湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题（含答案解析）

这是一份湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题（含答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 数列中，，，，则（ ）
2. 抛物线的焦点坐标是（ ）
3. 函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（ ）
4. 甲、乙两班各人参加数学竞赛，人分两排合影留念，若从甲班的人和乙班的人中各选人站在前排，后排的人要求甲班的人必须相邻，同时乙班的人也必须相邻，则不同的站法有（ ）
5. 已知点，平面，其中，则点到平面的距离是（ ）
6. 过点且倾斜角为的直线交圆于，两点，则弦的长为
7. 已知，，，则的大小关系为（ ）
8. 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
二、多选题
9. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（ ）
10. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第行从左到右的数字之和记为，如，，，的前项和记为，则下列说法正确的是（ ）
11. 已知为坐标原点，点在抛物线：上，过点的直线交抛物线于，两点，则（ ）
三、填空题
12. 展开式中的常数项为______.
13. 当直线与直线平行时，______.
14. 双曲线的光学性质为：如图1，从双曲线的右焦点发出的光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为，，分别为双曲线的左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则___________，该双曲线的离心率为___________．

四、解答题
15. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，E为AD的中点，平面，，M为PB的中点.
(1)求证：直线平面PCD；
(2)若，，求直线EM与平面PCE所成角的正弦值.
16. 设函数，曲线在点处取得极值.
(1)求实数的值；
(2)求函数的极值点.
17. 已知等比数列为递增数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：．
18. 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；
（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
19. 圆给人以“半径越小越弯曲”“同一个圆在各处的弯曲程度都相同”的直观印象，我们通常用“曲率”来刻画曲线在某处的弯曲程度．设函数的定义域为，其导数为的导数为，将称为曲线在处的曲率，曲率越大弯曲程度越大．
(1)求在处的曲率；
(2)用半圆的曲率，说明圆“半径越小越弯曲”的原理；
(3)设，若存在，使在处的曲率为0，求证：．
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．9
C．
D．13
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．种
B．种
C．种
D．种
A．
B．2
C．
D．3
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．的面积最大值为8
B．的周长为12
C．的最小值为3
D．的最大值为16
A．在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数字是120
B．
C．在“杨辉三角”中，从第2行开始到第行，每一行从左到右的第3个数字之和为
D．的前项和为
A．抛物线的焦点到准线的距离为
B．直线与抛物线有两个交点
C．
D．