湖南省湘潭市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含答案详解）

这是一份湖南省湘潭市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含答案详解），共15页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 下列等式正确的是， 下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知命题 SKIPIF 1 < 0 ，则命题p的否定为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题与特称命题之间关系即可得出结果.
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p的否定为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D.
2. 若集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】利用集合交集定义求解即可.
【详解】因为集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
3. 下列函数为增函数的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的单调性逐项判断即可.
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在定义域内为减函数，不符合题意；
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，不符合题意；
根据幂函数的性质知 SKIPIF 1 < 0 为增函数.
故选:B.
4. 若角 SKIPIF 1 < 0 是第一象限角，则 SKIPIF 1 < 0 是（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角
C 第一或第三象限角D. 第二或第四象限角
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ，分 SKIPIF 1 < 0 为偶数和奇数求解即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 是第三象限角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 是第一象限角，
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 是第三象限角.
故选：C．
5. 函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用奇偶性和特殊点排除不符合的选项.
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，其图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，选项C，D不满足；
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以选项B不满足，选项A符合题意.
故选：A
6. 设 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数和对数函数的单调性即可求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
7. 从盛有 SKIPIF 1 < 0 纯酒精的容器中倒出 SKIPIF 1 < 0 ，然后用水填满；再倒出 SKIPIF 1 < 0 ，又用水填满；…；连续进行 SKIPIF 1 < 0 次，容器中的纯酒精少于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数的运算性质求解即可.
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
8. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】利用换元法和二倍角公式求解即可.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列等式正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二倍角公式和两角和差公式求解即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
SKIPIF 1 < 0 ，D正确；
故选：ACD
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C. 若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D. 若正数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】
【分析】由不等式的性质和基本不等式的运用，逐个判断选项.
【详解】由不等式的性质可知，A正确，B错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
正数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，D正确.
故选：AD.
11. 已知 SKIPIF 1 < 0 是第三象限角，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
【分析】利用正切的二倍角公式判断A，利用同角三角函数关系判断B，利用正弦的二倍角公式判断C，利用正切的两角差公式判断D.
【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
又 SKIPIF 1 < 0 是第三象限角， SKIPIF 1 < 0 ，所以由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
SKIPIF 1 < 0 ，D错误；
故选：BC
12. 高斯是德国天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作 SKIPIF 1 < 0 ．如 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有5个零点D. SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 有两个实根
【答案】BD
【解析】
【分析】根据高斯函数的定义，结合特殊点的函数值、值域、零点、方程的根、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，选项A错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
……以此类推，可得 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示，
由图可知， SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，选项B正确；
由图可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有6个零点，选项C错误；
SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点，如下图所示，
即方程 SKIPIF 1 < 0 有两个根，选项D正确．
故选：BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图，这是折扇的示意图，已知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则此扇面（扇环 SKIPIF 1 < 0 ）部分的面积是__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】利用扇形的面积公式可求得扇环的面积.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14. 若函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，请写出一个 SKIPIF 1 < 0 的值： SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一，符合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即可）
【解析】
【分析】将 SKIPIF 1 < 0 看作一个整体，利用余弦函数的图象和性质求解即可.
【详解】由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一，符合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即可）
15. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】利用同角三角函数的关系，求出函数解析式，再代入求值.
详解】已知 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 有且仅有5个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上无零点，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有5个零点；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恰有一个零点，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有4个零点，利用正弦函数的图象列式可求出结果.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上无零点，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有5个零点，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恰有一个零点，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有4个零点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述： SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 若角 SKIPIF 1 < 0 终边上一点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的定义求解即可；
（2）利用三角函数的定义和正弦的两角和公式求解即可.
【小问1详解】
因为角 SKIPIF 1 < 0 终边上一点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由三角函数的定义可得 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
18. 设全集 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）由对数函数的单调性、一元二次不等式的解法化简集合 SKIPIF 1 < 0 ，再由集合的运算求解即可；
（2）讨论 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两种情况，根据包含关系求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【小问1详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意.
综上， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
19. 已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
（1）求m的值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的性质和概念求解即可；
（2）不等式可转化为 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，利用一元二次函数的图象和性质求 SKIPIF 1 < 0 的最大值即可.
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 是幂函数，且在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
由一元二次函数的图象和性质可得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
20. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的定义域;
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的值域．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的定义域,列出不等式,解出即可.
（2）运用对数运算性质将 SKIPIF 1 < 0 化简为 SKIPIF 1 < 0 ,根据(1)中的定义域求得 SKIPIF 1 < 0 的范围,再根据 SKIPIF 1 < 0 的单调性即可求得 SKIPIF 1 < 0 值域.
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
由(1)知 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
21. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有零点.
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上没有实数解，求m的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据零点存在性定理即可计算端点处的函数值进行求证，
（2）根据函数的单调性求解 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域，进而根据 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
【小问1详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有零点.
【小问2详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 均为 SKIPIF 1 < 0 上的单调递增函数，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
且关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上没有实数解，故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
所以m的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
22. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图像如图所示.
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
（2）将 SKIPIF 1 < 0 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 SKIPIF 1 < 0 ，纵坐标不变，再向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度得到 SKIPIF 1 < 0 的图像，求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间；
（3）在第（2）问的前提下，对于任意 SKIPIF 1 < 0 ，是否总存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立?若存在，求出实数 SKIPIF 1 < 0 的值或取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
（3）存在， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）由题知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 从而得 SKIPIF 1 < 0 的值，将特殊点代入函数中求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可解决问题；
（2）根据函数伸缩变换与平移变换后的到新函数的解析式，根据函数解析式求解单调区间即可；
（3）假设存在实数 SKIPIF 1 < 0 的值或取值范围满足题意，根据所给条件先由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据所给的角把 SKIPIF 1 < 0 范围求出来，根据范围的包含关系列出不等式解出即可.
【小问1详解】
由图可知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
将 SKIPIF 1 < 0 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 SKIPIF 1 < 0 ，纵坐标不变，
得： SKIPIF 1 < 0 ，
再向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度得到：
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0
【小问3详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
由题可知 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，
使得 SKIPIF 1 < 0 成立.