湖南湘潭市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（含答案解析）

这是一份湖南湘潭市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（含答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 设全集，集合，则（ ）
2. 已知平面向量，若，则（ ）
3. 若事件相互独立，，则（ ）
4. 已知是相交的两个平面，交线为，记一条直线为，则下列命题为真命题的是（ ）
5. 已知数列是首项为5，公差为3的等差数列，则（ ）
6. 已知函数，且是偶函数，则（ ）
7. 设函数，已知，且在区间上无零点，则的最大值为（ ）
8. 已知满足.若为增函数，，则a的取值范围是（ ）
二、多选题
9. 在中，角的对边分别是，，，，则的值可以是（ ）
10. 已知双曲线：的焦距为，点，是的左、右顶点，，是的左、右焦点，为双曲线上除两点外的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
11. 在正三棱柱中，分别是侧棱上的点，，则（ ）
三、填空题
12. 若，则________．
13. 设，若有三个不同的零点，则实数的取值范围是____________.
14. 已知椭圆的左焦点为，以为圆心、为半径的圆与交于，两点，若，则的离心率为_____．
四、解答题
15. 已知抛物线的焦点为，过点作斜率为3的直线，且与交于两点.
(1)求；
(2)求.
16. 记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
17. 如图，在三棱台中，，平面，．
(1)证明：平面平面；
(2)若，点满足，求平面与平面夹角的余弦值．
18. 已知函数满足，其中．
(1)求的值；
(2)证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线与直线平行；
(3)若存在，使得对于任意，且，都有，求实数的取值范围．
19. 定义，我们称为维向量，其模长，维向量可构成维空间.在维空间中放置一个维球，记其半径为，体积为，则.记维向量，已知维球的直径，其体积为.
(1)求；
(2)证明：；
(3)记为数列的前项和，证明：.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．3
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．若，则与必然无交点
B．若，则与必然无交点
C．若，则
D．若，则
A．1
B．2
C．
D．3
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．1
A．
B．
C．
D．
A．1
B．
C．2
D．
A．
B．若，则或5
C．直线与直线的斜率之积为
D．点到的两条渐近线的距离之积为定值
A．平面与平面的夹角的余弦值为
B．直线与平面所成角的正切值为
C．在侧棱上存在唯一的一点，使
D．若棱柱的外接球半径，则