湖北华中师范大学第一附属中学2025-2026学年上学期高二年级期末检测数学试题（含答案解析）

这是一份湖北华中师范大学第一附属中学2025-2026学年上学期高二年级期末检测数学试题（含答案解析），共35页。试卷主要包含了解答题，填空题，多选题，单选题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1. 在平面直角坐标系中，若圆与抛物线有公共点（不为原点），且圆与抛物线在点处有相同的切线，则称为抛物线的友好数，圆为的友好圆．设均为抛物线的友好数，且，记的友好圆分别为圆，设圆与抛物线的公共点分别为，已知，且，圆与外切．
(1)求的友好圆方程；
(2)求数列的通项公式；
(3)设点，记的面积为，证明：．
2. 已知椭圆右顶点为，短轴长为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不过点的直线与椭圆交于、两点．
（i）若正方形的边在直线上，且直线在轴上的截距为整数，求正方形的面积；
（ii）证明：的外接圆经过两个定点．
3. 已知数列的前项和为，，且.
(1)求的通项公式.
(2)设，记数列的前项和为.
（ⅰ）求；
（ⅱ）若对任意恒成立，求的取值范围.
4. 已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为4．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线右焦点的直线与双曲线右支交于两点，若线段的中点为，求直线的方程．
5. 记为等差数列的前项和，已知．
(1)求和的通项公式；
(2)求．
二、填空题
6. 数列各项均为正数，且对任意都有，其中为数列的前项和，设，若满足不等式的正整数恰好有两个，则实数的取值范围为___________．
7. 数列前项和为___________．
8. 直线与双曲线左、右支各一个交点，则双曲线离心率的取值范围为___________．
三、多选题
9. 已知双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的渐近线以及双曲线的右支从左到右依次相交于点三点（如图），线段与双曲线的右支相交于点，双曲线的离心率为，为坐标原点，则下列结论正确的有（ ）
10. 设正项等比数列的公比为，前项和为，前项的积为，并且满足，，，则下列结论正确的是（ ）
11. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
四、单选题
12. 已知椭圆的左、右焦点分别是，过点的直线与椭圆在第四象限交于点，与轴交于点，，则椭圆的离心率为（ ）
13. 设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于，两点，与轴交于点，点的纵坐标为，且与的面积之比是，则（ ）
14. 已知直线与圆相交于两点，若为等腰直角三角形，则的值为（ ）
15. 已知双曲线，如果下列方程表示椭圆，那么该椭圆与双曲线有相同焦点的是（ ）
16. 已知等差数列的前项和为，且成公比为的等比数列，则等于（ ）
17. 在数列中，若，则（ ）
18. 已知直线和，若，则的值为（ ）
19. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．若，则
B．若，则2
C．若，则
D．若，则
A．
B．
C．的最大值为
D．没有最大值
A．直线过定点
B．当直线平分圆的周长时，
C．圆心到直线距离的最大值是
D．若点在圆上，则的取值范围为
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．1
B．7
C．1或7
D．1或
A．
B．
C．
D．
A．或
B．
C．
D．或
A．2
B．
C．
D．1
A．
B．
C．
D．
A．2
B．1
C．
D．