湖北省华中师范大学第一附属中学2025-2026学年高二上学期期中检测数学试题（Word版附解析）

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时限：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如果，那么直线不经过的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 直线和位置关系是（ ）
A. 平行B. 相交
C 重合D. 不确定
3. 以椭圆的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆方程是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知，两点的坐标分别是，，是椭圆上一点，若为直角三角形，则满足条件的点的个数为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
5. 已知直线与圆相交于，两点，若为正三角形，则实数的值是（ ）
A. B. C. 或D. 或
6. 设椭圆的左焦点为，若，是椭圆上的两个动点，则周长的最大值为（ ）
A. 14B. 16C. 18D. 20
7. 已知点，，是圆与轴的交点.若点满足：以为直径的圆与圆相切.则面积的最大值为（ ）
A. B. 4C. 6D. 8
8. 已知圆与圆相交于、两点，若四边形的面积为，则（ ）
A. 2B. 4C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知三条直线，，，下列结论正确的是（ ）
A.
B. 三条直线的斜率之积为1
C. 三条直线的倾斜角之和为
D. 三条直线在轴上的截距之和为12a
10. 已知圆，直线，则下列结论正确的是（ ）
A 直线经过定点
B. 圆上的点到直线的距离的最大值为
C. 若圆上有且仅有一个点到直线距离等于1，则这样的直线有2条
D. 若，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则中点到点的距离的最小值为
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 点到点的距离的最大值为
C. 的外接圆半径的最小值为
D. 若直线过点，且椭圆上存在一点，使得，其中，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.
12. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于两点，若，，则椭圆的方程为__________
13. 已知，，则同时经过三个点，，的直线方程为___________.
14. 已知为椭圆的上顶点，点、的坐标分别为和，点、分别是椭圆位于第一、三象限上的两点，且，直线和的斜率之差为，，则椭圆的离心率为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆与直线相切于坐标原点，且为圆与轴的一个交点.
（1）求圆的方程；
（2）求与圆相切且在坐标轴上截距相等的直线的方程.
16. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的角平分线方程为.
（1）求点的坐标和直线的方程；
（2）求边上高所在直线方程.
17. 如图，已知三棱柱的底面是正三角形，且，.
（1）求证：；
（2）若，且，求直线与平面所成角的正弦值.
18. 已知，分别为椭圆的左，右焦点.
（1）设过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程；
（2）经过右焦点的直线，分别与椭圆交于点，和点，，且它们的斜率乘积为，，分别是线段和的中点.
（i）证明：直线和的斜率乘积为定值；
（ii）求面积的最大值.
19. 已知椭圆，点，，其中，是椭圆上的一点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，椭圆在两点处的切线与相交于点，线段的中点为，设直线，的斜率分别为，.
（1）证明：直线的方程为；
（2）求的取值范围（用表示）；
（3）若点的坐标为，求.
（附：若是椭圆上一点，则椭圆在点处的切线方程为.）