曲线两个焦点分别是，点在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程;
（2）过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的周长.
【答案】（1）；（2）
解析：（1）， 轴 且
又，即，解得：
双曲线的标准方程为：
（2）由（1）知，双曲线渐近线为，倾斜角为
直线过且倾斜角为 均在双曲线的右支上
，
设直线方程为：
代入双曲线方程得：
的周长为：
6．过圆：上的点作圆的切线，若直线过抛物线：的焦点．
（1）求直线与抛物线的方程；
（2）是否存在直线与抛物线交于、与圆交于、，使，若存在，请求出实数的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；；（2）存在；或．
解析：（1）圆心为，所以所以：，即,与轴的交点为,抛物线的交点为，∴抛物线：．
（2）显然直线的斜率存在，所以设，则圆心到直线的距离．∴．
，由韦达定理得，，
．
由题意，解得或．
7．已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求的方程；
(2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)
解析：（1）由题意得，
，解得，
所以的方程为.
（2）圆的圆心为，半径圆.
①当直线的斜率不存在时，方程为或，
于是有或
解得，
所以.
②当直线的斜率为时，方程为或，
于是有或
解得，
所以.
③当直线的斜率不为时，设斜率为，方程为，
因为直线与圆相切，所以，得
建立方程组，消并化简得，
.
设,,则,，
所以=
而，当且仅当，即时，等号成立.
所以 ，
所以.
综上所述，的取值范围是.
8．在直角坐标系xOy中，椭圆的上顶点为B，右焦点为F，原点O到直线BF的距离为.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设直线l与圆相切，且与C交于M，N两点，若的最大值为2，求椭圆C的方程.
【答案】(1)； (2)
解析：（1）由条件可得，，设点O到直线BF的距离为
在中，有，则,即
所以，所以
所以
(2)由直线l与圆相切，且与C交于M，N两点,所以直线l的斜率不为0.
设，所以，所以
由（1）可得，则椭圆方程化为：
设，由，得
所以
所以

设，则
所以，当且仅当，即时取得等号.
由的最大值为2，则，所以
所以当的最大值为2时，椭圆方程为：
9．已知椭圆，，分别为左右焦点，点，在椭圆E上.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)过左焦点且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于A，B两点，若的中点为M，O为原点，直线交直线于点N，求取最大值时直线l的方程.
【答案】(1)；(2)
解析：（1）将，代入椭圆方程，
解得，所以椭圆的方程为，
又，所以
（2）设直线方程为，，，
联立可得；
则，且，，
设的中点，则，，
∴坐标为，，
因此直线的方程为，从而点为，又，，
所以，令，
则，
因此当，即时，最大值为3.
所以的最大值为，此时，直线l的方程为.