2022-2023学年湖南省湘潭市高二（上）期末数学试卷（含解析）

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2022-2023学年湖南省湘潭市高二（上）期末数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共7小题，共35.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  直线的倾斜角为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  棱长为的正方体的外接球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则(    )

A.  B.
C.  D.

5.  已知奇函数，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知椭圆的左、右顶点分别为，，且椭圆的离心率为，点是椭圆上的一点，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上的一点，点，，垂足为，，且，则双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

8.  已知为虚数单位，复数，，则(    )

A. 的共轭复数为 B.
C. 为实数 D. 在复平面内对应的点在第一象限

9.  下列求导运算正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知等差数列，其前项和为，，，则下列说法正确的是(    )

A.  B.
C. 的最小值为 D. 数列是公比为的等比数列

11.  已知抛物线：，点是抛物线的焦点，点是抛物线上的一点，点，则下列说法正确的是(    )

A. 抛物线的准线方程为
B. 若，则的面积为
C. 的最大值为
D. 的周长的最小值为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

12.  已知在一次降雨过程中，某地降雨量单位：与时间单位：的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度某一时刻降雨量的瞬间变化率为        ．

13.  在中，，则        ．

14.  已知等比数列，其前项和为，，，则满足的所有的和为        ．

15.  已知点，，若直线上存在点使得成立，则实数的取值范围是        ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
已知等差数列的前项和为，，．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．

17.  本小题分
中国数学交通大会暨博览会将于月在北京新国展举办为做好本次博览会的服务工作，需从某高校选拔志愿者，现对该校踊跃报名的名学生进行综合素质考核，将得到的分数分成段：，，，得到如图所示的频率分布直方图：
求的值并估计这名学生成绩的中位数中位数保留一位小数；
从报名的名学生中，根据考核情况利用比例分配的分层抽样法抽取名学生，再从这名学生中选取人进行座谈会，求这人考核成绩来自同一分数段的概率．

18.  本小题分
已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，．
求抛物线的标准方程；
当线段的中点的纵坐标为时，求直线的斜率．

19.  本小题分
如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，与相交于点，点在线段上，且．
求证：平面；
求平面与平面夹角的正弦值．

20.  本小题分
已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为．
求双曲线的标准方程；
若为坐标原点，过的直线交双曲线于，两点，且的面积为，求直线的方程．

21.  本小题分
已知椭圆过点，．
求椭圆的标准方程；
若点是圆上的一点，过点作圆的切线交椭圆于，两点，证明：以为直径的圆过原点．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以．
故选：．
将集合化简，然后根据交集的运算，即可得到结果．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为直线，
所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
因为，
所以．
故选：．
先根据直线方程求得斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求解．
本题主要考查了直线斜率和倾斜角的关系，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为，
则，故，
所以．
故选：．
根据正方体与其外接球之间的关系，求出外接球的半径，即可得出球的表面积．
本题主要考查正方体外接球表面积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为对任意的，，有，
所以在上单调递减，又为偶函数，
所以在上单调递增，则，
又，所以．
故选：．
依题意可得在上单调递减，再根据偶函数的性质得到在上的单调性，根据单调性与奇偶性判断即可．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：对于函数，令，解得，所以函数的定义域为，
又函数为奇函数，则，即，
即，
所以，即，
所以．
故选：．
根据奇函数的性质求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得．
本题主要考查了函数的奇偶性的应用，还考查了二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：依题意有，所以，
又，，
不妨设在轴的上方，则为直线的倾斜角，为直线的倾斜角的补角，
为椭圆上的一点，则，
，
所以，
所以，

．
故选：．
根据题意得到与的正切与直线，的斜率的关系，最后利用同角三角函数的诱导公式及两角和的正切公式进行计算，即可求解．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：设左焦点为，在直角中，，
设，则，，
故在焦点三角形中，，
解得，由于，
故舍去，只取，
在直角中，，故，
化简得，
，解得或舍去，故，
故选：．
根据双曲线的定义得，，焦点三角形中由余弦定理可得，进而由勾股定理里即可得，由齐次式即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，余弦定理的应用，勾股定理的应用，化归转化思想，属中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：对于，，故A错误，
对于，，，则，故，故B正确，
对于，为虚数，故C错误，
对于，，对应的点为，
故在复平面内对应的点在第一象限，故D正确．
故选：．
根据共轭复数的定义可判断，
根据模长的计算公式可判断，
根据复数的加法以及乘法运算即可判断．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的性质，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，，故A错误，
对于，，故B正确，
对于，，故C正确，
对于，，故D错误，
故选：．
根据求导法则以及基本初等函数的求导公式即可结合选项逐一求解．
本题主要考查导数求导法则，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，即，解得，
，，故A，B正确，，当且仅当，即时，取“”，但，
所以当时，，
当时，，
的最小值为，故C错误，
，
是公比为的等比数列，故D错误．
故选：．
对，选项由等差数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，，从而得到，，对选项，，利用基本不等式可求出最值，但是要注意取等条件，对选项计算的值即可．
本题主要考查数列的应用，考查转化能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对选项，，，，准线方程为，故A正确；
对选项，根据抛物线定义得，，
，轴，当时，，
若点在第一象限时，此时，
故，的高为，
故，
若点在第四象限，此时，
故，的高为，
故，故B错误；
对选项，，
，故C正确；
对选项，连接，并延长交于抛物线于点，此时即为最大值的情况，
图对应如下：

过点作准线，垂足为点，

的周长，
若周长最小，则长度和最小，
显然当点，，位于同一条直线上时，的和最小，
此时，
故周长最小值为，故D正确．
故选：．
根据抛物线的标准方程可得准线方程为，即可判断，根据抛物线定义得到，故点可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断，利用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到，计算即可判断，三角形的周长，再结合抛物线定义即可求出的最小值，即得到周长最小值，从而判断．
本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
，
故在时的瞬时降雨强度某一时刻降雨量的瞬间变化率为．
故答案为：．
将函数关于求导，再将代入上式的导函数，即可求解．
本题主要考查导数的应用，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据正弦定理可知，代入题中数据，可知，
所以
故答案为：．
根据正弦定理求解即可．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：在等比数列中，其前项和为，，，
所以，则，
所以，则，
所以，
令，即，即，所以，
因为，所以或，
所以满足的所有的和为．
故答案为：．
首先求出公比，即可得到、，即可得到，再令，即可得到，从而求出的取值范围，再根据，即可求出的值．
本题主要考查等差数列的通项公式，以及等比数列的前项和公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，
则，，
所以，
化简得．
由题意，可知与直线相交，
所以，解得，
所以实数的取值范围是
故答案为：
设，结合条件，可知与直线相交，然后求出的取值范围即可．
本题主要考查了向量数量积的坐标表示，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．
 

16.【答案】解：由题知，等差数列的前项和为，，，
所以，即，
解得，
所以，
所以的通项公式为；
由得，，
所以，
所以，
所以数列的前项和． 

【解析】利用前项和公式列方程组，可求解首项及公差，从而可得通项公式；
由于，根据裂项相消求和即可解决．
本题主要考查数列的求和，等差数列的前项和公式及通项公式，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：由频率分布直方图可得，解得，
因为，，
所以中位数位于之间，
设中位数为，则，
解得，
即中位数约为；
由题意中抽取人，中抽取人，中抽取人，
分别记作、、、、、，
从中选取人，则可能结果有、、、、、、、、、、、、、、共个结果，
其中满足这人考核成绩来自同一分数段有、、、共个结果，
所以这人考核成绩来自同一分数段的概率． 

【解析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出的值，再根据中位数计算规则求出中位数；
利用分层抽样各层抽取的人数，再利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
 

18.【答案】解：由题意知，，当轴时，，两点的横坐标，
代入得，，则，解得，
所以抛物线的标准方程为；
根据题意得，直线的斜率存在，
设，，，，两点都在上，
则有，，
则，即，
又中点的纵坐标为，则，，
则，
即直线的斜率． 

【解析】根据题意可得，当轴时，，两点的横坐标，代入抛物线计算可得，即可得到答案；
设，，，由，两点都在上，得和，可得，由中点的纵坐标为得，从而可求得直线的斜率．
本题主要考查了抛物线的性质在方程求解中的应用，还考查了直线与抛物线位置关系的应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，则，，，，，，
故，由得，所以，
，，，
由于，，因此，，
进而，，又，平面，
故AF平面；
，，
设平面的法向量，
则，取，得，
平面的法向量，，，
则，取，得，
设平面与平面的夹角为，
则．
． 

【解析】建立空间直角坐标系，利用向量的垂直关系证明线线垂直，即可由线面垂直的判断求证，
建立空间直角坐标系，利用平面法向量的夹角即可求解．
本题考查线面垂直的证明，考查面面角的求法，属中档题．
 

20.【答案】解：由题意得：，，，
解得：，，，双曲线的标准方程为．
由题意可知，直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，，，
联立方程组，消去整理得，
则，
，
原点到直线的距离为，
所以，
解得或，故，或，
故直线方程为或． 

【解析】根据，，以及，求解即可；
设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用弦长公式表示，根据点到直线的距离公式求解高，即可根据三角形面积公式进行求解．
本题主要考查双曲线的性质，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意知，解得，，
所以椭圆的标准方程是；
证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为或．
若直线的方程为，不妨设，，
所以，所以；
若直线的方程为，不妨设，，
所以，所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
又直线与圆相切，所以，即．
设，，
由，得，
所以，
，，
所以
，
所以．
综上，以为直径的圆过原点． 

【解析】根据题意列出方程组，求得，的值，即可得到椭圆的标准方程；
当直线的斜率不存在时，得到直线的方程，求出点，的坐标，可证得；当直线的斜率存在时，设方程为，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与向量数量积运算的坐标表示，证明即可．
本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．